книги из ГПНТБ / Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах

ходном процессе, вызываемом перекрытием нагнетательного и сливного трубопроводов при помощи золотника в начальный момент времени.

Отличие от общего случая заключается в том, что начало трубопровода 1 присоединено не к источнику питания, а к за­ крытому золотнику в течение рассматриваемого диапазона вре­

Данное условие можно получить как частный случай гра­ ничного условия для сечения трубопровода, примыкающего к

Давление и скорость жидкости, а также скорость и закон движения поршня определяются на основании этих равенств с использованием второй теоремы разложения операционного исчисления.

Этим методом получена следующая переходная функция давления для примыкающего к гидроцилиндру сечения напор­ ного трубопровода:

где

^ л = {гп + Хо) Л 2 (гя) + д." (ch Х2 — ch %t х);

130

ГРОг

Используя указанное выражение переходной функции дав­ ления, найдем закон изменения давления в конце трубопрово­ да / (см. рис. 53) при переходном процессе

Аналогичным образом отыскивается с использованием вто­ рой теоремы разложения переходная функция давления для примыкающего к гидравлическому цилиндру сечения трубопро­ вода 2:

со

Переходная функция для трубопровода / отличается от со­ ответствующей функции для трубопровода 2, во-первых, числи­ телем:

№?з = (''« + Хо) Лх + р/ (ch lin — ch А,2).

Во-вторых, переходные функции давления трубопроводов / и 2 отличаются знаком. Положительное значение переходной функции давления трубопровода 2 говорит о том, что измене­ ние давления при переходном процессе характеризуется его повышением после закрытия органа управления. В напорном же трубопроводе, как показывает отрицательное значение его переходной функции давления, после закрытия органа управле­ ния происходит понижение давления. Отмеченная закономер­ ность соответствует физическому смыслу явления.

Переходя к размерным переменным, находим закон изме­ нения давления в начале сливного трубопровода:

Переходный процесс при одинаковых размерах напорной и сливной линий

Расчетные зависимости, определяющие переходный процесс при одновременном перекрытии нагнетательной и сливной магистралей в общем случае оказываются довольно сложными. Для того чтобы наиболее наглядно проследить основные харак­ терные закономерности исследуемого динамического явления, проведем упрощение расчетной схемы. Примем, что размеры напорной и сливной линий одинаковы:

£32

сечений напорного и сливного трубопроводов начальные ско­

ния дифференциальных уравнений неустановившегося движения

Следовательно, давление и скорость жидкости в обоих тру­ бопроводах можно выразить в области изображении при по­ мощи лишь двух произвольных постоянных, например А\ и Ву:

постоянных преобразованная скорость поршня гидравлического

Изменение скорости поршня при остановке. Сопоставим пре­ образованную функцию скорости (140) с выражением (132), представляющим собой преобразованную функцию скорости поршня для случая, когда давление в сливной линии постоянно.

Сопоставление равенств (132) и (140) показывает, что они

133

отличаются наличием множителя 2 при коэффициенте кииетитеческой энергии ц. в случае одновременного перекрытия на­ порной и сливной линий.

Таким образом, для отыскания оригинала выражения (140) можно использовать уже выведенный оригинал преобразован­ ной функции (132), полагая, что отличие оригиналов также со­ стоит в наличии множителя 2 при р.. На этом основании нахо­ дим переходную функцию скорости поршня для случая одновре­ менного перекрытия органом управления напорного и сливного трубопроводов гидравлического механизма:

оо

и (т) = - 1 + 2LI V В" ( ' ° " ) cos <олт,

где через Bv обозначена функция

Bv (сол) =

9

(141)

COS Cur;

При выводе зависимости, определяющей переходную функ­ цию скорости поршня, не учитывались параметры затухания гидравлического механизма.

Параметр соп является корнем трансцендентного уравнения

к анализу переходного процесса, протекающего при перекрытии только напорного трубопровода, также состоит в наличии мно­ жителя 2 при коэффициенте кинетической энергии.

Используя соотношение между размерной и безразмерной скоростью поршня, получаем следующий закон изменения ско­ рости поршня силового гидроцилиндра при одновременном перекрытии напорной и сливной линий:

оо

v (t) = 2 LIО о л V , В " ( Ю " } cos knt.

л=1

Вэтом равенстве круговая частота колебаний скорости

мость для определения скорости поршня при переходном про­ цессе:

134

Анализ колебаний давления в напорном трубопроводе у ор­ гана управления. Подставим координату примыкающего к ор­ гану управления сечения трубопровода 1 \=—1 в равенство (136):

Переходя к размерным переменным, получаем следующий закон изменения давления у органа управления в напорном трубопроводе:

со

линдра. Подставим в равенство (136) координату сечения на­

ванной функции скорости поршня согласно равенству (140) и представим данное выражение преобразованной функции дав­

135

Отсюда можно сделать заключение, что и оригинал преобра­ зованной функции давления (146) должен отличаться от ори­ гинала функции (135) наличием множителя 2 при коэффициен­ те (.и

Рассматривая случай отсутствия в гидравлической системе сопротивления и отсутствия в исполнительном механизме тре­ ния, находим следующую переходную функцию давления для сечения напорного трубопровода расположенного у цилиндра:

где соп представляет собой корень трансцендентного уравнения (142), а функция Bv(an) определяется согласно равенству (141).

