книги из ГПНТБ / Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью

W =

К

( S ) H ~lQ-'C +

(К—

I 0 - 1 + )

X

или

X

[(/C- -

10 - 1 + ) D~XP - H - lQTlN.,R],

W =

[(/C0 + K + + L0 +

L+) D~xM -

Н ВГ' X

где

X

[(/С. +

K + +

L0 +

L+) D -'P +

HA],

Аp (s) — det P,

N

(s) P~lM,

Q = = Ap

Ap(s)B + AN,

H*H

Q~lGJjQ~x,

G fi —

N j . R N= - f

А; ( S ) CAp (s),

(3.41)

DD^ =

S,|, -f- PS,fP

K0+

/C f +

K - =

(H7'Q7%R - HA) P~'D'

L0+

1 + +

L _ =

-

Q =

Ар (s) Ет

Я *Я = *

GjG

>

т. е. Я !

Д р is)

G,

Apis)

*^ Ap (s)

W =

[А; (s) G~XC + (К - -

1„ -

L+) D~XM]~XX

или

X [(/С- -

1 0 - 1 + )

D -'P -

G-'N^R],

(3.42)

W =

[(/Со +

K + + 1 0 +

1 +) D~XM -

Я ]“ 1 X

X (/Со + К + + 1 0 + 1 + ) D

ХР.

(3.43)

Соотношения (3.41) в этом случае примут вид

Q = Я = Др (s) Р - 'М ,

H t f f ^ R +

PtM -'CM -'P,

(ЗА4)

/Со + К + +

К - =

(Я 71/? - Я) P-'D =

Іо + 1 + +

I - =

- H ^RSyP,D~\

W = [д; (s) H ~XN ~XC +

(К - -

1 0 ~

1+) D-'М Г 1 X

X

[(/С- -

1 0 -

1+) I " 1/3 -

Я 7 1#],

(3.45)

или

[(/С0 +

/С+ + І 0 +

1+) Я - ‘Л4]-‘ X

W

X=

(3.46) ■

[(/Со +

/с+ +

Іо + 1 +) І>-1І + //].

$ 2.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И П Р И О Д Н О М У П Р А В Л Я Ю -

Щ ЕМ В О З Д Е Й С ТВ И И

w =

(с — s3) Д

(s)

~j- (k_— [Q— /-)-) D * tn

—1

X

к* (s) q* (s)

X

0b - - l 0 - l+ ) D ~ ' P

h* (s) q*(s)

(3.51)

где

Af, (s) =

det P,

(3.52)

n =

Ap (s) P~lm,

(3.53)

q (s) =

Ap (s) ß (s) +

an,

(3.54)

nh* (s)S )ti(s)h --

q4s)qis),

(3.55)

g* (s) g (s) =

ntRn +

Ap (s) (c — s2) Ap (s),

(3.56)

DD* — Sip -}- PSyP

(3.57)

k0

k-Sf-

k - =

1

•n:l.R — h(s) а

P-'D,

(3.58)

h*(s) q* (s)

/0 +

/+ + /——

Л* (s) q* (s)

n*RSipP ,P , .

(3.59)

Здесь элементы вектора-строки а и скаляр

ß (s) — поли­

номы от

s,

удовлетворяющие

требованию аналитичности

матрицы Z =

Р ~ т

правой

полу­

ß (s) j вместе с обратной в

плоскости,

т.

е. полином

det Z = Ар (s) ß (s)

an =

q (s)

должен

быть

гурвицевым

полиномом.

h(s)

g(s)

<?(«)

и соотношения (3.51), (3.58) и (3.59) можно записать

так:

(с- s

2) Др (s)

+ ( / е _ - / 0~ / + ) D-'m

w =

•X

S* (S)

(£_ — /„ — /+) О“ 1/3

1

'h-R

(3.60)

8* (s)

h +

At- + /_

1

(3.61)

g* (S) 'h-RSqP. , ; Ö ,

,

(3.62)

г д е

1

giß)

(3.63)

g*(s) n*R

9(s)

V.

