книги из ГПНТБ / Павловский М.А. Влияние погрешностей изготовления и сборки гироприборов на их точность

от односторонней функции

ßi

1ГГ = і І г -

» ( t - % - ) +

ß 1 ( T ) o ( T - т о - ) .

Воспользовавшись известным свойством дельта-функции

б (т — т 0 - )

Рх (т) 6 (т -

то-) -

ßi (то-) Ô (т - то-),

(ІѴ.55)

d p ;

запишем в

виде

выражение для - ^ -

I

dpi

Ô(T —То-)

dô (т — тп—)

+

ß x

( т 0 - ) -

dx

~*~

rfx

х = т 0 .

d2 ßl

1,

dp*

1

.

1 \

Умножив

теперь - ^ - н а

~ и

ßi н а

(1 — ^ г ) ,

зультат с уравнением (IV.54), будем

иметь

R(t, то-) =

Рх(то-) +

1

; б (т — то-) +

т=т 0 _

+

ßl C*>-) d ô ( x

— х 0 - )

(IV.56)

dx

'

^ ( т ) = С і Ф і ( т ) + С 2 ф 2 (т),

(ІѴ.57)

где

А(т) .

Фі

Фг

фі

ф 2

является определителем Вронского уравнения (IV.54).

Подставив значения

Сх и С2 в выражения

(IV.57),

полу­

чим

ßj

=

j * t—Фі W Фа (ц ) +

Фг W Фі f

(») d u

(IV.58)

То

где переменная интегрирования обозначается буквой

и для

отличия

от

переменной

т.

Если

ввести

обозначение

,

.

1 І Ф і М

Ф г ( т )

(ІѴ.59)

q{%, и) =

Л (и)

Ф і ( « )

Ф г ( " )

т

Рг (т) = J ^ ( T , и) F {и) du.

(IV.60)

j q (т, u)ô(u~

т 0 ) du = q (т, т0 ).

(IV.61)

ф 1 ( т ) = ./1 (т), ф 2 ( т ) = УѴ1(т),

(ІѴ.62)

функций Бесселя dJ г

-1 „ х

„ „, - g -

—„ 1 — „ 0

и элементарное функциональное

уравнение JxN0— J0NX =

2

= - ^ - . найдем выражение для

определителя

Вронского

А(т)

=

(IV. 63)

Яи (т. т0 ) = -

—

т о lJi (т) Л/х (т„) -

(г) Л (т.,)].

(IV.64)

Из этой формулы видно, что импульсная

переходная

функция системы

с

переменными параметрами,

в

отличие

от времени т,

но и от момента т 0

приложения входного им­

пульса.

Перед тем,

как перейти к построению реакции системы

на входной сигнал R (т, т0 ), для сокращения записи введем

вспомогательные

функции

Чп (т> и)

=

п2

и \3Х

(т) Nx

(и)

(т)Л(«)];

Чоі (т> и)

=

п2

u[J0

(т)Л^! (и) - І Ѵ 0 ( т ) / , ( « ) ] ;

л

(")•- Л ^

(т) J0(u)Y,

(IV. 65)

9 ю ( т . ")

=

2~ " [ • М ^ о

loo (т. ")

=

я

u[J0

(т) УѴ0

(и) ~N0(x)

J0(u)].

Y

W(x, т0 ) =•

_!_

R

I

Éh.

х0

р

ю +

dx

_ L

R

I Éh.

<7іі(т До) — ßioVioC^o)- (IV.66)

т 0

P l 0

+

dx

x—xa

Легко убедиться, что для ГВ в установившемся

режиме

импульсная, общая импульсная и ступенчатая

переходная

функции по ß 1

будут равны

соответственно

<7со(т,т0) =

sin(T — т 0 ) ;

sin (т — т0 ) —ß0 cos (т — т0 );

(IV.67)

/ICO(T,T0 ) = _[ <7C» (T, и)

X

То

X

du

=

1 — cos (т —

т 0 ) .

Д л я

сравнения

на

рис. 34, а, б представле­

ны

импульсные

и

сту­

пенчатые

переходные

функции

для

ГВ в пус­

ковом и установившемся

режимах

на вираже объ­

екта. Отметим, что об­

щая

импульсная

пере­

2\

ходная

функция

систе­

мы

по

ß

(по а)

описыва­

ет

поведение

ГВ

с

вы­

ключенной системой кор­

рекции

на вираже

под

действием начальных ус­

ловий,

т.

е.

описывает

свободные

колебания

гироскопа.

Вынужден­

ные

колебания

ГВ

под

действием моментов кор­

рекции

найдем

как

ре­

акцию

системы

на

вход­

ной сигнал / (т) при по­

мощи интеграла

^ ап(%,

u)f(u)du.

То

Таким образом, с учетом (IV.59) решение

уравнения

(IV.54) будет

таким:

X

h=W

(г,

г,,) +

J <7н (т, и) f (и) du.

(IV.68)

J qu

(т, и) du =

1 +

д10

(т, т0 ) -

2*Щ.

+

j "

T

T

j q01

(t,

a) d« =

q00

(T,

T„) + - f -

^ Ц р ^ - +

J

du,

То

T0

(IV.69)

выражения

для ai,

ßi представим в виде

« 1

— «1у =

( » 1 0

— a 2 y )

Çoi — (ßio — ß2y) ÇoO' (IV.70)

ßl — ßly =

(«и — <*2y) <7ll — (ßlO — ß2y)

O10,

где

r,

~a

M

Ш г

ш *

4

-

ТпШц Sign ß,

+

«.y - «le. +

—

—

^

/ x n M | f t s i g n P l

\

W.v

tùy /-J

"

to

a2 y = a l o o

4- —

+ •

ßio —

ßi« —

"1/

ха>і/

т0

Ply =

Pi«, — —

—

Н

X

П

\

Cûy

CD, / J

и

То

о

о

w.t

t n cû 2 f t sign a.].