Тогда закон изменения давления в рассматриваемом сече­ нии трубопровода, а также в передней полости гидравличес­ кого цилиндра при переходе к размерным переменным оказы­ вается следующим:

со

рх (0, t) = Poi — w v01 V Bv (©„) sin kni. n=\

Определение скорости жидкости в напорном трубопроводе.

Получаем следующее выражение переходной функции ско­ рости жидкости в примыкающем к силовому гидроцилиндру сечении напорного трубопровода:

п=\

136

Расчет давления в сливном трубопроводе у органа у п р а в ­ ления. Для определения преобразованной функции давления в- сечении сливного трубопровода, примыкающему к органу управ­ ления, воспользуемся уравнением (139), подставив в него зна­ чение безразмерной координаты вдоль оси 'гидравлической ма­ гистрали | = 1. В результате получаем'

— у/-

Проведя сопоставление полученной преобразованной функ­ ции давления конца трубопровода 2 с выражением (143),. приходим к заключению, что преобразованные функции давле­ ния сечений напорного и сливного трубопроводов, примыкаю­ щих к органу управления, отличаются только знаком.

На этом основании сделаем вывод о том, что и оригиналы указанных преобразованных функций отличаются лишь знаком. Согласно зависимости (144), получаем следующее выражение переходной функции давления сливного трубопровода:

л=1

Вразмерных переменных находим закон изменения давле­ ния у органа управления в трубопроводе 2:

Исследование переходного процесса в задней полости гидро­ цилиндра. Найдем преобразованное по Лапласу—Карсону вы­ ражение для определения давления в примыкающем к гидрав­ лическому цилиндру сечении сливного трубопровода, для чего* подставим координату этого сечения | = 0 в интеграл дифферен­ циальных уравнений движения реальной жидкости в трубах:

Сопоставление полученной преобразованной функции давле­ ния с преобразованной функцией напорного трубопровода пока­ зывает, что они отличаются лишь знаком. Следовательно, и оригиналы их отличаются только знаками.

Используя зависимость (147), находим переходную функцию давления для начала сливного трубопровода:

q2 (0, т) = V В , (со,,) sin со„ т.

Тогда закон изменения давления в полости силового гидро­ цилиндра и примыкающем к ней сечении сливного трубопро­ вода выражается зависимостью

137

скорость жидкости равна нулю. Для определения скорости у

Сопоставление найденного выражения с равенством (148) показывает, что преобразованные функции скорости напорного и сливного трубопроводов одинаковы в рассматриваемых сече­ ниях, расположенных у гидроцилиндра. Следовательно, одина­ ковы для этих сечений и переходные функции скорости.

Используя зависимость (149), получаем

п=1

Приведем также выражение размерной скорости жидкости для начала сливного трубопровода:

Учитывая, что при одинаковых величинах площадей проход­ ных сечений трубопроводов / и 2 начальные скорости жидко­ сти в них равны на основании условия неразрывности потока, размерные скорости жидкости при переходном процессе у ци­ линдра одинаковы.

Приведем пример расчета по выведенным формулам пере­ ходного процесса при перекрытии напорной и сливной линий применительно к гидравлической системе с рассмотренными вы­

туда колебаний давления выше у органа управления, чем у ци­ линдра.

138

Результаты расчета показывают, что в системе со сливным трубопроводом по сравнению с гидросистемой с одним пере­ крываемым трубопроводом выше частота колебаний, меньше амплитуда колебаний поршня и амплитуда колебаний давления, что можно объяснить повышением жесткости системы в сочета­ нии с увеличением инерционных масс жидкости в трубах.

Определение частот свободных колебаний гидравлического

механизма с перекрытыми напорной и сливной линиями. Как по­

казал проведенный анализ, колебания давления и скорости жидкости в обоих трубопроводах, а также колебания поршня силового гидроцилиндра происходят с частотами, определяемы­ ми выражением (74), где безразмерная круговая частота соб­ ственных колебаний определяется как корень трансцендентного уравнения частот (142).

Данное уравнение отличается от уравнения частот (106) на­ личием сомножителя 2 перед коэффициентом кинетической энергии д.. Таким образом, для его решения можно использо­ вать диаграммы, приведенные на рис. 45, причем при этом сле­ дует считать, что по горизонтальной оси диаграмм отложено удвоенное значение коэффициента кинетической энергии.

. Анализ указанных диаграмм применительно к уравнению (142) показывает, что собственная частота гидравлической си­ стемы с перекрытыми напорным и сливным трубопроводами выше частоты собственных колебаний гидравлического меха­ низма с постоянным давлением в сливной линии.

Основываясь на аналогии уравнения (142) с уравнением ча­ стот (106), можно показать, что в случае коротких трубопро­ водов / и 2, т. е. малых величин коэффициентов кинетической и потенциальной энергии, первый корень уравнения частот, со­ ответствующий частоте основной гармоники, определяется фор­ мулой:

Данная формула является приближенной и рекомендуется к применению при удовлетворении неравенства

1,47)<2,П .

В противном случае, если параметры гидромеханической системы не удовлетворяют приведенному неравенству, большую точность обеспечивает формула, также приближенная,

Частоты колебаний на высоких гармониках в случае корот­ ких сливного и напорного трубопроводов могут быть прибли­ женно определены с использованием равенства (111), а для

139