В предыдущем параграфе была доказана независимость

решения задачи (матрицы W и ет іП) от произвола в

выборе

м

bj іщ) + Cj (gt)

N

d j jgt)

« /- (s) =

2

+

E

S — gt

s — gt

/=1

r = M - H

(/ =

1, 2...........n),

где постоянные коэффициенты bj {gt), Cj (gt)

и dj (gt) имеют

вид (2.18), (2.23) и (2.19) и не зависят

от полиномов щ (s)

и ß(s), то элементы

вектора

и_ (3.63) определятся эти­

ми же формулами и тоже не

зависят от полинонов а,1(s)

и

ß (s).

Примеры.

I. Пусть Р — а — s, т = М = const,

5ф (со) = Яф, 5 Ф(со)=

е =

с2 (и2) +

(и2).

Согласно (3.52),

(3.53),

Ар (s) = det Р =

Р (s) — а — s,

п =

Ар (s) Р~'т = М.

Полагая

ß (s) = 0,

a

(s) =

получаем q (s) = Ap(s)ß(s) +

+

а /г =

1. Из (3.56)

и

(3.57)

имеем

g* (s) g (s) =

(а + s) (с2 — s2) (а — s),

т. е.

8

(s) = (с + s) (а +

s),

DD* = 4

+

(а2 -

s2) ( - b t ) 2 =

( - ^ ) 2 (d2 - s2)

(d = | /а 2 + Г > 0 ) , т. e. D = - ^ - ( d + s).

Согласно (3.61)—(3.63),

(с - f

s) (а 4 - s)

__

2 а

(с +

а)

М

(а —

s)

—

М

(а —

s) ’

k—=

2 а

(с +

о)

X (d +

s)

М

(а —

s)

(а +

с) (д + d)

/0 =

/+

= /_ =

0.

M X .

(а — s)

И, наконец, подставив необходимые величины в (3.60),

(3.30),

(3.29),

получим

W ~

2 а (а -f- с) (а +

d)

М

(s2 +

(2a +

c +

d)s +

[2a(a +

c +

d) +

cd]}

’

У°°

ßmin =

у

j* k - (S)

(— S) ds =

(а - f c f (а - f d f Sv.

— /o o

уравнением первого порядка х -J- ах =

и

ф.

Требуется найти закон управления в цепи обратной

связи (передаточную функцию регулятора w) и =

w (х -1- ф)

так, чтобы при устойчивой замкнутой

системе

объект +

ческим ожиданием и спектральными

плотностями 5ф (со) =

=

Л 2/(ц2 +

со2)

и 5 ф(со) = Д2/(ѵ2 +

со2).

В

принятых

обозначениях Р

s) = а - •s, m =

1.

Аналитичности матрицы Z —

P

— tri

вместе с

обрат-

а

ß

ной

в

правой

полуплоскости добьемся,

положив

ß = 0,

а

=

1,

т. е.

q — det Z = 1.

Согласно

(3.52) —

(3.57),

п =

1,

g — 1,

£>Д> =

ф _______(а2— s3) В2

откуда

*

(I2 -

‘

V2 —

S3

’

D

=

^52 ~l~ ^is

’

где

(H +

s ) ( v + s )

Я0 =

У 5 2а2(.і2 +

ЛV s > О,

Вг =

У ß 2 (а2 +

У ) +

Л* +

2ВВ0>

0.

Из

(3.61) — (3.63)

имеем

lo + l+ +

1- =

В2(а — s) (|х — s)

В0)

'

k—— V—=

0.

(ѵ +

s) (Äs3 — BlS+

Следовательно,

/0 =

0,

/+

= - ■

5 2 (а +

ѵ) (р + у)

(ѵ +

s) (ßv3 +

ßxv -f- ß0)

И окончательно,

согласно

(3.60),

w

(s) =

4V2 +

yts +

y„

s) (fl +

где

( ( i +

V) ( p

+ V)

’

Vo = ац (a +

v) (p - f

v ) ------ § -

(v2 +

+ -З в -j

,

Vi = ifl +

v) (a + P) (P +

v) —

(v2 +

V + A - J ,

Va =

V (а + p) + ац —

v ---- •

Рассмотрим случай, когда внешнее возмущение исче­

зает (Л -*■ 0, ß

0). Здесь возможны два

варианта.

