книги из ГПНТБ / Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах

Далее находим безразмерное

выражение давления в упру­

гом объеме:

Ца — Ци

t)'—0

— dx ,

где

Yoa =

• •

«1 (0, Т ) = V'U

+ -5

dx

+

ГЦ ( ? , ' + Цл — Цп),

•&i

где

C\hF\ .

v/ =

g.=

gpi^iQ .

„' _

Poi — Pm .

„

W\k"

<7. — — r . —

-

T i i

ih (0, т) = и

•

+ г|2 (<?,' + q., — q„),

где

w2k"

„

£,)ol/2 .

"9. =

,

Tl2 ~

~rir + Zo

ат

+

m0 z =

fx [Й £7,, — qn

— Kpo (x — t * ) ] ,

от-

где

0/;

2

0 2 C

•'

0

M

M

[i=

—f--

F-

—- ;

m 2 =

p/2 f2 ;

=

Q '

=

7 7 ;

а(т—т*) —единичная

функция, равная

q.

+ g2 (1. х) =

уси2{\,х),

где

qt

= — - — . Ус = — •

rQ.2 =

i

' >

<2 6 )

qtU

=

Qu+-^-Uu—^-\

wju

Др

U1 (

х, f) = UU

^— Qc — ц {qu + Qu);

Ч 1 + ^ Н - ;

(27)

Qi ( - и , 0 = <7* + Qu -

tfA ( - х , л);

(28)

CL =

Qi{0,r)-ymU1(0,r);

(29)

Q 2 (0,r)=

Q N — Yo2i/3(0,r);

(30)

L \ (0, о

=

v'*/ +

Q.<OI - f

in

(</,'

-

Qn),

(31)

где

Ф, = ~

- i -

Us

(0, r) = U — Q„Oa

-!- n2 (</,' +

Q.,),

(32)

где

Ф, =

- j -

i i 3 ;

Л

=

^ + lor -!- ы 5

4,

+

Q2 (!.'•) =

YctV2(l,/-).

(33)

В приведенных выражениях заглавными буквами обозначе­

ны

изображения

величин, оригиналы

которых

обозначены те­

ми же малыми буквами.

Системе

дифференциальных уравнений

(25)

удовлетворяет

решение

Q1{Z,r)

= A1chK1Z

+

B1sh%.lt\

(34)

Ui il,r)

=

р-

( Л sh h I +

В, ch Я, £),

(35)

где

1

Yi

Р '

Система дифференциальных уравнений (26) имеет

следую­

щие интегралы:

Q2 (|, г) = /12

ch h2

ё

52

sh I,

|;

(36)

^2 (I, О =

^ -

(Л2 sh Л8 £ +

Б 2

ch Я2

£),

(37)

™ e

Л а

= г ] / I +

•

Величины

В], Л2 и

В 2

представляют

собой

постоянные

интегрирования

и подлежат определению

из

граничных

усло­

вий. Как

видно

из

равенств,

определяющих

преобразованные

функции

давления

и скорости

жидкости

в

трубопроводах

1 и

2, для решения

задачи должны быть использованы

граничные

где

L U, ( -

х, г) = и* -

Г [{Q, ( - х, г) -

gJ ,

(38)

г

-г У а

и -

( Р * — Рн + Н ) wJu

Др/гД

Исключим из граничных условий преобразованные функции

давления

в левой

и

правой полостях гидроцилиндра. Для

это­

го решим совместно уравнения

(29)-—(31):

и, (о, 0 ( 1 + У т a\)

=

v'u

+ ф, q, (о, г)

-

-

% [Qa (0, г) +

у 0 2 U2(0,r) — q'l

(39

Затем

подставим

выражения

QA

и Q„

из

равенств

(29)

и

(30) в граничное условие (32):

(1 +

Уо2 Ф2 ) U2

(0, r) = U — Фа Qo(0,/') +

r,2 [q[ +

Qx (0, г)

-

-VnUAO.r)].

(40)

Л U = Q' [Qx (0, г) -

YOI i / i (0, D] - Q2 (0, г)

-

— уМ(0.

г) —Кре~х*г-

(41)

ного трубопроводов. В результате

получим пять

уравнений

с пятью неизвестными: Аи Ви

А2, В2, U.

(38), най­

Проведя указанное преобразование с равенством

дем

А1Аи

= и* + В1А°,

(42)

где

"* = «* + Г?*;

Л ц = Ь

sh Ях х + Г ch %у к;

А° = L -^-chXlK

+ r s h ^ x .

Подставим Q2 и U2

в граничное условие (33):

где

i

+ А2ТС+

В2

Г° = 0,

(43)

Гс = ch Я3 + ус —— sh Х2;

Тс

= sh X* ->•• v c —— ch А,».

