книги из ГПНТБ / Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях
.pdfся в символической алгебраической форме, при которой
символ |
р |
заменяет операцию дифференцирования, а |
|
символ |
|
~р • , ~ опѳРЭД**10 интегрирования: |
|
|
|
-г,Lea +(r,*rz+Lp)i1c6*0 |
. |
Даннан система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю» то естъ
1 і
ТЙКЩ олрааоь-,
Откуда харак? фистическоѳ уравнение системы
' |
Ъ I, С |
1 |
riLC |
L |
Определив корни характеристического уравнения, можно
написать общее выражение для свободной составляющей лю бой переходной ЗОЛИЧИНЫ s виде
. at |
... |
Ъ.І |
|
- ut* |
* flde |
,> |
(ІЛ06) |
то<ІСТЬ состоялииз двух показательных функций, показа тели степеней которых одинаковые, а постоянные интегриро вания для каждой величины свои.
Далее производится расчет схемы посла переходного
процоис.'., ти во» при |
(что необходимо |
для определе |
ния гннуадпічіы, доставляющих Ltg іге^ Lg^ |
ucg . |
|
Величины переходного процесса записываются в виде |
||
-, **• п ргі |
|
(1.107) |
|
и т.д. |
|
Осталось л\\>аА<ьтгь поетоі .шыв анізгрирования. Ми нимальное числе постоянны:-: интегрирования, подлежащих определению, равно всрядіс^ характеристического уравнения, то есть £*даныоы случае равно нулю. Дл.ч .определения пос тоянных интегриров&ия к.с!пс«ьау*г*ся значения ИСКОМЫХ ве
личин и их производных Прі. |
t-C. |
|
При і = С, i-Lt~±~. |
4 |
- ö |
Из сравнения 'ІДое) ви^аьии Щ • •
90
нужно получить два уравнения» Из уравнения (1.107), используя значения ^(0)
Аналогично можно определить постоянные интегрирования для других переходных величин, если нельзя обойтись без ихопределения. Часто же кот необходимости этого делать, так как другие переходные величины можно выразить через найденную, В условии 'рассматриваемом задачи было сказано, что э.д.с.
источника постоянна. Если жѳ э.д.с. синусоидальна, то путь решения точно такой же, только вынужденные составляющие будут синусоидальными функциями времѳги и определяются • они в результате расчета комплексным методом нового уста новившегося режима.
В случае произвольной формы воздействующей э.д.с. для определения вынужденных составляющих необходимо найтя част ное решение системы неоднородных уравнений.
Переходные процессы а сложных цепях е з.д.с.Произ вольной формы лучше рассчитывать операторным или спек тральным методами, которые будут рассмотрены пике.
§ 18. Особенности расчета переходных процессов при скачкообразных изменениях реактивных
параметров цели
При изложении всего материала гллвы считалось, что всегда выполняются условия LL(o^)=Li(0-) и Uc(0*)= Uc(a),i:o
91
есть считалось, что всегдь выполняются так называемые законы коммутации. В действительности же з отдельных слу чаях нарушаются как порвый, так и второй законы коммута ции.
Нарушение первого закона коммутации происходит в це пях с индуктивноотями,например, при последовательном включении двух катушек индуктивности, имевших разные токи перед моментом коммутации (рис. 1.56).
|
Рис. 1.56. |
|
До коммутации |
L,(0.) ФL,(0.) |
-, а к концу комму |
тации в катушках |
установится одинаковый ток, то есть |
|
і,(0) = іг(0) = і(о),таким образом нарушение первого закона коммутации налицо.
Нарушение второго закона коммутации происходит в це пях с емкостями, например, при подключении конденсатора
Сг.заряженного до напряжения Uc^(0-)f |
к конденсатору |
|||
Г,заряженному до другого напряжения Uc^(0-) |
|
(рис. 1.57). |
||
Точно такое же нарушение второго |
закона коммутации |
|||
наблюдаетсяпри включений конденсатора |
или группы конден |
|||
саторов к источнику. |
|
|
|
|
Поэтому при рассмотрении задач, где нельзя |
использо |
|||
вать законы коммутации |
(где законы коммутации |
не выполняю |
||
тся), следует исходить |
из более общих |
законов, а именно: |
||
92
п
закона сохранения магнитного поткосцепления и закона сох ранения заряда, которые можно дать в следующей формули ровке.
L-ф |
і |
1 |
Рис. 1.57.
1 . Потокосцегашние кадушек индуктивности цепи после коммутации равно лотокосцеплению этих катушек до коммута ции.
2. Сумма зарядов конденсаторов цепи пос?е коммута ции равно сумме зарядов, суцествовавших на конденсаторах до коммутации.
Во всех ранее рассматриваемых задачах считалось, что коммутация совершается мгновенно. Для задач, где законы коммутации пѳ выполняются (T----.JP задачи условно вазвани задачами с "некорректными" начальными условиями), необходимо учиивать, что .коммутация длиѵся определенны;,
промежуток времени АІ |
, В этих задачах моментом |
|
л |
t = О будем обозначать момент окончания коммутации,и, |
|
следовательно, значения переходных величин в первый мо
мент после коммутации с-удут, как и ранее, обозначаться •
L(0+), Uc(0+) и т.д.
