книги из ГПНТБ / Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах
.pdfимеет |
коэффициенты |
кинетической |
и потенциальной |
энергии |
|||
ц = 0,888; т}=10. Решая |
уравнение (106), |
определяем |
точную ве |
||||
личину |
безразмерной |
собственной |
частоты основного |
тона: |
|||
coi = 0,8. |
Подставим заданные значения |
параметров |
ц. и |
О в |
|||
неравенство (114): |
|
|
|
|
|
|
|
|
10(0,888 —0,6) = 2,88 > |
1,4. |
|
|
|
||
Полученный результат означает, |
что приближенная |
форму |
|||||
ла (112) в рассматриваемом случае |
не обеспечивает |
|
точность |
||||
даже в пределах 10%. |
|
|
|
|
|
|
|
Определим действительную точность конкретно. Для этого подставим заданные величины параметров гидравлической сис темы в зависимость (112):
/ ^ 8 8 8 _ =
У10
Относительная погрешность расчета по сравнению с точным решением составляет
. |
, п п 0,899^—0,800 |
1 |
0 . |
А©! = |
100—:—°- : |
= |
12,496 - |
0,800
Данный результат соответствует выводу, сделанному с ис пользованием неравенства (114). Точность приближенной зави симости (112) при заданных параметрах оказалась недостаточ ной.
Выведем другую приближенную зависимость, обладающую большей точностью в определенном диапазоне значений коэф фициентов кинетической и •потенциальной энергий.
Возьмем за основу знаменатель равенства (107). Выразим в- нем оператор преобразования Лапласа—Карсона через безраз мерную круговую частоту: r=±i'co. В результате получаем урав нение, приравняв знаменатель нулю:
со sin со = fu, — ) cos со.
Выразим в этом равенстве приближенно функции синуса я. косинуса с помощью ряда Маклорена:
• ? - ( " - 4 ) (^
откуда находим приближенное выражение безразмерной основ ной частоты собственных колебаний гидравлической системы для случая «ороткого трубопровода:
в>1= |
, ' |
(П5> |
|
|
D |
ПО
С целью разграничения диапазонов применения зависимо
стей (112) и (115) используем неравенство |
|
+2,93) < 4,21. |
(116) |
В случае соблюдения этого неравенства более высокую точ ность обеспечивает приближенная зависимость (112). При неудовлетворении коэффициентами кинетической и потенциаль ной энергий приведенного неравенства целесообразно исполь зовать формулу (115), обеспечивающую более высокую точ ность.
Подставим, например, в приведенное неравенство значения ц. = 0,888 и -0 = 10:
10 (0,888 + 2,93) = 38,2 > 4,21.
Полученный результат показывает, что в этом случае целе сообразно применять формулу (115). Подставим в нее данные рассматриваемого примера:
©!= |
— _ |
' |
1 |
|
|
|
= 0,757. |
|
||
|
|
V |
- |
2 |
1 |
\ |
'. + •' |
|
||
|
|
г 0,888 |
|
10 |
|
|
||||
Определим относительную погрешность полученного прибли |
||||||||||
женного результата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А |
|
|
0,757 — 0,800 1 П |
А |
с Q7n/ |
|
|||
|
Acot = —• |
• |
|
100 = — 5,37%. |
|
|||||
Анализ показал, |
|
0,800 |
случае, |
действительно, прибли |
||||||
что в |
этом |
|||||||||
женная зависимость |
(115) |
является |
более точной, чем формула |
|||||||
(112). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернемся |
к случаю, когда коэффициенты кинетической и по |
|||||||||
тенциальной |
энергий |
|j, = 0,489 |
и f}=0,5. Подставим эти |
данные |
||||||
в неравенство (116): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,5(0,489 + 2,93)= |
1,71 < 4,21. |
|
||||||
Полученный |
результат |
показывает, |
что при заданных |
пара |
||||||
метрах ц, и f> более |
целесообразно |
применять формулу |
(112). |
|||||||
Расчет по этой зависимости приведен выше. Для сравнения под
ставим |
данные |
рассматриваемого |
примера |
в формулу |
(115): |
||||
|
щ = |
— |
|
1 |
|
= 0,386, |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
V - |
1 |
|
|
|
|
|
|
0,489 |
V |
0,5 |
|
|
|
|
Относительная |
погрешность |
полученного |
результата |
равна |
|||||
|
|
|
0,386-0,400 |
1 0 0 |
= = _ 3 i 5 o / |
o _ |
|
|
|
|
|
|
0,400 |
|
|
|
|
|
|
Из |
результата расчета |
видно, что как и следовало |
ожидать, |
||||||
по формуле (115) |
получен менее точный результат, |
чем с ис- |
|||||||
Ш
пользованием зависимости (112), хотя также с приемлемой для технических расчетов точностью.
