книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

Детерминант

матрицы

т-1 п

равен X ^ s

2

|s

2

—

Q*.

G^GQ

Xj ~i~ Я3

, и, следовательно,

факторизация в виде (5.20)

KK

Яі 4- Х^

Л

возможна,

если

что соответствует

неравенству

I Яа I

1|.

(5.26)

Нули определителя

матрицы

Н:

hx — 0,

/г2

=

— k =

___ ■|уГ

К 4- Я,

XjXa

Умножив последовательно матрицу Q. G^GQ

справа

на матрицы Тг и Тг,

а слева на

Д *

и Гг», где

s

Т —

1

Я і

+ х а

s-\-k

_1_

1 г —

U

S

О

s -f- к

получим

'К ~j~ %2

Тп 1

—і/

-I— 1 г

^ 2

ТгТ2 =

Я2

Я#2

Таким

образом,

Я2

Т =

1

+ ^ 2

* 2

Я2

1

%п

s +

%2

ь

Н =

ТГ1 7Т 1 =

Яг-Т Xj

Яі + х2

со

Ja

s +

k

1

Теперь,

согласно

(5.25),

К0 +

К + + К - =

XjX2

s — k

'

Я2

— Х.2

'

*

2

2

— Я

Я

Ях (s — k)

Я2

(s — k)

kJ

•

я2(s

Х„

k

X j

-f-

X,

К + =

0 ,

Кп =

1

О

1

— I

И, наконец, согласно (5.23), получим

1

’

1 ~і

W =

V

1

1

т. e.

\2k

(хг

* 2),

w2 —

(■ *! * 2 )•

Из этих соотношений

следует

=

(ul)

=

1

-^a)2) >

( ( ■ * ■ 1

^ =

(ul)

=

((xi

хг)г)-

В свою очередь

/со

k =

Л _ - я»(ѳ; +

el)

К =

^ (Ѳ іЧ ѳ І)

я ( Ѳ і + Ѳ,2) ’

1

Kj (Xj —

х 2)3 ’

Хо (xj — х2)3 '

Таким образом, решение задачи, согласно (5.27) и (5.26),

существует при кх >

х 2

и имеет вид

я(ѲІ+ Ѳ&

Х~ Х 2), и ^

-

Щ

^ - ( Х 1 ^ Х г),

я(ѲІ+ѲЙ

л3 (Ѳ* +

Ѳ 2)

е0 (^іі 2

0)»

.

- .

9*

Д31

*1 (*i + Яг) (*і — х2)>

Ха (Хг +

Xa)

« 1

^ 2

51 (Ѳі +

(xi ^2 ) 1

я (ѳ ^ + ѳ :>

€>»)

^(Ѳ ? +

ѲІ)

ßrnln min

(*i + Щ?

U, Hj

II. Рассмотрим предыдущий пример в детерминирован­

ной постановке. Полагаем ^ =

ф2 =

0, хг (0) = х10, х2 (0) =

j u\dt — xj,

j u\dt =

«а

0

0

требуется определить закон

управления

и — Wx,

доставляющий минимаксное значение

(min max) функцио-

ванию стационарных точек

функционала

СО

1 — h

+ J

(^iui + ^2 ul) dt,

причем

> 0, а Х2 <

о

0.

закон управления имеет вид

“і =

iQT

~ х^ ’

и2 =

Т ^ Г

“ х^ г

где k = V

-

?'2

> 0

-

Далее

получим

-

со

~

. СО

щ =

\ u\di =

— — / 0,

к® =

\ uldt =

— -— / 0.

1

J

1

АДО

0

3

. J

3

0

Так как

корень характеристического уравнения

замкнутой

системы

равен /г, т. е.

X; — х2 = г = z0e~w,

С

..

то

CQ

СО

/ 0 = J z » d f = 0Jz e - » ' Ä = A

- t

X® =

и; =

№

2Цк3

2

?ui

2

Принимая

во внимание,

что

.