Расчет переходного процесса для задач с "некоррект ными" начальными условиями особенностей ке имеет. Особен ность таісих задач сводится только к определению начальных значений переходных токов и нпі.рнжелий (значений Б конце коммутации или чр, іальных условий).
Рассмотрим определенно начальны,- гчачений для схем 1.56 и 1.57 .
ЭЪ
а) Схема |
рис. 1.5f. |
|
|
|
||
Определим значения тока в катушках до коммутации: |
||||||
/ ' / / ? ) - |
4 |
- |
£(гг+Г,) |
|
|
|
|
|
Ъ |
_ |
£ Л |
|
|
|
|
• - |
- |
Г і |
• Г г Г> |
|
Потокосцѳпления катушек до коммутации: первой катуш |
||||||
ки ff (О.) = LfLf(0.) |
, |
второй катушки |
Ч'г(0.) = |
|||
К концу коммутации в обеих катушках установится один |
||||||
и тотже ток |
L(0+) |
. Суммарное потокосценление катушек |
||||
после коммутации |
|
|
|
|
|
|
Согласно закону сохранения магнитного потокосцѳплѳ- |
||||||
ния |
|
|
|
|
|
|
или (Lf+Lz) |
L(0+)=L< |
С,(О-У |
Lt |
Lt(0-), |
|
|
откуда jfo.J- |
LiL<(0~)+UU |
(0-) |
|
|||
Подставим значения (..(с-!)* ^ г |
и L2(0^). |
|
||||
ч заключение заметим, что при выражении полного по- |
||||||
токосцепленин отдельных катушек со знаком |
берутся по |
|||||
ток.ісцеплония тех катугаек, у которых направление тока |
||||||
после коммутации совпадает с направлением тока до комму тации, н противном случае будет знак
б) Схема |
оис. 1.57 |
|
|
|
|
- Пусть до коммутации конденсатор С\ |
был заряжен до |
||||
напряжения U0j |
то есть uCz(ß-)-V0. |
Анализ схемы до |
|||
коммутации показывает, что конденсатор Ct |
был |
заря |
|||
жен ло величиии, разной э.д.Cj |
то есть и~і(0-) |
= Е. |
|||
Заряды конденсаторов |
до коммутации: |
|
|
||
первого Ö L , [О-) - Cf |
a C f |
|
|
|
|
второіГ Оі zip-) -CL |
U-cJO-). |
|
|
||
К концу коммутации на обоих конденсаторах установи ся одно и то же напряжение Ü'c(0J) , Первоначальный
ларяд двух конденсаторов теперь перераспределился мааду конденсаторами. Запишем его через полную емкость и общее для обоих конденсаторов напряжение
аш =(с, fCt)uc(o,).
По закону сохрансшия заряда
аы at(o.) + Qz(o.).
Или
(с, + Сг)ис(ot) = С,иС1(о.) *Сгисг(о.).
° Т К У Д а |
// /л I |
CiU«(0-} |
+ C£Uci(0-) |
Подставим значения Uc/(o.) |
и Ucz(O-) . |
||
|
иси.) |
. ц ± т |
. |
Как уже сказано, расчет переходного процесса длч задач с "некорректными" начальными условиями особенно стей неимеет,тоесть после определения начальных J C J
вий pac-iöi j^AeTCf-. оОвіНЫы путем. Покажем это для сломи
I.jb.
Дифференциальноз уравнение циііи после коммутации
Решение этого уравнения
і' id .
Характеристически.- уравнение
(Lt + L |
j р *r; ~>і |
в |
и его корень |
|
|
о— |
JLtU |
|
Значит, |
п* п. |
{ |
іс і |
= де |
. |
После переходного процесса а цепи уопшо.Ултен тек
Следовательно, ток переходного процесса
l'ZH t |
- |
-t |
i = //> / , = - £ - + АР ' L' U * |
- - |
Ae ' . |
Для определения постоянном интегрирования в выраже ние' для тока переходного процесса подставляем значение
і{0+) , откуда |
получаем |
|
|
|
Д = |
EELitfz+n) |
+ Lir3] |
|
Е__ |
(L^Ljnr^nr^qr,) |
г, |
* rz |
||
Таким ос'разом, ток переходного процесса будет |
||||
ч *гг |
1(1, *1>г)(/,гг |
+г,ь |
*ггг3) |
|
§ 19, Вопросы для самопроверки |
|
|||
1 . В каких цепях могут возникать |
переходные процессы |
|||
2.Причины возникновения переходных процессов.
3.Сформулируйте зацоны коммутации.
4. Что такое начальные условия (независимые и зави симые)?
5* Что .іредставляѳт,собой классический метод расчета переходных процессов?
6.Что представляют собой вынужденная и свободная составляющие?
?.Как связаны между собой количество реактивных элѳт мѳнтов в схеме t* порядок характеристического урав нения?