Подстановка преобразованных

функций

давления

и скорос­

ти жидкости в граничное условие

(39) дает

- - t - B 1

( \ + у01 Фх ) = v'U + Фх Аг

- г н (А2-

-L-

Y u 2

В2 - q't

Соответствующую

подстановку

произведем в

граничное ус­

ловие (40):

-

~j-

Вп (1 + Yo2 Фг) = U — Ф2А2

+ ц2

+ At +

yoi В,\

и в граничное условие (41):

MJ = Q' (Ч + Yoi - у 1

B i ) — А2 + YO2 - у - S 2 -

КРе

Проведя решение полученной системы пяти уравиешп . най­

дем неизвестные U, А{

и А2 в виде

U ~ ^

(^т^з^б ~f~ 5]S4So

- j -

52 5з55 — S2S^Srj —

—

-SxSsSe);

(44)

Аг

= W7 - 1

(v'S8 SG

+ S7 S4 Л + S2S» — S2SS

A — v' S4 S9

-

S7SB;

A2

= UT 1

(v'S3 S9

+ SiSs Л + S7SS

-

S,S3A

— v'S8 S6 -

S ^ ) ,

где

117 = v ' 5 3 5 0

+ S A A + S2 S5

— 5 2 5 3 Л — v'54 S5 — S A ;

51 =

ф 1 +

И 1

0 т 1 Л ;

4 1 +

J t ^ s - 4 1 + J ^ )

Si = — ф 2 -

•УоаФа)

S 6 =

- Q ' f

1 + -

Sr.-

5 7

= -

^

f (1 +Yoi1>i) -

— Л х ( ^

Yo2

"7

V (1

+ Y02 Фг) — 112

<7. — Yoi MS

Vox

Y02 r<7

0

Произвольные постоянные Bx

и

5 2

найдем

из уравнений

(42) и (43), выразив их через полученные А\ и

А2:

В1

Л ц

— и*

=

= — <?" +

Г с Л 2

(45)

Б 2

« У

(£,

г)

i^i

(О

f/i(£,r)

=

(Е,

г)

И М ' )

(46),

w y 2 ( E ,

г)

« М О

ад

о

= -

, l ( l , T ) =

J ^

L + V J ^ U

' , ' ,

(47)

] v i

(0)

JnA г1П Wx

(rin)

n= 1

"

(т) =

Wu (0)

V

Wu

(rn)

(51)

1^(0)

rn W" ('„)

где r\, r2,..., /'„ — корни уравнения

W(r)

= 0, причем предпо­

лагается, что нулевых корней пет.

В соответствии с полученным выражением размерная ско­

рость поршня

г „t

А р

Wu

(0)

+ •ъЛ

wu(r„)

~в

W.-.Q,

W

(0)

raW

(г„) е

Определим

закон

смещения

поршня

силового гидроцилинд­

равления. Для

этого проинтегрируем полученное

выражение

безразмерной

скорости

w„ (Q)

Wu (/•„)

(52)

IV" (0)

( е г " т - 1 ) .

.-26

пневматического

ак­

кумулятора

с

воз-

|

душной

подушкой

I

над

уровнем

жидко­

сти,

причем

объем

воздуха

обеспечива­

ет

в

процессе

пуска

постоянство

давле­

ния

в источнике

пи­

тания.

Трубопровод

р и с

з Схема гидромеханизма с расположе-

3

соединяет

псточ-

ннем

органа управления у источника питания

ник

питания с сило­

Рассмотрим переходный процесс, возникающий при пуске

такого

механизма.

Введем безразмерные время

т =

'

(где в = — \

и координату длины

£ = — ,

где / •— длина трубопровода.

Очевидно, решение для рассматриваемого упрощенного слу­

чая

можно получить

как частный случай

рассмотренного вы­

Примем также £ * = в или т * = 1 , имея в виду, что

возраста­

ние постоянной составляющей сопротивления движению

порш­

ня начинается с момента начала его движения, когда

к

порш­

ню подходит упругая волна от клапана.

ления. Поршень

приходит в

движение,

причем потенциальная

энергия переходит в кинетическую энергию поршня

и жидко­

сти. Происходит

расширение

жидкости,

давление

снижается,,

жению по закону колебаний. Количественно

данный

процесс:

анализируется

ниже.

Изменение

давления

в

гидросистеме

после открытия органа управления

Открытие органа управления вызывает возникновение коле­

бания давления в гидравлической

системе.

Исключение

сос­

РШ),

тавляет

сечение

трубопрово­

да,

примыкающее

к

органу

управления, где давление при пере­

ходном

процессе

сохраняется

по­

стоянным. Если для простоты пре­

небречь

местным

гидравлическим

сопротивлением

выхода

из гидро­

аккумулятора

и органа управления,.

0

^

то оно

равно

в

течение

всего

изу-

t

чаемого

явления

постоянному

дав-

Рис. 4. Изменение давле-

лению аккумулятора

ри:

ния у органа

управления

p{—l,t)

=

pu.

линдр, положив Л'=0, | =

0;

Q ( 0 ,r) =

A

+

* / " - f s b '

t

(53)

где

Pi

•

Pi =

sh r +

ЛЛ 0 ;

Л° = c h r +

- ' -

shr;

•ft

V

и V0

—

объемы жидкости

соответственно

в трубопроводе

и в полости

цилиндра;

£

я Е0

—

приведенные

модули

объемной

упругости жидкости

в трубопроводе и в полости цилиндра.

Коэффициент

Д Р

V

F

J

где Ар=ри—ро

— начальный

перепад давлений

на органе уп­

равления.

ного механизма

примет вид

Л =

В этой

формуле

д. =

е

Q 2 ,

от

„

F

где

е =

•

Q =

•

М

f

F — площадь поршня, со стороны

напорной

полости;

/ — площадь поперечного сечения трубопровода;

т— масса жидкости в трубопроводе.

Будем

далее

рассматривать

переходный

процесс при посто­