P2y =

Pico

—

—

ßi — ßiy =

( a io —a i y ) s i n ( T — T o) +

(ßi0 — ßiy) cos (T —

т0 );

a i — «iy =

К о — a i y ) cos (T — To) —

(ß 1 0 — ßiy ) sin (T —

т„),

(IV.7I)

Юг

+ colft

sign

ßi

ßiy = ßI m

(ùx

CU2Ä

Sign «!

Из формул (IV.70) и (IV.71) следует, что в пределах

каждой четверти фазовой

плоскости

Oidißi

(рис.

35) при

вираже

объекта

главная

ось

ГВ

в

установившемся

режиме

будет двигаться по

окружности,

а

в

режиме

запуска — по

сходящейся

спирали. Д л я

больших зна­

чений т,

воспользовавшись

асимптотическими

пред­

ставлениями

функций Бес­

селя,

будем

иметь

<7u =

V -

sin( t — т0 ),

8 ѵ-т0

То

cos

(т — т0 );

Рис. 35.

?10

=

] / ^ С 0 8 ( Т

— Т0 ),

?00

j / ^ s i n (

т0 ).

(IV.72)

Подставив соотношения (IV.63) в выражения

(IV.70) и

исключив параметр (т — т0 ),

получим

уравнение

фазовой

траектории для ГВ в режиме запуска

К

-

а1 у )« + (ßi -

ßl y )2 =

-f-

[(а1 0 -

а2 у )2

+ (ß10

ß2y)2].

(IV.73)

Аналогичное уравнение д л я ГВ в

установившемся

режиме

имеет

вид

К

-

а1 у )2 + (ßi -

ßl y )2 = ( а 1 0

- а1 у )2

+

(ß1 0

-

ßl y )2 .

(IV.74)

Из

выражений

(IV.70),

(IV.71),

(IV.73),

(IV.74)

следует,

2

4

S

8

/0

12

/4 %сек

(ТУ

+

2g7> +

1) ѵа

=

- (ТУ

+

1) а;

(ТУ

+

2£Тр +

l ) v ß

=

— (ТУ

+

1) р,

(IV. 76)

трение,

представим в

виде

соіт sign а = q±pa;

со2

т sign ß = ^2 pß,

(IV.77)

4Л*,Т

4 М 2 т

г д е Ii =

-ШІГ

• 1* =

ü t o F

> a > b

-

амплитуда

автоколе-

баний соответственно

наружной и внутренней рамок;

со —

частота

автоколебаний.

Подставив

(IV.77)

в исходные

уравнения,

после

ряда

а0рв

+ ахръ + а2р4

+ а3ря + а^р2

+ аьр + ав

=

О, (IV.78)

где

а0

= Т%

а±

=

4СГ*с + (kt + k2) 7 м +

k0T\

а2

=

2 £ Г 3 (kx

+ k2) + T%k2

+

2T2c(l

+ 2g2) +

+

k0kxT* +

4t,T%,

a3 = 4£Tc + 2(k,+

k2) T2 + 4t?T%

+ 2T%

+

kak%T\

at = с 4- 2kxk2T2

+ 21T (kx + k2)

+ 4СГк0

+

2k0k1T2;

«5 = k l + К + К + 4 T k 0 k V

a0 = k A +

k0kl>

« i , 2 = -jf-

, k0 = -yj- ; с = 1 - f qiq2.

ßjCo5 — а3 со3 -(- а5со = О,

— а0со° 4- а2 со4 — а4 соа 4- а 0 = 0.

(IV.79)

* о О і - 2 ; (kx +

k2)T*^Tc,

автоколебаний:

г,2

~

1 .

г? ~

/ г і + К + К + ilTkJi^

.

,тѵ

я т

wi

« - j T j - ,

CÛ2 Ä ;

^рт^

(IV.ou;

Подставляя

значение частот (IV.80) во второе

уравнение

(IV.79), легко убедиться, что для частоты ах

с

= 0,

что

не

имеет физического

смысла.

Д л я частоты

со2

получается

V 2

+

V

+

ö 2

=

0,

(IV.81)

где

Ь0 = я с г 2 -

г, Ъ, =

2 Г 2

( 1 + 2g2) -

г (а., -

с),

Ь2 = а 2

- 2 Г с ( 1 + 2 ? ) - ^ ,

г = ^ - .

Очевидно,

что

при

указанных

значениях

параметров

Ж М П

(или близких к

ним)

Ьх

>

0,

Ь2 <

0.

Необходимым и достаточным условием существования

автоколебаний

при

с =

1 +

будет неравенство

с >

1,

которое может выполняться как при Ьи >

0, так и при Ьи

<

< 0. Можно

показать,

что

условие

с >

1 сводится

к

не­

равенствам

+ \Ь2\>Фо

+ ьі)>0

при

Ь 0 > 0 ;

+

I b21 >

I Ь 0 — Ъг I

при £>0 <

0,

которые выполняются в довольно широком диапазоне

пара­

метров

гировертикалей.

Отметим, что автоколебания будут наблюдаться и в том

случае,

когда одна

из коррекций

отключена, но частота

их

будет

меньше.

Приведенные формулы

для

частоты и

амплитуды

авто­

ление уравнений движения Ж М П

[55]:

( 7 > +

1) ѵ« =

-

а,

(Т2р

+

1) v ß

=

- ß,

(IV.82)

где Т2 =

2\Т.

Тогда

характеристическое

уравнение

примет

вид

а 0 р 4

+

аіР*

+

а2р2

+

а3р

+ а, =

0,

(ІѴ.83)

где

а0

=

Т\с;

=

2 7 V

+

kjl