8. Могу г ЛУ оыть корни характеристического уравнения ^ащеотвѳниыии положительными числами? Если не мо
гут, то почему?
9. Если после максимального упрощения в схеме оста лось две емкости, сколько корней будет иметь хара теристическое уравнение и какими будут корни?
ГО. Рассмотреть вопрос 8 для случая,когда в схеме осталось два индуктивности.
1 1 . Зависит ли характеристическое уравнение от функ
ции, воздействующей иа цзпь э.д.с.2 |
|
|
|
12. В каком случае корни характеристического |
уравне |
||
ния могут быть комплексами сопряженными? |
|
||
13. Как изменится |
постоянная времени |
A, L |
- цепи, |
если активное |
сопротивление увеличить в два раза? |
||
9С"
.14, Рассмотреть вопрос 13 |
для ГС - цепи. |
|
||
15. Возможно ли зключениѳ FL— |
и 'г, С |
- цепей нч |
||
синусоидальную э.д.с, не сопровождаемое переход |
||||
ным процессом? |
|
|
|
|
16. Какого порядка будет характеристическое уравне |
||||
ние для сложной цепи |
с одним реактивным |
элементом? |
||
17. Как можно определить |
постоянную времени |
трехветвѳ- |
||
вой цепи с одним реактивный элементомбез |
состав |
|||
ления дифференциальных |
уравнений? |
|
|
|
18. Что понимается под временем переходкого процесса? |
||||
19. От чего зависит минимальное число |
постоянных, |
|||
интегрирования, подлежащих определению при расчё- |
||||
•тѳ сложной цепи? |
|
|
|
|
20. Как производится проверка правильности расчёта |
||||
переходного процесса? |
|
|
|
|
2 1 . В каком случае контур Г, L,C |
является апериодичес |
|||
ким?
22. Каким должно быть активное сопротивление контура Г} L}C У чтобы разряд конденсатора был апериодичес
ким?
23.Через какое время ток разряда конденсатора при критическом активном сопротивлении достигает мак симального значения?
24.Какой контур называется колебательным?
25. Чему равна частота собственных колебании контура?
26. Что называется чскрементом затухания и логариф мическим декрементом затухания'*
.27. Как определяется время переходного процесса?
28. За сколько периодов практически затухает колеба тельный разряд конденсэтооа?
29. Чему ррвно напряжение на конденсаторе колебатель ного контура через половину периода свободных ко лебаний после включения источника ПОСТОРННОГО на-: пряжения?
30.За счет чего колдѳнсатор колебательного контура заряжается почти дз удвоѳн"огэ напряжения источ ника постоянно напряжения при включении послед него в контур?
7.3ак.730.оф. |
97 |
3 1 . В чем заключаются переходные процессы при включѳ нии источника гармонического напряжения в апери одический контур?
32. По какому закону нарастает амплитуда колебаний в контуре при включении источника гармонического напряжения резонансной частоты?
33. Что называется постоянной времени контура и чему она равна?
34. Что называется временем переходного процесса (вр ыѳнем установления) в колебательном контуре при включении источника гармонического напряжения ре эонансной частоты?
35. Как связано время переходного процесса с полосой пропускания контура?
Зь. Какие процессы возникают в колебательном контуре при выключении источника гармонического напряже ния резонансной частоты?
37.Как найти реакцию колебательного контура на воз действие прямоугольного радиоимпульса напряжения
резонансной частоты?
38. Как величина добротности контура влияет на иска жение формы прямоугольного радиоимпульса резонанс ной частоты?
39. В чем заключается переходный процесс при включе нии гармонического источника напряжения в коле бательный контур при наличии небольшой расстройки частоты источника и контура?
40. Чем объясняется осцилляция амплитуды колебаний в контуре во время процесса установления после вклю
чения источника гармонической э.д.с. при неболь шой расстройке?
rt. Какие процессы происходят в контуре при выключении источника гармонической э.д.с. с небольшой расст ройкой?
2. Как найти реакцию контура на воздействие ирямопалиоимпульсапри небольшой расстройке?
43. Что называется сверхтоком или сверхнапряжением, возникающими в контуре при включении источника гармонического напряжения с частотой, сильно отличающейся от резонансной частоты контура?
44. Что называется коэффициентом превышения тока и коэффициентом превышения напряжения?
45. Чем объясняется возникновение сверхтока в конту ре при включении источника гармонического напря жения при:
U) <¥. c j 0 |
и У = 0 , |
|
|
[e(t) = |
Emeoscjt]? |
|
|
46. Чем объясняется возникновение |
сверхнапряжения в |
||
контуре при включении |
источника^_гармонич.ѳского |
||
напряжения при со » и0 |
и Y = |
ЛФ)=£т^соІ]? |
|
47. Всегда ли выполняются |
законы коммутации? |
||
48. Сформулируйте закон сохранения магнитного потокосцѳплѳния.
49. Сформулируйте закон сохранения заряда.
50.В каком случае необходимо использовать законы сохранения потокосцепленйя и заряда.
У