книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

щениях

с

матрицей спектральных плотностей

(со) =

= Г (/со) С0 СоГ' (—/со), где

С„ — невырожденная

матри­

ца п X п, элементы которой константы.

Действительно, при возмущениях с матрицей спектраль­

ных плотностей

(со)

Ö

-

1 = [(H :1Q -% R -

НА) Р - ’ГС0]_ (ГС0)-> =

=

[(Я71С71я ^ - я л ) Р - ,Г ]- .г - 1= /С _г-1,

с матрицами спектральных плотностей 5ф (со) и

(со) со­

впадают.

§ 4.

Н Е К О ТО Р Ы Е Ч А С ТН Ы Е С Л У ЧА И Р Е Ш Е Н И Я З А ­

Д А Ч И С И Н ТЕ З А С И С ТЕМ С ТА Б И Л И З А Ц И И П Р И

П В Н Е Ш Н И Х В О З М У Щ Е Н И Я Х И т У П Р А В Л Я Ю ­

Щ И Х В О З Д Е Й С ТВ И Я Х . П Р И М ЕР Ы

W = [Д; (s) H -'Q Z 'C +

К - Т - 'М ] - 1 X

X [К -Г -'Р - Я Г 'З Г ’В Д ,

(1.108)

или

[(/С0+ К+) г - ' м

W =

- НВ}-1X

X [(/С0 +

К+) Г-

НА],

(1.109)

где

(s)

=

fiel Р,

AN,

Q =

Др

(s) В

N =

(s) Р-'М,

Ар

+

Я ,Я

=

Qr'GjSQ-',

(1.110)

G*G =

N,RN +

Д; (s) С&р (s),

Г Г , =

5ф,

+

К+ +

К -

= (H - ' Q- ' N ^R НА) р - 'г,

а элементы матриц А и В должны удовлетворять требованию

аналитичности в правой полуплоскости матрицы

Z =

'Р

А

вместе

с обратной.

т. е. det Р =

I.

Пусть объект устойчив,

Др (s) — гур-

вицев

полином.

Тогда требование аналитичности в правой полуплоскос­

ти матрицы

Z вместе с

обратной

можно удовлетворить,

положив А = О,

В — Ет (Ет — единичная

матрица

т х

X т), так как при этом

ГР

— Ml

detZ = det

= detP.

О

Соотношения (1.110) тогда примут вид

« =

=

н

= ^ а

,

к , +

Л'. + К-. =. (г'ы ,т > -'і\

( м и )

W = [A; (s) G7

‘C + РС-Г-’Л^Г) -

1 [ / С Г - ’Р -

G-'N^R],

(1 . 1 1 2 )

или

w = [(Ко +

К+) г-'м -

НГ' (Ко +

К f ) Г - ’Р.

(1.113)

Рассмотрим пример. Пусть число внешних возмущений

равно

числу

управляющих

воздействий

(М — матрица

/і X п),

причем

М ~1 не аналитическая в

правой полупло­

скости.

Покажем, что в этом случае даже отсутствие ограничений

на управляющие воздействия (матрица С =

0 ) не позволяет

сделать

систему

инвариантной относительно внешних воз-

/оо

действий, т.

е.

етіп = 4 -

[

Sp (К - Д _ ) ds Ф 0 (rj(s) = 0,

см. (1 .8

6 )).

Согласно (1.110),

GJÜ=,N .RN,

(Ы 14)

т. е.

G f1

=

GN~'R~]N~'.

(1.115)

Подставив

значение

СК1 из (1.115)

в

(1.112),

получим

W = (К -Г -'М )-1(/С Г _ІР - GN~l),

(1.1165

а формулу (1 . 1 1 1 ) перепишем в виде

tf0+ /(+ + tf_ = ^ G / M - 'r .

■(1.117)

ские в правой полуплоскости, а Ар (s) — гурвицев

полином)

К—

т, е. вгпіп

0 .

Проиллюстрируем

изложенное числовым

примером.

