книги из ГПНТБ / Павловский М.А. Влияние погрешностей изготовления и сборки гироприборов на их точность

û ) 4 l » < , + Œitoi°) +

•••

;

(Ш.8)

© ч = б а < + p\ + ß 2 + • - - +

+ <ia )ô1

-

— a ^ f

— е^хСол,

+

• • •

,

m

«

=

— е

2 и г ! '

+

ß i « ^

+

o^cû*, sin ß ( 0 ) -f-

+

SjOifÙz*

cos

(ß ( 0 )

+

+

+ (àj

+

â 2

+

• • •

) [cos ß ( 0 )

— ßx

sin ß( 0 ) )] +

• • • ,

a>Zi =

Cözj* +

P ^ i ?

+

a l f

f i . v ,

cos ß ( 0 ) —

— Sjcc^

sin

(ß(o,

+

Vj) —

(à,

- f

a2

+ • • •

)

x

X [sinßwj +

ßicosßol-r-

••• .

(III.9)

' (0) ,

соЛ.,

+

•••

,

< û y , ~ a i

+ a 2 + 4?+

••• .

сог,«со<?> + . . .

;

(ùXl <=Ô2(Ù% + ßj

4- ß 2 - f

c\ («!

+ ä 2 )

+ . . .

,

саУг »

— еасо^ - f (с^ - f

a2 ) cos ß ( 0 )

- f • • • ,

(III . 10)

со22 » coi?' — (a! + â 2 )

sin ß ( 0 ) .

После подстановки выражений (Ш . 8) — (ШЛО) в урав­

нение (1.19) с

учетом

( I I 1.2)

уравнения

для определения

первого приближения примут вид

Іу^і

+

ô i [BÄ

+ ß A « i — ( ß « c

o s

Рад —

— 5 «

sin

ß( 0 ) )

äj] +

cos ß(0 , [ByCCt cos ß ( 0 ,

+ Д а ' р \ +

+ ß ^ s i n

ß( 0 ) ] —sin ß0 [—Bz at sinß(O)—Вг 1

$х

— ß z i / a 1 c o s ß ( 0 ) ] +

- f

ôj # (äj cos ß ( 0 ) — e 2 à j

sin ß( 0 ) ) — cos ß ( 0 ) [— !в2Ау1

— H ( ß x +

H- S A + oa«! sin ß{ 0 ) )] — sin ß ( 0 ) { / A Y , — H | 8 8 (ßi

+

+

ôjài) - f oa«! cos ß(0 ) ]} + n ^ ä j - f M T l sign (a( 0 ) +

ä x ) = /Их ;

(III . 11)

Bx

(ßj - j - ô ^ )

+ o 2 / Ä Y 1 + W ( a 1 cos ß ( 0 ) — e2 ax sin ß0 ) —

— (Bxy

cos ß( I ) ) —

sin ß( 0 ) ) ax

- f n 2

0 ß x

+

+ / l a Ä s i g n

(ß( 0 ) +

ßi) +

^xosign (ß ( 0 ) +

ßx ) = M 2

;

/ ( AY +

sin ß( 0 ) ) + ÄAY = AJg.

Здесь

обозначено

Mi

=

— lyjtf} +

/ад.юі? +

/ г . ѵ . Ш ^ —

" і О а < 0

' — ^ІдѴИг. COS Y +

+ (e 8 ß„ + ßt f 2 ) ш*? cos ß ( 0 ) +

sin ß ( 0 )

»

+ Вг) tg ß(0 ) +

+ BU2 + e2 ^ + с о Д о )

+

+ ß 2 t g 2 ß ( 0 )

V i / ,

c o s ß ( 0 )

+

+

n.10

% + 8 0 ш х — 6 > Г +

(tg

ß0 + ^

)

+

4°>

• / L F L Y © 2 3

C O S Y ;

M 2

»

( ß , z -

0 2 ß, ) CÙ<°> - t t 2 0 ß ( 0 ) +

/2 д Ѵ ©2 , = (ß« -

o2 ß,)

M z ° > +

+ n20

(со<°> -

со2?>ехх) +

h№s;

(III . 12)

где

е и

=

8j -f- ô a cos ß ( 0 )

+ (ôx +

Ô 2 sin ß( 0 ) ) (tg ß ( 0 )

+

c o s 2

E g (

Q ) j .

