книги из ГПНТБ / Фрер Ф. Введение в электронную технику регулирования

сигналом Хвх, которому соответствует реакция хВых, за висящая от свойств звена, то за входной сигнал здеси

Примем также, что в установившемся режиме выходнаі величина л'В Ы х при помощи делителя или другого преоб разователя напряжения изменяет свою величину. В ЭТОІ

Примером такого звена также может служить ма шина постоянного тока при постоянной частоте враще­ ния и при условии, что работа ее происходит на линей ном участке характеристики. При наличии возбужденш э. д. с. машины пропорциональна напряжению на обмот ке возбуждения с некоторым коэффициентом пропор: ционалы-іости К. Переходный же процесс при изменений

дующее выражение для изменения во времени выходной

Функция f(t) называется переходной функцией инер­ ционного звена 1-го порядка.

На основании уравнения (126) можно записать обоб­ щенное «частотное» уравнение

которое определяет частотную характеристику инерционного звена 1-го порядка. Далее будет показано, что при использовании частотных характеристик гораздо проще вести расчеты, чем при использовании функций вре­ мени.

Исследуем теперь зависимость свойств звена от ча­ стоты, рассматривая отдельно модуль и аргумент функ­ ции W(jQ).

Очевидно, что

20

Логарифм этого отношения, умноженный на 20, обычно представляют как функцию логарифма частоты и измеряют в децибелах (дБ) :

\W (/0)|д Б = 20 ig К - 20 ig Vi + Ü\

При iQ 1 можно приближенно считать, что

\W(jQ)\Ab=*2Q\gK,

а при Q>-1 приблизительно

^ ( / 0 ) 1 ^ = 20 l g / С - 2 0 lg а

В логарифмическом масштабе оба последних урав­ нения соответствуют прямым, переходящим одна в дру­ гую при нормированной частоте Q = l (рис. 9,а). В этой

M

20 lg-К

-90е

S)

Рис. 9. Логарифмические амплитуд­ но-частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики (диаграммы Боде) инерционного звена 1-го порядка.

точке приближение наиболее грубое; погрешность здесь

21

ния методом частотных характеристик.

Между переходной функцией и частотной характери­ стикой существует тесная связь.

Если считать переходную функцию

f(0=w(0/*Dx(0

множества t первичной, или оригиналом, и искать соот­

получают переходную функцию множества /©, причем

(единичный скачок). Преобразованная по Лапласу вход­ ная функция Хт(р) единичного скачка имеет вид:

со

о

Этот единичный скачок должен проявиться и при преобразовании переходной функции (15):

і_

е r^dt =

(18)

В результате преобразования получена комплексная передаточная функция W(p) (которую часто называют

22

комплексной частотной характеристикой) для инерцион­ ного звена 1-го порядка:

являться выходной величиной предыдущего звена, имею­

Сравнивая изложенное с результатами § 5, получаем соотношения:

(19)

справедливые, однако, лишь в том случае, если для функции f(t) все начальные значения являются нуле­ выми.

8. ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

Если сравнительно просто описать поведение инерцион­ ного и других звеньев 1-го порядка, то для звена 2-го порядка это уже гораздо труднее. То же самое можно сказать и о двух включенных последовательно звеньях 1-го порядка.

Рассмотрим вначале звено, состоящее из цепочки RL и конденсатора С (рис. 10). Здесь входной величиной является питающее напряжение и, а выходной — напря-' жение на емкости С; иными словами, звено представля­ ет собой четырехполюсник, у которого входная и выход­

23

Дифференциальные уравнения звена имеют вид:

t

Произведение LC имеет размерность квадрата вре­ мени, и его можно считать постоянной времени, возве-

1

денной в квадрат: LC = T2. Произведение RC, имеющее размерность времени, можно выразить через Т и неко­ торый коэффициент 2£: RC=QXJ. Отсюда

Определим теперь переходную функцию тем же. спо­ собом, что и для инерционного звена 1-го порядка. Пред­ положим, что на входе звена действует скачок сигнала •^вх) т. е.

24

Ясно, что в установившемся режиме (при t—>-оо) на­ пряжение на емкости ис становится равным приложен­ ному напряжению U; это дает частное решение диффе­ ренциального уравнения:

x, = - ^ ( ç - / i / i - ç ? ) ;

(29)

т.е. в виде двух комплексно сопряженных корней. Тогда общим решением однородного дифференциаль­

ного уравнения будет:

("с)пер = е 4 < [A COS ( 4 - V1 - С* ) +

-j-ßsin

Полное решение уравнения с учетом начальных усло­ вий и частного решения (27), отнесенное ко входной ве­ личине U, дает переходную функцию звена при 0 < £ < 1 :

(30)

?5

Это уравнение описывает затухающий колебательный

Полное решение для принятых начальных условий и частного решения (27), отнесенное к uBX(t) = U, дает вы­ ражение для переходной функции:

определяющее границу колебательного и апериодическо­

Сложив это выражение с частным решением и учи­ тывая начальные условия, получим переходную функ­ цию вида

26

Выражение (34) является переходной функцией инер­ ционного звена 2-го порядка для апериодического ре­ жима.

Такой же результат может быть получен для двух инерционных звеньев 1-го порядка, соединенных после-

t

Подставляя y(t) и ее производную в (35), получаем:

Это уравнение тождественно исходному уравнению (24) для звена 2-го порядка с коэффициентом затуха­ ния

24- — 71, ь ь 1.

Следовательно, последовательное соединение двух (или более) инерционных звеньев 1-го порядка можег вести себя только как апериодическое звено.

27

Если теперь предположить, что на входе звена, по­ казанного на рис. 10, действует синусоидальное пере­ менное напряжение

u*(t) ='t/M a ncSin и/,

то можно вернуться к комплексной форме записи. Урав­ нение для приложенного напряжения, т. е. входной ве­

Это есть не что иное,.как уравнение (24), так как символ ja соответствует символу дифференцирования d/dt или оператору Лапласа р. Из (42) легко теперь по­ лучить обычную передаточную функцию

И7/.Ч _UC(P) ' (A3)

28

)Аз (44) и (45) вытекает, что при коэффициенте за­

последовательному соединению без обратных связей ух инерционных звеньев 1-го порядка, имеющих одиковые или различные постоянные времени.

Для построения годографа инерционного звена 2-го зрядка найдем из (42) отношение выходного напряже­

на (Ус ко входному U, т. е. выходной величины Хъых ко кодной Х п х :

(46)

Выделяя вещественную и мнимую части, получаем:

vT

29