циальных

уравнений

X+

8 л: +

22х — у — 1 0 у =

— 2 их — и.2+

х + 1 2 х

+ у + 6у = ~ и 1 +

и2— 2а.г + ф2,

Р =

s2 + 8 s + 2 2

— s — 1 0

s +

1 2

s2

+

6 s

М =

's — 2

—

1

Ap (s) =

s4 +

14s 3 -f-

— 1

s — 2

+

71s2+

154s +

120 =

(s + 2)(s + 3)(s +

4)

X

(1.118)

X

(s + 5),

S x|) =

Eo,

Г

= E2,

R =

E2,

C =

0,

~s3 -|-4s2 —13s—10

2s — 20

N ^ A p (s) P-'M =

— 2 s2 — 18s +

2

s3

+

6 s2 +

+

7s — 32

С“ 1

=

П 7\7У‘,

(1.119)

/=і

где определитель матрицы

Т0 равен

константе, а опреде­

лители матриц 7 Т 1 (t =

l,

2........ /г)

равны элементарным

делителям det G.

1

0

5 +

ёі_

Ті

( 1. 120)

ki

1

s +

gi

или

kt

Ti

s +

gi

( 1. 121)

L°

gi J

s +

S- + Ci;S -j- bi

Ті = i

CjS +

âj

p s'- -г «iS -f- bi

или

.

CjS+ dj

Tt =

s2 +

atS+

bi

1

bt

0

s2 +

o,s +

где ct и d[ выбираются, как и k(, из условия делимости

соот­

ветствующих столбцов на s2 +

a,-s -|- Ь{.

Выполнив операцию домножения справа и

слева

ма­

триц G^G на матрицы

Т{ и 7>

( / =

1 , 2 ........ k),

получим

П Т£*G*G П Д =

Т,

і=і

/=і

где Г — матрица с

определителем, равным константе.

Если элементы матрицы Т зависят от s, то ее легко мож­

но преобразовать

к

матрице

с постоянными

элемента­

Т =

Т'0Т0,

. где

Т0 — верхнетреугольная

матрица.

Тогда искомая матрица G запишется в виде

С = 7 ° ( п д ) '.

(1 . 1 2 2 )

Согласно (1.114) и (1.118), нам необходимо факторизо­

вать

матрицу

G,G =

M .ß =

S 3

_|_ 4 S 2 _|_ 13s _

1 0

— 2

s2

- f

18s + 2

= [

— 2s — 20

— s3 +

6

s2 — 7s — 32J X

rs 3 + 4 s2 _ ! 3 s _

ю

2 s —

2 0

x [

— 2s2 — 18s +

2

s3 +

6 s2 +

7s — 32 '

s2— 2s— 15

s2 — 2 s — 15

_ — 2s — 20 — s 3 + 6 s2 — 7s — 32 X

s2 +

2 s — 15

2s — 20

X s2 -f- 2s — 15 s3 + 6 s2 + 7s — 32

Последовательно домножив полученную матрицу справа

на Т2, Ts, Tt, а слева на Т2*, 7з* и Т4 *, где

1

о

— 4

-л

— 1

Т з-

s + 5

Тз =

s -р 4

Т4

3 s + 4

0

1

1

.

О

3

s +

4 J

s -р 4 -

получим

/~П rp m m

/'“»/тч

ф ф

гр

1 и 1 и 12 * 1

2 1 а1 і =

г —S — 3

■ s—3

г s — 3

— 1

3

3

1

— 3s ■

s — 3

3s — 4

L

3

2 (9 — s2)

-3s3 — 4s -(- 15

— 3s2 + 4 s + 15

17 — 9s2

а слева — на 7V

и TG», где

— 3

о

1

s +

3

Т5 =

2

1

получаем

S + 1

s - f 3

5

Г

ЕЮ

_ і_

-

П

^ ] 0 * о ( п 7\) =

9

3

_1_

_1_

1 = 1

1=1

_ 3

5 J

_50

5

0

г Ü.

9

| / 2

3

3

1 0

=

_і_

А

Ѵ 2

3

1

3

іо

іо

1 0

6

\

6

имеем

| П Г ;

GJ3 П Ті =

Т0Т0, где Т0 — верхнетреуголь-

ѵ=і

/*

і= 1

пая матрица.

