книги из ГПНТБ / Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах

Приведенный график, иллюстрирующий методику отыска­ ния корней трансцендентного уравнения, показывает, что урав­ нение имеет бесчисленное множество корней, а следовательно, гидромеханическая система имеет бесконечное множество час­

показывает, что частота собственных колебаний системы гид­ ропривода с источником питания постоянного давления возрас­ тает при увеличении коэффициента кинетической энергии |х при со>сооЭто означает, что возрастанию собственной частоты спо­ собствует уменьшение, массы поршня и соединенных с ним де­ талей исполнительного механизма, а также увеличение пло­ щади поршня и уменьшение площади проходного сечения гид­ ромагистрали. При ш<соо влияние указанных параметров об­ ратное.

Точно так же, рассматривая иа диаграмме графического определения безразмерных частот собственных колебаний вли­ яние отдельных параметров гидромеханической системы на наклон кривой Z2 , устанавливаем, что увеличению частоты соб­ ственных колебаний системы способствует увеличение коэффи­

гом элементе жесткостью С. Таким образом, увеличению собст­ венной частоты способствует уменьшение объема жидкости в полости гидроцилиндра, а также увеличение коэффициента упругости силы сопротивления движению поршня, пропорцио­

ные значения, устанавливаем, что при ш>соо для случая боль­

где п — порядковый номер гармоники собственных колебаний. При <±>>со0 первый член функции Z2 является отрицатель­ ным, с чем и связано указанное большое значение коэффици-

50

ента кинетической энергии, соответствующее приведенному ра­ венству. В случае же, когда со<соо, первый член функции Z2 является положительным и равенству (76) соответствует малая

Приближенно частота собственных колебаний гидравличе­ ской системы в рассматриваемом случае

Рассмотрим другой предельный случай, когда на диаграмме графического определения корней трансцендентного уравнения

к величине юз=2л; и т. д. Обобщая данные значения, получаем следующую зависимость для определения приближенной вели­ чины второго и последующих корней трансцендентного уравне­ ния:

Оцепим, какой величине параметров гидромеханической си­ стемы соответствует приведенная выше приближенная зависи­ мость. Если <в<;<»о, функция Z2 имеет большие значения при больших величинах коэффициента кинетической энергии; при со>соо эта функция имеет большие значения при малой величи­ не коэффициента кинетической энергии.

В отношении остальных параметров можно сказать, что функция Z2 имеет большие значения, соответствующие приве­ денной выше приближенной зависимости для определения кор­ ней трансцендентного уравнения частот собственных колеба­ ний, независимо от соотношения между со и соо при малом коэф­ фициенте потенциальной энергии и малой частоте собственных колебаний поршня при его отделении от гидромагистрали а>0.

Основываясь на приближенной формуле (77), определим размерную круговую частоту собственных колебаний

Далее обратимся к определению первого корня трансцен­ дентного уравнения частот. Рассматриваем случай, когда кри­ вая Z2 на диаграмме графического определения корней урав­ нения направлена под большим углом к оси безразмерных час­

При малом значении аргумента функции синуса и косинуса можно представить приближенными выражениями, раскладывая их в ряд Тэйлора:

Ограничиваясь первыми членами ряда, приближенно прини­ маем для первого корня рассматриваемого уравнения

s i n о»! = СО]',

о

COS С0Х = 1 -

2

Подставим эти выражения в уравнение (78):

« - » f ) ( i - ^ ) - » ; ( H - ^ b ^ ) = o .

откуда найдем приближенную формулу для определения перво­ го корня трансцендентного уравнения частот

Практически часто наибольший интерес представляет огра­ ниченное число наиболее низких частот собственных колебаний, особенно самая низкая — основная частота. Используя выраже­ ние (79), найдем приближенную зависимость, выражающую в

52

Составим также приближенные выражения для определения частоты собственных колебаний гидросистемы на основной гар­ монике

r - a V L £ j L + - r . + - T -

Последние приближенные выражения, относящиеся к основ­ ной гармонике собственных колебаний, соответствуют случаю со<а>о при большой величине коэффициента кинетической энер­ гии, малой величине коэффициента потенциальной энергии гид­ ромеханической системы или малой величине безразмерной частоты соо.

Рассмотрим случай, когда на поршень не действует сила со­

ня данного уравнения от коэффициентов кинетической и потен­ циальной энергий гидромеханической системы. По оси абсцисс

анализе резонансных явлений в колебательной системе именно основной тон представляет наибольший интерес.