Проведенный анализ позволяет также сделать вывод о том, что приближенная зависимость (112) дает завышенный резуль тат, а выражение (115) приводит при расчете к заниженному результату по сравнению с точным решением.
Длительность переходного процесса. Длительность переход ного процесса в рассматриваемой гидравлической системе при ее пуске может быть определена путем построения соответст вующих переходных функций с учетом распределенного гидрав лического сопротивления гндромагастралн и трения в исполни тельном механизме.
Для быстрой приближенной оценки длительности переход
ного процесса и определения влияния |
на этот |
параметр харак |
|
теристик гидравлического |
механизма |
выведем |
приближенную |
зависимость, основываясь |
иа рассмотрении основной гармоники |
||
свободн ых кол еб а и ий. |
|
|
|
Рассмотрим выражение (107), определяющее преобразован ную функцию давления в конце трубопровода. Знаменатель ее
равен при учете параметров затухания |
|
|
||||
W = (r + хо) sh г + |
|
(1 + |
(г + |
хо)4" chr. |
(117) |
|
Произведем разложение функций гиперболического синуса и |
||||||
косинуса в ряды Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
W = (-v--+D)[r*+ |
|
|
2X0 |
r+ |
£ — V |
(118) |
|
|
|
|
D |
2 ^ |
|
Как следует из соотношений между преобразованными функ |
||||||
циями и оригиналами в операционном исчислении, |
коэффици |
|||||
ент при первой степени оператора в выражении |
(118) пред |
|||||
ставляет собой величин-у |
|
|
|
|
|
|
2/ = |
2 X 0 |
, |
|
(119) |
||
о |
, |
_ t |
|
|
|
|
2 |
_ |
г |
D |
|
|
|
причем х определяет затухание переходного процесса, входя в
показатель выражения |
степени |
е~ул — сомножителя в пе |
|
реходной |
функции давления. Колебания полностью затухают, |
||
когда эта |
величина становится равной нулю, т. е. при т = оо. |
||
Исходя из потребностей практических расчетов, будем пони |
|||
мать под |
длительностью |
переходного |
процесса т п то время, в |
течение которого амплитуда колебаний давления снижается до 0,05 от начальной амплитуды. Тогда должно соблюдаться ра венство
е - х т п = о,05.
Проведя далее те же преобразования, что и в предыдущей
112
главе, получим выражение (83). Подставим |
в него величину % |
|||
из равенства |
(119): |
|
|
|
|
|
Тп = J § (2 -1- |
|
|
Раскроем |
выражения |
0, р. и %0: |
|
|
|
т |
_ зм |
2 + |
(120) |
|
|
|
||
Из соотношений операционного исчисления следует, что по следний член в круглых скобках выражения (118) представ ляет собой квадрат частоты колебаний при переходном процессе
2
О влиянии характера начала работы источника питания.
При выводе переходных функций возмущение, вызывающее переходный процесс в гидравлической системе, характеризуется мгновенным подъемом скорости в начальном сечении трубо провода до номинального значения. Это соответствует предпо ложению о том, что насос при пуске мгновенно начинает нагне тать рабочую жидкость с полным расходом, не учитывающему
времени разгона как насоса, |
v(ot)k |
так и приводного электродви- |
' * |
гателя (рис. 47). |
|
v(0.t)\ |
|
О |
|
t |
|
Рис. 47. |
График |
скачкообразного |
Рис. 48. График плавного' нараста |
изменения скорости |
жидкости в на |
ния скорости жидкости в начале |
|
|
чале трубопровода |
трубопровода |
|
Общие зависимости, относящиеся к анализу пуска гидрав лического механизма, учитывающие характеристику источника питания общего вида и упругого гасителя колебаний, позво ляют устранить этот недостаток.