центробежные

моменты,

возмущающие

моменты

Mt

(і =

= 1,2,3) равны

Мю

= (h, +

5 t ) со^ tg ß (

0 |

+

n10a>g,

M 2 0

=

я20со<°>,

M 3

0 = М3

=

-/со<°> ,

(III. 13)

Из сравнения

выражений

(111.13)

и

(I I I . 12) легко

оце­

возмущения

по-разному будут, влиять

на затухание

свобод­

ных колебаний. Вне резонанса, когда выполняются

условия

а ( 0 )

а і и

ß(0)

ßi. они практически

не воздействуют на

A12p-N,

АізР

ßi

M,

Л21Р + N, А22р + п

АѵаР

M2

, ( Ш . 1 4 )

0

20

А33р

+k

A Y

м3

где

• " i

l

—

^оо

sin

2ß(0)

+ 81А12+(Виг

+Вгу)

Аі2

= 6

А

— (ВУХ cos ß ( 0 )

— Bzx

sin ß ( 0 ) );

^із

/ ( s i n ß 0 +

e2 cos ß0 );

^21 =

-^12'

^22 =

Bx\

A23

= /б 2 ;

<431

=

— / sin ß0 ;

A32

=

0;

Азэ

—

/;

N1

=

H(cos

ß0 — e 2 s i n ß 0 ) ;

A0O

=

[y, +

BycQS*hO)

+

Btsm*hOi.

Отсюда характеристическое уравнение системы (III.14)

будет иметь

вид

а0ръ

+

+ а2р

+

а3

где

А =

ßjp 2

=

0,

( I I I . 15)

а

о =

^22

(-^іі-^зз

-^зі^із)

^12 (-^зз^іг

^зі-^із)'

ax

= k {AnAZ2

— A\2) + AS3

(n10A22

+ n20An)

+

^31 (^1^23

^13?î2o)>

иг =

4 І З (Ni — «io«2o) +

Ь (nwA22

+

n20An),

a3 = k {N\ +

n10n20).

(III . 16)

Учитывая,

что

(k,

n10,

n20)

<<£ Nv

а

коэффициенты

(A23,

A12) <^

( Л г 1 ,

Л 2

г ,

A3S),

упростим

выражения

( I I I . 16)

a0

— Л 2

2 {AnA33

— ^зі^із);

'• kAnA22

+ Л 3 3 (п10А22

-f- /i2o^ii) ~Ь

+ Л і

( ^ Л з -

^із"2о);

(III . 17)

a2^A3aN\;

а 8 «

kM\.

о 0 > 0 ,

а ! > 0 , а 2 > 0 ,

а3>0,

аха2

— а0а3>0.

(Ш.18)

Коэффициенты а0 ,

а2 ,

а 3

всегда

положительны,

поэтому

условие (III.18)

будет

выполняться

при

ага2

— а0а3>0.

(III . 19

Подставив в

последнее

выражение значения коэффици­

ентов (III.17) с учетом

(III.15), получим

« і а 2 — aQas

= А , з ( я 1 0 Л 2 2 + п20Аи)

—

— / sin ß ( 0 )

[Wj/ôg +

//г2 0 (sin ß ( 0 ) +

8 2 cos ß,

,)] - f

+

IkA22

sin ß ( 0 )

(sin ß ( 0 ) +

e2

cos ß( 0 ) ) >

0.

Разделив на

/ 2 ,

найдем

• ^ -

— sin ß < 0 )

(sin ß ( 0 )

+

e2

cos

ß ( 0 ) )

+

+

["io +

k s i

n

ß(0) ( s i n

ß(o> + 4 cos

ß(o))] — A / ^ s i n ß ^ > 0 .