На рис. 17 аналогичным образом представлена диаграмма

и (74), которые пропорциональны этим корням. Из приведен­ ных диаграмм видно, что корни трансцендентного уравнения, а следовательно, и частоты собственных колебаний, возрастают

53

Рис. 16. График первого корня уравнения частот

4,6

Рис. 17. График второго корня уравнения частот

при увеличении как коэффициента кинетической энергии, так и коэффициента потенциальной энергии.

При предельных значениях безразмерных величии ц. и т} корни трансцендентного уравнения и частоты собственных коле­ баний могут быть определены по приближенным зависимостям, указанным выше для случая СфО, когда со>к>о.

54

Рассмотрим методику расчета частот собственных колебаний на следующем примере. Пусть гидравлическая передача имеет

= 1962 кг. Рабочей жидкостью является минеральное масло с

Определяем массу жидкости в трубопроводе:

т = р// = 912-3,2-16,62-10~4 = 4,86 кг,

после чего можно найти относительную кинетическую энергию системы гидравлической передачи

см3.

Далее переходим к определению приведенных модулей объ­ емной упругости жидкости [36] в трубопроводе

55

1,Лг

= 1,47-Ю9 Н/М-.

Теперь можно определить относительную потенциальную энергию гидромеханической системы

Подставим полученные величины в трансцендентное уравне­ ние для определения собственных частот

56

Определим время прохождения упругой волной длины трубо­ провода:

После этого можно найти круговые частоты собственных ко­ лебаний гидромеханической системы

а также собственные частоты колебаний на первых четырех гармониках

Нетрудно отыскать также значения периодов собственных колебаний рассмотренных четырех форм:

для основного тона

п аналогичным образом для высших гармоник

Т 4 = 1,60-10- 3 с.

Следует отметить неудобство использования трансцендент­ ного уравнения частот, состоящее в том, что оно не дает воз­ можности выразить величину со в функции параметров LI и f> в явном виде. Однако при малых значениях р, и it},соответствую­ щих короткому трубопроводу, возможно приближенное реше­ ние. В случае, когда первый корень coi трансцендентного урав­ нения частот находится в пределах 0<Ccoi<X можно принять, раскладывая функцию stg coi в ряд Тэйлора,

Ограничимся двумя членами ряда и примем следующее при­ ближенное выражение:

подставив которое в трансцендентное уравнение частот, по­ лучим

57

привода. Однако в практике технических расчетов встречается необходимость решения вопросов, непосредственно связанных с параметрами затухания, и в этом случае пренебрежение тре­ нием и гидравлическим сопротивлением недопустимо.

При создании машин и построении производственных про­ цессов с применением различного рода гидравлических устрой­ ств в качестве средств автоматизации и механизации важно знать свойства быстродействия гидромеханизмов. Динамические свойства средств механизации и автоматизации связаны с упру­ гими и инерционными характеристиками гидравлических меха­ низмов. Построение, согласно общим расчетным зависимостям данной работы, кривых, определяющих протекание переходных процессов с учетом параметров затухания, позволяет опреде­ лить величины, характеризующие быстродействие системы гид­ роавтоматики. В качестве такой величины будем рассматривать длительность переходного процесса.

Однако определение длительности переходного процесса с предварительным построением расчетных кривых является срав­ нительно трудоемким.

Часто в практике технических расчетов при проектировании гидравлических систем механизации и автоматизации производ­ ства возникает потребность в быстрой оценке влияния того или иного фактора на быстродействие устройства. В этом случае удобны простые, хотя и приближенные формулы.

Гидравлическая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы, в связи с ч*ем коле­ бания при переходных процессах происходят на бесконечном числе гармоник. Каждая гармоника характеризуется своей бы­ стротой затухания колебаний. С этим и связана сложность по­ лучения единой формулы для определения длительности пере­ ходного процесса.

Однако, как показывают экспериментальные исследования гидравлических систем, при осциллографировании колебаний давления при переходных процессах в записи колебаний оказы­ ваются превалирующими первые гармоники, особенно основная. Поэтому для вывода простой приближенной формулы для опре­ деления длительности переходного процесса можно представить гидравлическую систему как колебательную систему с одной степенью свободы.

Математически этому соответствуют следующие преобразо­ вания.

В случае отсутствия силы сопротивления движению поршня, пропорциональной его смещению, при учете силы вязкого тре­ ния, действующей на поршень, и местного гидравлического со­ противления органа управления, преобразованная функция дав­ ления в трубопроводе имеет вид

59