Пусть

а >

0, т. е. объект устойчив,

тогда у0, ух, у2 -> 0 (так

как

ß 0 —V Вар,

Вх ->

В {а +

р))

и,

следовательно,

w -> 0,

(х2) ->■ 0.

0),

то

В0 -> Вщі,

Ву -■>-

Если объект неустойчив (а <

- > ß (H — а), a

а-)- V

ф о

(х2) ф 0 .

'

Казалось бы, что и в этом случае

w должно быть

рав­

но

нулю, но, положив

w =

0,

мы

не удовлетворили

бы

процессы со

спектральными

плотностями St (а) = т? (1 +

-[- Тісо2) " 1 и

S2 (аз) = т| (1 +

Г|со2)-1 соответственно.

Считаем, что измерение координаты у производится без

погрешности,

а координата х измеряется с погрешностью

Ф , которая является стационарным случайным процессом

ностью Я2.

определить закон управления и — wt (s)

Требуется

X

X (х +

ф) +

w2 (s) у, т. е. передаточные функции

wL (s)

и

w2 (s)

таким

образом, чтобы при устойчивой замкнутой

системе объект +

регулятор минимизировалась

величина

е = с (и2) +

(и2).

В принятых обозначениях

Ар (s) =

det Р — (1 — s) (2 — s),

п =

g* (s) g (s) = (c — s2) (I — s2) (4 — s2),

g (s) = QTc - f s) (1 +

s) (2 - f s),

+

Я 2 (1 — -s2)

0

D D ^ S ^ +

PSiP*

T;

О

Та

1 + 7 V

7 3 -5 8 2

97

где

а0 =

V х\ + Я2> О,

а, =

V " X2 (1 + Г?) + 2Я7\ V x l-j-X 2> О,

ства) равны нулю, то из (3.61) следует, что

/0 = /+ = О,

а вектор k - , согласно (3.62), (3.63), (2.23) и

(2.19), имеет

вид

и

__

3 (у^е-f-1)(да4~ °і

°о)

.

9 (Ус -у 1)т2___

(I

+ 7\)(S - 1 )

’

( H

- r 2) ( s - l )

1 2 ( V 7 + 2 ) T,

(і + 2 Г , ) ( і - 2 ) J-

Подставив все необходимые величины в (3.60), получим

_

PiS +

gp

_ _

V3S3 +

V2S3 +

Vt S - f- VQ

1

EgS3 +

EoS3 + Exs - |- e0 ’

3

e3s3 +

e2sa - f

BJS + E„

'

где

a-i = 3 (1r c -1- 1)

,

o0 =

3 (V'c +

1)

v3 =

a2TLT 2,

V, =

-

aLTcT, -

агТс +

9 (]/c

-j-

1)

,

=

— а,\ТсТг -

ауТс +

9 ( Ѵ с +

1)

+ 9а., (1Г ■ +

1),

V0 =

--- а0^с "Г 9 (ѴЪ +

1) LИГ2

Qi + аг—° о П

1 + П

e3 =

0-2»

во =

“Ь а 2 (Ѵ^с -j-

6 -j- ТСТ2),

% =

а0 + ах (У~с +

6 -J- ТСТ2) + 3 (І^с +

1) а2,

е0= а0(]/с + 6 + ПГ2) +

3 (1 ^ +

1) -*+іа

У Г і',

г _

9 ( / с + 1 )

12(/Ь +

2)

с

1 + Г а

1

+ 2Г2

’

d3u .

d2u

,

du .

dx .

.

8 з ~äis +

+

8 i ~ d f +

г °и ~ a i ~ d F

a °X

•

dhj

d-y .

dy .