Однако можно предложить более удобный способ учета времени выхода источника питания на заданный режим. При этом способе используются выведенные переходные функ ции, которые несложным образом преобразуются.
Пусть скорость жидкости в начале трубопровода при пуске
8—1093 |
113 |
гидропередачи изменяется по закону, показанному на рис. 48, который может быть выражен следующей зависимостью:
|
o(0,0 = o * ( l — е |
* е \ |
|
где /с--— |
постоянная времени, характеризующая быстроту на |
||
растания |
скорости. |
|
|
Скорость изменяется от нуля при |
/ = |
0 до установившегося |
|
значения |
и, при бесконечном значении |
времени, приближаясь |
|
к и* асимптотически. Постоянная времени является величиной проекции касательной к кривой изменения скорости жидкости в начальный момент времени на линию установившегося зна чения скорости.
Как |
показывает принятый закон |
изменения скорости у |
насоса |
в начале пуска по экспоненте, |
максимальное значение |
скорости в начале трубопровода достигается при бесконечном времени. Однако с практически достаточной степенью точности
(до |
5%) |
|
можно принять, что скорость жидкости в начальном |
||||
сечении |
устанавливается в момент |
времени tQ = 3tc. |
Назовем |
||||
величину |
|
/0 временем разгона насоса. Введем время |
разгона |
||||
в закон |
изменения скорости жидкости у |
насоса: |
|
||||
|
|
|
и (0, l) = |
v*(\-e~'7r)=v,T"(l). |
|
||
В |
безразмерных . переменных |
|
закон |
изменения |
скорости |
||
жидкости у насоса принимает простой вид: |
|
|
|||||
|
|
|
_ |
ЗТ |
|
|
|
|
|
|
ы ( 0 , т ) = 1 — е |
|
х»' = Г"{т), |
(121) |
|
где т о = — |
безразмерное время |
разгона |
насоса. |
|
|||
|
|
G |
|
|
|
|
|
Теорема свертывания операционного исчисления позволяет перейти от мгновенного возмущения к возмущению принятого
вида. В этом случае переходная функция давления для |
начала |
|||||
трубопровода приводится |
к выражению |
|
|
|||
|
|
|
со |
|
|
|
|
q (0, т) = /Л> (т — 1) + V |
[Ао (со,,) Ts |
(со,,, т) — |
|
||
|
|
|
п = 1 |
|
|
|
|
— К ^ ( т |
—1)^*(CO„)COSCO„(T-- |
1)1, |
(122) |
||
где 7^(соп,т) — функция |
времени, определяемая зависимостью |
|||||
(65), причем в указанной формуле следует под величиной |
то по |
|||||
нимать |
применительно |
к данному случаю безразмерное |
время |
|||
разгона |
насоса. |
|
|
|
|
|
В размерном виде |
имеем |
|
|
|
||
|
|
|
|
00 |
|
|
р (о, о = РО + |
а |
v - 6 ) + ™ > * |
У,'А* |
т м |
- |
|
|
F |
|
|
^ |
|
|
114
|
|
|
— KXR |
К ) с (t |
0) cos ft„ ( f - 0 ) ] . |
|
|
|
||||||||
Аналогичным образом выводим переходную функцию давле |
||||||||||||||||
ния для |
конца |
трубопровода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
q (1, т) = |
|
Kva |
(т - |
1) + |
V |
[Av |
(со,,) Г5 |
(со,,, т) |
- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.ДОЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— / W («") ^fCT (т — 1) cos со„ (т — 1)]. |
|
|
|
|||||||||||
Соответствующее |
|
разномерное |
давление |
равно: |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
= |
Ро + |
- г " |
а(/ - |
В ) + |
wv.,. V [Л0 (<ол )Г,(/гв , О - |
|||||||||
|
|
— KvAvR |
(со,,) a(f - |
0) cos k„(t - |
0)1. |
|
|
|
||||||||
Переходная функция скорости жидкости в конце трубопро |
||||||||||||||||
вода для случая немгновениого возмущения имеет вид: |
|