Отсюда,

согласно

(1.122),

_

G =

ТйТ ь‘Т7Х 7 Ѵ т ? Т і х=

'0,5s3

+

4,6s2

+

0,5s3

+ 4,8s2

+

=

+

7,9s — 0,4

+

18,9s +

24,4

1 / 2

- 0,5s3

— 5,2s2—

0,5s3

+ 3,4s2

+

— 17,3s — 7,2

+

4,7s — 10,8 _

Подставив необходимые величины в (1.117), получим

г

s + 6

8s —

15

-i

1/

пм~]

/ 2

70

70

А

\

'Jt'l

s2 —

4s + 3

—

38s+ 8 7

11s —

60

. Ар (s)

L

630

630

J

Тогда

г

1

1

8

К -М = Ѵ 2

70

70

— 38

11

L

630

630

Ѵ2

К -Р = -s2 — 4s _)_ 3

р

s3 +

22s2 +

151s — 48

8s3 +

32s2 — 106s — 60

n

К

70

70

-

38s3 — 206s2 — 68s +

194

1 ls3 -j- 44s2 — 67s — 870

630

630

GAT1 =

----- ^

s2 — 4s + 3

К/

0,5s2 +

1 ,6 s — 0,3

0,5s2

— 0 ,2 s — 2 , 1

2,1

0,5s2

— 1,6s — 0,3

— 0,5s2 — 0,2s+

s — 9

8s 4-29

и

K -P — GAr1

= 1/2

70

70

— 38s — 43

11s— 227

630

630

J

а матрица

передаточных

функций

оптимального регуля­

тора,

согласно (1.116), имеет

вид

117 =

' l

8 ' —1 ' s — 9

8 s + 29 ’

38

1 1 .

_

38s — 43

1 1 s — 227

иу+ 8 « 2

= X— 9х + 8у +

29у,

—38«! + 11ы2 =

— 38л; — 43л: +

1 1 // — 227у.

/со

Brnln = J -

j

Sp (K -tK~) ds =

2

I

32

310 — 6830s2

ds = 0,0695.

6302/

(s1+ 4s

+

3) (s2 — 4s + 3)

<3 =

М =

Ap (s)P-'M ,

(1.123)

H J i =

R +

/у И Г 1 CM~lP,

(1.124)

К 0+ К + +

К - =

( Я Г 1/? - Н) р - ' Г

=

=

— H ^PJA -'C N T'Y ,

(1.125)

определится

формулой

W = [А; (s) H -'N -'C +

/С-Г'-'Л!]“ 1 X

Х ІК -Г -'Р -Н -'Щ ,

(1.126)

или

W = [(/f0 +

К+) Г-'Л'ІГ' [(К0 +

К+) Г-'Р + Н].

(1 .126а)

нимум функционала е =

(и\) +

(и\) + (и®) +

(и1)-

В обозначениях, принятых в § 3, имеем

Р = ' s +

1

3

'

Г

s — 1

’

I J '

1

S* = E%,

Г = £ 2,

R = 0,

C =

( 1

- S 2) £ 2.

Согласно (1.124),

H J i

=

(1 - S

2)

' — 2

s2— 1

3s2 — 7s — 5’

,3s2

+

7 s — 5

— 5s2

+ 41

Факторизовав

матрицу

H^H,

получим

tf

=

] / 2

(l

+

s)

s — 0 , 1

- 1,5s +

3,3’

- 0 , 7

0,5s -(-3,1

т. е.

НТ1 =

уъ

— 0 ,5 s+

3,1

0,7

(1

_ S )(2

_

S ) 2

— 1,5s — 3,3

— s — 0,1 '

У ^ 2 (1 + s)

И ’® — s

1 , 5

$ —

s- 2

[

1,2

— 0,5s — 2,б] ’

откуда

= 0 , /С0 = -

S +

1,4

- 1,5s — 2,7'

1

/ 2

1,2

0,5s + 4,1

-

4 3 - 5 8 2

49