(111,20)

Д л я

малых

углов

ß<o) условие

(111.20)

примет

вид

n 2

0 - ^ -

+

n 1 0 ^ > H 0

ô ^ o ) .

(Ш.2І)

Наиболее неблагоприятные условия для выполнения

неравенства (III.20) имеют место при

ß = s - ^ - .

В

этом случае

n J A

1

V \

+

J¥-(n1o

+

4 ) > J

1

$ 1 - -

(Ш.22)

П р и м е р

7.

Найти значения

допустимого

в смысле

устойчивости

гироскопа

угла ô 2

при

п20

=

n1Q

=

0,1

Гсмсек;

k = 0,1 Гсмсек;

в 2 = 0;

Н0

= 6000

Гсмсек;

ß ( 0 )

=

0°,15*

30°,

4 5 ° , 60°,

7 5 ° , 90°.

u

Величину

допустимого

значения

угла

ô 2

определим

по

формуле

(III.20). Результаты вычислений

представим

в форме табл. 7 .

•

I S'n ß(Q) \NA -

"го (s 'n ßo +

Ч)\

+

^ И и О - ѵ )

J-

Здесь Xl =

— .

.

частота

нутационных

колебаний

гироскопа,

у которого

принимают

H = Jy = const;

v =

- ^ - s i n » ß ( 0 ) ;

2/i =

3 ü - +

- Ja _ .

Л1)

Л11

Л82

Окончательно выражения

для корней

можно

записать

в виде

А,»«ЯІ(І + ѵ);

x 8

» - -

j

- ;

чем частота нутации гироскопа, у которого

кинетический

момент

H = Jy = const и практически

не отличается

от

частоты

нутации гироскопа, у которого

H =

/ (у +

ш2 ,) =

=

const.

Из формул (III.25) следует,

что затухание

нутационных

колебаний гироскопа мало зависит от коэффициента

само­

выравнивания

асинхронного

гиромотора k,

практически

полностью определяясь коэффициентами демпфирования

п10

п20

и величиной

угла ô 2 .

Аиа± +

+ Мті sign »! + Л 1 2 ^ + Л 1 3 А у х —

— A'ißi = М\й sin at;

А21ах

+ Nxax

+ Л 2 2 р \ +

( л я о + л и ) ß, -f- /Ит 2

sign ß x

+

+

4 M ÀYi =

M 2 a sin (со/ + к2 );

Л і а Г +

Л з ^ І +

№Уі = /И3 а Sin (СО/

4- X j ) .

(III .26)

Будем искать решение системы уравнений

( I I 1.26) в форме

р \ =

6cos(co/+ v u ) ;

(III.27)

тогда,

учитывая значения

коэффициентов Л ^ ,

приближенно

можно

принять

ccj я» a sin (со/ 4- ѵ п ) ;

АY iѵ—« - - л^ а и

( I I L 2 8 )

a

и

сил

сухого

трения,

систему

уравнений

( I I 1.26)

можно пере­

писать в виде

Аиах

4-

+

Л 1 2 р \ — N$x

+

/ 4 1 8 A YI = Л^іа sin со/;

(Ш.29)

A21ax

+ Л^а, +

Л2 2 р\ +

rtgßj

+

/ 4 2 3 A Y ! =

M2a sin (со/ 4- x2 );

V

i

+ 4 s A Y i

4- kAVi

= M3a sin (со/ 4- »<„),

где

n2 = n20 + n21

+

.

(III.30)

Исключив

переменные ax

и

AYJ, получим

следующее

уравнение

относительно р\:

(а0р3

4 - я ' р 2

+

а 2 р + а3 ) ßj =

УИіа sin со/4-

/W2 a cosco/.