|||||||||||||||
|
и(1,т) = Т " ( т ) - |
V |
Av(co„) |
|
м- |
|
со,, |
Tc{u>n,[t) |
-г |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-г р/С„ а ( т — |
1) s ' n с о " |
sinto„(x— |
1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
СО,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(l,t) |
= v, (Г" (О -S>AV |
(сол) [ ( ^ - - |
|
Те |
(/г„, 0 |
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ s i |
n |
м" |
Kva |
(t — 0) sin kn |
(t — 0) |
|
|
|
|||||
|
|
|
COn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя |
теорему |
свертывания, |
находим следующее вы |
|||||||||||||
ражение безразмерной |
скорости |
поршня: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ип(т) |
= |
Т"(т) |
- |
jx V |
А о { Ш п |
) |
[Тс |
(со„, т) + А0 |
(сол) X |
||||||
|
|
|
|
|
|
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Kva (т. — 1) sin сол |
(т — 1)]. |
|
|
|
|
||||||||
Размерная скорость поршня в случае немгновенного разгона |
||||||||||||||||
насоса |
изменяется |
при |
переходном |
|
процессе |
по |
следующему |
|||||||||
закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mt)=-^-\T"{t)-^y. |
|
|
Av (со,,)- |
[Tc(kn,t) |
|
+ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ i = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ А0 |
|
(сол) KVG |
(t - |
0) sin kn |
(t — ©)] . |
|
|
|
|||||
115
Определим закон движения поршня, для чего проинтегри руем по времени выражение (123). При этом оказывается, что
t |
|
,) |
« л |
О |
|
В результате получаем следующее выражение, определяю щее закон движения поршня при переходном процессе с учетом пемгновенного характера пуска насоса:
у Ф - |
|
|
(Т' (0 - и.0 у |
A i ^ i L [ T s |
(k„, t) + |
|
|
|
|
1 |
us |
ш» |
|
- г |
Ло (со„) Kvo |
(t — в) [1 — coskn (t - |
9 ) ] j . |
|||
В случае t0 |
= |
0 |
данная зависимость переходит в равен |
|||
ство, приведенное |
на |
стр. |
102. |
|
|
|
Г л а в a III
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ЗАКРЫТИИ ОРГАНА УПРАВЛЕНИЯ
|
|
|
|
Общие динамические соотношения |
|
||||
Принципиальная |
схема, используемая при анализе дина |
||||||||
мики |
остановки |
гидравлического |
привода, изображена Hi |
||||||
рис. 49. По напорному трубопроводу |
/ жидкость |
под давлением |
|||||||
поступает |
из |
источника |
|
|
|
||||
питания |
7 |
в рабочую |
|
|
|
||||
полость |
|
силового |
|
ци |
|
|
|
||
линдра 2 с поршнем 3. |
|
|
|
||||||
По |
трубопроводу |
4 |
|
|
|
||||
происходит |
слив |
жид |
|
|
|
||||
кости |
в |
|
резервуар |
6. |
|
|
|
||
На выходе |
источника |
|
|
|
|||||
питания установлен |
га |
|
|
|
|||||
ситель |
колебаний |
8. |
|
|
|
||||
Движение |
|
рабочей |
|
|
|
||||
жидкости |
|
регулируется |
|
|
|
||||
органом |
управления |
5. |
|
|
|
||||
В |
начальном |
|
со |
|
|
|
|||
стоянии |
|
имеет |
место |
|
|
|
|||
равномерное |
движение |
|
|
|
|||||
поршня |
и жидкости в |
|
|
|
|||||
положительном |
|
на |
|
|
|
||||
правлении |
х. |
Рассмот |
Рис. 49. Расчетная схема |
к анализу оста |
|||||
рим |
переходный |
про |
новки |
гидравлического |
механизма |
||||
цесс, возникающий |
при |
|
|
|
|
|
|
перекрытии органа |
управления. |
|
|
|
|
||
Физическая |
сущность |
явления состоит |
в |
том, что |
при рез |
||
ком снижении |
скорости |
потока |
жидкости |
и |
поршня |
кинетиче |
|