= — — , получаем

k =

2 (x,

г4о

’

%a------

4

4xj (xx — x2 ) 3

2

4X2 (XJ — x2 ) 3 '

Решение задачи существует при xL>

х 2 и имеет вид

__

2Ч(

(Xj

х 2)

(,л1

„ \

,, __

2 х 2 ( х 2

х 2)

«1 --------------- -

хг),

и%-----------------------

(-'"1

-^г)’

z2

г 3

о

г1

о

/о:,|п: г

= '4 ( х , \ ) ! •

III.

Рассмотрим игровую задачу о сближении двух объ­

ектов на плоскости. Пусть движение первого (догоняющего)

объекта описывается

уравнениями

+

К =

и*,

(5.28)

“Ь Уі ~

а движение другого

(убегающего)

объекта

* 2

+

Ч =

1

(5.29)

І/2 +

У2 =

Ѵу- I

Требуется при ненулевых начальных условиях и ограниче­

ниях

j

(и® +

и®) dt =

х®,

О

(5.30)

оо

j

(о| +

о®) dt =

X®

найти законы управления (матрицу Ц7 передаточных функ­

ций регулятора в цепи обратной

связи [их,

ѵх, иу,

ѵуУ =

== \Ѵ [xlt

х2,

t/i,

у2У), доставляющие

минимаксное

значе­

ние

(min max)

функционалу

-.

-

/о =

— *а) 2

+

(Уь~Уг?\Л1

нарных точек функционала

оо

I = /о + 1 [К («5 + 4 ) + К

( ѵ і + 4)] dt,

(5.31)

о

где множители Лагранжа Ях > О, Я2

< 0.

обозначив

xt =

qt,

у, — р( (і =

1 ,

2

):

Рх = Ми,

(5.32)

где X = [<7 Х,

q2,

pv

р2,

хѵ х2,

уѵ

у2]',

и =

\их, ѵх, ид, ѵи]',

Г/І + 1 1 ^ 4

0

Е,

Р =

d

м =

04X4J

dt

Тогда уравнение регулятора запишется в виде

и = W0x,

(5.33)

а функционал (5.31) определится формулой

/

= I

(x'Rx +

и'Ли) dt,

(5.34)

где

0

04X4

Ro =

Rx

Огхг

.

-

1

R =

Ро.

,0гх2

Ri _

Rx =

,04X4

- 1

1

Л г

0гх2

Ях

0

Л =

Лх

Лі =

0

Я,

L^2X2

Использовав преобразования Лапласа, уравнение (5.32)

и формулу (5.34), перепишем так:

Р (s) X(s) = Ми (s) -|- X (0),

/со

1 ~

~2 яГ f

[ * '(s) Rx (s) +

u '(s) Ли (s)] ds.

— /os

Здесь

X (0) — вектор начальных

условий,

P(s) =

( S 4 * 1 ) Ец 0 4 x 4

- E t

sE,4 J

Перейдем к решению задачи, т. е. к определению

матри­

цы

передаточных

функций

W0.

Требование аналитичности матрицы Z- 1

в правой полу­

плоскости удовлетворим,

полагая

А =

U W ;

Д4

1, В =

=

0 4 x4 , т. е.

(s +

1) £ 4

£ 4

-

е :

det Z =

1 .

Z =

- Я

4

04X4

04X4

Определим_

S£ 4

04X4

04X4.

необходимые величины

Ар (s) =

det Р =

s4

(s +

I)4,

s£

Я =

А

(s)P- I /W =

s3(s +

4

1 )э

4.