(III.31)

Здесь P=-jfl

M[a,

М2В

определяются

из (III.29),

коэффи­

циенты й„,

а2 ,

а 3

определяются

выражениями

( I I I . 17)

G[ = ax-\- /г2 1 ( Л и Л 3 3 — Л 3 1 Л 1 3 ) 4" Л а з —с- X

X

(а22МІТ

YlS~

+ М*А")

-

Л з И і з

Т

= «

+

" F -

(III .32)

3*

67

а', =

а, + n t l (АпАаз

—

АЯІАіа),

q = i ^ s - (л а 2 Л4 1 т

j / ^ J - + Л М и ) - 4 "

Подставив в (III.31) значение

р\ из (III.27),

получим

(— а 2 — а0 со2 ) Лео sin (ш^ - f v u ) - f (a3

— a*®2) b cos (ш/ -f- v n ) =

=

M u SÏn Cû< -f- M2a COS Cù£.

(III .33)

(ß0 w2 — Й 2

) ben cos v n

— (Й 3

— a*©2) ô sin ѵ п

=

М\а,

(III.34)

(a0 (û2 — а 2 ) ôco sin v n +

(a3 — aî<a2) 6 cos v u

=

Мга-

Возведя

оба уравнения

(III.34) в квадрат

и сложив их,

получим уравнение относительно искомой амплитуды b

(a0cù2 — a2f

Ô2 CÙ2 + (a3 — аію2 )2

ô 2 =

М?а + М2\ = N? . (III.35)

Учитывая

зависимость

a\

от

b,

перепишем

(III.35) в

виде

è 2 [(O0 CÛ2 -

Й 2 ) 2

со2

+ (a3

-

а,ш2 )2 ] -

— 2ÔCÛ2 (a3

— a'ico2) q + q2a* = /И'2 .

(III.36)

Исследуем полученное выражение при резонансе, т. е. при

ш2 = — =

АЛ Рассмотрим

прежде

всего случай,

когда

вую очередь б2 ), то а 3

=

0 и ai =

0 и, следовательно, амп­

литуда

вынужденных

колебаний,

найденная

из

( I I 1.36),

будет

равна

b*=

ff*

7 ^

, .

(ПІ.37)

ш 2

( а 0 ш а — а 2 ) 2

ѵ

'

Найдем

теперь выражения

для резонансного

значения

амплитуды

в общем случае из уравнения ( I I 1.36):

Ь = ^ Г

^ .

(111.38)

\2al

— а3

аі

jjT — kA31A13

/г2о) (-^и^зз— ^із^зі) +

+ n10AnA„+N1A3lA№

(III.39)

К» |/л4

( А п А 3 3 -

А13А31? + МІАІ

^ ( А п

А 3 3 -

Л 1 3 Л 3 1 ) >

> W ±

IА22А33 Y

MlT + ( АиАзз

-

A

M

М2г

]. (III.40)

Если

Ictjl <^|сС(о, I и | р \ | <^C|ß(0)|.

то

знак

моментов сил

соответствии

с формулами

( I I 1.5).

В этом

случае

моменты

сил сухого трения уже не будут уменьшать

амплитуду вы­

нужденных колебаний, а сами будут служить

источником

возмущений.

Такое

соотношение

параметров

характерно

для случая, когда рамки гироскопа

перпендикулярны ß 0 =

= 0 или возмущающие

моменты

Мѵ

М2,

М3

(см. (III.12))

малы по сравнению с моментами

трения.

Д л я дальнейшего анализа приведем в операторной форме

частное решение системы

уравнений

( I I I . 14)

относительно

скоростей

Д~

.

До

Д:,

« i = - f - ; ßi = - f ;

д ѵ = ^ г >

( I I L 4 1 >

где А определяется

первым

равенством ( I I 1.15);

Да = Мг [ Л 2 2 Л 3 3 / ? 2

+ (kA22 + п20А33)р

+ n20k]

+

+ М2

[ - Л 2 1 Л 3 3 Р 2 +

( М з з -

kASJ)p+

Nxk]

-

— М3 [-

(А21А23

+

Л 1 3 Л 2 2 ) р2

+ (NtA33

-

л 2 0 Л 1 3 ) р};