ская энергия подвижных частей механизма и жидкости пере
ходит в потенциальную |
энергию |
упругой деформации жидкости |
|
и конструкции. Это создает пик давления в гидросистеме. |
|||
Используем при решении следующие безразмерные перемен |
|||
ные: |
|
|
|
?1 _ . P i — Poi . |
v1 • |
i-'Ot |
?2 = P2 — P02 |
|
|
|
cC'2t-'o2 |
117
где c'oi и с'о2—начальные скорости в трубопроводах |
1 и 4; и0 „— |
|
начальная скорость поршня; |
p0i и р02—начальные |
давления |
в трубах / и 4. |
|
|
Граничные условия задачи |
приведены в гл. I . Исключение |
|
составляет граничное условие для соединенного с органом управления сечения магистрали, которое состоит в равенстве
нулю скорости жидкости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате анализа получены преобразованные |
функции: |
|||||||||||||
Qx (|, 0 = Л |
ch hi |
+ В, sh XI - |
у& |
|
|
(124) |
||||||||
Ui & г) = |
--%- |
|
(Аг sh ^ 1 + |
Bx ch |
|
|
|
|
|
|||||
Q2 (£, r) = A2 |
ch X2 |
5 + Bo sh X£ — |
Y2|; |
|
|
(125) |
||||||||
U2 (I, r) = |
|
— (A2 sh X2\ |
+ |
B2 ch |
|
X2Q, |
|
|
(126) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(r) |
L |
(г) ch |
|
+ |
|
|
|
sh XjX |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sh X ^ |
+ |
Г |
( г |
) |
+ - |
^ |
ch XjX |
||
U (/•) L (r) sh XjV. + |
\ |
' |
ch |
X ^ |
|
L, |
(г) X, |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
|
|
|
pr |
|
|
|
|
|
|
Ri |
|
|
|
|
|
|
|
sh Хх-/< |
+ |
Г {г) |
|
rL(r) |
• |
ch X ^ |
|||
|
|
L(r) = |
1 + 7 Г(г); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z.1(r) = |
n ( r ) - Y o r ( r ) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
Г(г) = |
4 - |
+ |
|
|
Уо |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь £ — коэффициент |
местного |
гидравлического |
сопротивления |
|||||||||||
входа в трубопровод |
/; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПС) |
|
|
_j_ |
Р* — An _j_ Уо г_ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
kv„ |
|
|
|
|
О» |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ао |
= |
|
|
1 + |
U ch Х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ch X,
118
|
U(r) |
|
, |
г |
Д |
е а |
д |
= |
|
|
|
|
|
W(r) |
|
|
|
|
|
|
|
L ( r ) P r |
, |
^ Г ( г ) |
sh XjX |
+ |
Г ( г ) + - f - L ( r ) |
chXiX |
||||
|
|
|
|
|
Ll" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh Xo - |
|
*2 |
• ch |
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (rjch XjX |
+ |
|
Xir(i-) |
sh X, x1 |
|
||
W » = r + Xo + |
|
|
|
|
|
|
pV |
|
|
|
L (r) |
pV |
X t r |
(r)' sh Хх х |
|
|
|
ch XjX |
|||
|
+ |
Г ( л ) + — L ( r ) |
||||||||
|
|
+ • |
ц." ch Л, |
|
ch 5u |
|
||||
|
|
• sh X» |
- 1 — ~ |
|
||||||
|
Во |
|
|
|
Уп |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•ft.
здесь
M/?eL V
Ниже приводятся переход ные функции для ряда конк ретных случаев, полученные на основании приведенных об щих зависимостей.
Перекрытие напорной линии
Рассмотрим схему, пред ставленную на рис. 50. В на чальном состоянии жидкость по напорному трубопроводу 1 под давлением поступает в по лость цилиндра 2 гидромеха низма. По трубопроводу 5 происходит слив жидкости в
x=e
' 4
3H
Рис. 50. Расчетная схема к анализу случая перекрытия напорной линии
резервуар 5, в котором поддерживается постоянное давление р0. Скорости жидкости в трубопроводах <5 и 1 равны и0 1 и Vqo. Пусть
119