L £

Q =

Ap(s)ß +A W

=

s3(s +

1)3£ 4,

Q7[G,GQ-1=

Q7 1 [ЛД£Я +

А; (s) AAp (s)] Q"

1 =

■ [ + V > ( s a — 1)

— 1

0

0

— 1

1 +

A,2S2 (sa — 1

)

0

0

0

0

1 +

X^ (sa — 1)

— 1

0

0

— 1

1 +Xj>s2(s2- 1 ) _

‘1

+ W a(s2

— 1 )

—

1

=

В Д Я 0. (5.35)

— 1

1+ X2s* (S2 —

1)

Тогда,

согласно

(5.20),

Г

=

Т0

0

н

=

Но

о-

о

т,0 J

о

Но

Воспользовавшись алгоритмом Дэвиса для факториза­

ции

матрицы (5.35),

получим

Т0 =

Я4 -|- Я2 Я2

Я2

Я2

'

s 2 1 Ях -f- Я 2а

Яф

I

ХфЯ 2&

Я 2 (1 — а)

s —

Я 0

=

Я х + Я 2

Ях -)- Я 2

Я х + Я 2

Я х -{- Я 2

— (sa

as +

b)

s2

+

as -f- b

где

b =

j / " —

> 0

,

д =

у

2b +

1 >

0

(рассматрива­

- 1 * +

Я 1 + ^

’

h + К

0

s + а

—

(S +

а)

Г - К ( а - 1 У

Я » (а — 1)

]

Я, ( а - 1 ) ;

— Л а ( а — I)

^ 0

=

Х| ~"Ь

0

0

0

0

0

0

— Хф

Я ф

0

0

0

0

Хф -- Хф

0

0

— Х 2 (а —

1); Я 2 (а — 1)

0

0

—

Я 2Ь

Я 26

М а - 1 ) ;

- Я і ( а - -1)

0

0

Хф — Хф

А

(s) =

(sa +

as +

b) (s +

1) s,

где

b = У px - f p2

> 0

,

a =

У 2 6 + 1 >

0

, px =

,

p2 =

______l _

1

“

V

Фундаментальная

система

при

0 < p* +

p2

C

(случай четырех действительных корней) имеет вид

* 1 (0 =

+

Схйе~ 1+

С\е~^ +

Сх4е - у*‘,

* 2 (t) = СХ+ С\е~1-

(Cxsé~Vl‘ +

С £ГѴ ),

Уг (t) = С{ + С\е-1+ С\е~^ +

С\е-"\

у, (t) = С{ + С іе-1-

(<% Г*‘ +

C l e ^ ) ,

где Уі = 1 - ( а - Ѵ Т ^ 2 Ь ) ,

у2 = ± ( а +

V T = T b ).

xi (0 =

+ Сіе

‘ "Ь

-)- (Сз cos at

-f- Cf sin at) é~nl,

x2 (t) =

СІ + C\e

1—

yl (t) = Cf +

C2e 1- f (Cg cos at + Cf sin at) e nt,

Уг ( 0

=

C{ +

С&Г' - -£■ (С" cos at + Cf sin at) e~nl,

P i

где 11 =

а

со ==

]/2ö — 1

2

Ю 3-582

137

X (t) -f- а х (t) — и (t — т),

а =

const,

т > 0 ,

(5.36)

при начальных условиях

X (0) = х 0 Ф 0,

и (t) =

0 при

t < 0.

Требуется определить закон

управления

и =

W x

(5.37)

СО

/ = J (гх2 + си2) dt.

(5.38)

о

Изображение Лапласа уравнения (5.36) имеет вид

(s +

а) X (s) =

e~ xsu (s) +

х 0,

т. е. Р (s) = (s +

а),

М (s) =

e-xs.

При решении

настоящего примера будем следовать ме­

скости

матрицы Z вместе с обратной

\р (?)

— М (s)‘

~

U (s)

ß (s)

Этому требованию можно удовлетворить, выбрав а (s) =

=

'е~ах,

а в качестве

ß (s) — целую функцию следующего

вида:

1 _

е— ( s + a ) T

ß(s) =

s + а

т.

е. q (s) — det Z = 1.

Ю*

139