книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

Графики амплитуд первых трех гармоник ( 1 , 3 , 5 ) , рассчи­

танные по формулам ( 2 . 3 1 ) для Ѳ = 3 , приведены на рис.2.13.

FHC. 2 . 13 .

Из графиков следует, что в спектре сигнала työö большую роль играют высшие гармоники. В частности, третья гармоника по величине больше первой. Этот результат вполне объясним физи­ чески, если учесть, что в цепи модуля f^l стоит идеальное форсирующее звено, подчеркивающее высшие гармоники. Поэтому,

но учитываться при использовании рассматриваемых устройств для коррекции частотных характеристик автоматических систем.

Детальное рассмотрение роли и места псевдолинейных кор­ ректирующих устройств в автоматических системах не входит, в

Г л а в а Ш

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

СПМОДИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ

§3 . 1 . Общие замечания

Результаты исследования разомкнутых динамических цепей, полученные в первых двух главах, показывают, что преобразова­ ние Лапласа с успехом может быть применено для изучения перио­ дических режимов работы не только стационарных цепей, но и цепей с периодически изменяющимися параметрами и нелинейных цепей. Благодаря четкой связи изображения выходного сигнала о коэффициентами Фурье можно просто получить введения о опектральном составе сигнала и таким образом определить его как функцию времени.

При определенных ограничениях на свойства рассматривае­ мой цепи с помощью преобразования Лапласа можно найти уравне­ ние связи, справедливое для входного периодического сигнала произвольной формы. Поэтому исследование можно распространить на замкнутые динамические системы, если ограничиться рассмот­ рением их периодических движений.

системе замкнутого контура передачи сигнала. Поэтому прежде всего необходимо выяснить вопрос о самовозбуждении замкнутой системы, т . е . вопрос о ее устойчивости.

Вопросы устойчивости замкнутых систем изучались еще в прошлом веке. Результатом явилось создание A.M.Ляпуновым об­ щей математической теории устойчивости движения. В дальней­ шем трудами советских и зарубежных ученых эта теория получи­ ла детальное развитие. Созданы удобные и простые инженерные критерии оценки устойчивости систем, разработаны методы рас­ чета их периодических движений. Однако полностью это относит­ ся только к стационарным системам. Сложность процессов, проис­ ходящих в системах с переменными параметрами и нелинейных системах, затрудняет их исследование. Поэтому в настоящее время усиленно продолжаются поиски различных критериев, кото­ рые позволяли бы с достаточной степенью точности определить возможность существования в системе периодических режимов, и которые удовлетворяли бы требованиям инженерной практики.

Успехи, достигнутые в этом вопросе, зафиксированы в це­ лом ряде трудов по теор'ии устойчивости и в огромном количест­ ве журнальных статей. Так как обзор их представляет самостоя­ тельный интерес, отметим здесь лишь основные направления, в которых ведутся работы. Сюда относится прежде всего развитие классической теории устойчивости А.М.Ляпунова, связанной с изучением свойств дифференциальных уравнений, описывающих по­ ведение системы [f$, 20) . Естественным продолжением ее яв ­ ляется исследование устойчивости в пространстве состояний [ 9 ]. Вторым направлением можно отметить определение устойчивости с помощью интегральных уравнений системы. Описание системы ин­ тегральными уравнениями позволяет несколько иначе поставить 84

вопрос о периодических движениях системы и получить новые ре­ зультаты [25] . Наконец, самым интересным о инженерной точки зрения является третье направление, связанное с анализом частотных свойств системы [24,2â\ . Оно естественно вытекает из представления периодических сигналов рядами Фурье и позво­ ляет оперировать понятными инженеру частотными характеристика­ ми системы. Именно частотные критерии устойчивости наиболее широко применяются в настоящее время и имеют наибольший успех благодаря своей простоте ш наглядности.

Проводимый ниже анализ собственных колебаний замкнутых систем относится к третьему направлению. Исследование связано только с одним практически важным классом замкнутых систем - о линейными системами, имеющими периодически изменяющийся коэффициент передачи. Целью является определение условий су­ ществования в таких системах периодических собственных движе­ ний с заданным заранее периодом повторений. Именно в такой постановке задачи проще всего распространять на замкнутые системы методику исследования разомкнутых цепей. В то же вре­ мя такой подход позволяет более конкретно решить задачу об устойчивости систем выбранного класса. Ограничение периоди­ ческих параметров только коэффициентом передачи не сужает ис­ следование, так как структурными преобразованиями в этому слу­

Для стационарной части системы справедливы все соотношения теории линейных стационарных систем. Переход же к дифференциальафму уравнению приводит к появлению целого ряда перемен­

ние Лапласе, получим:

г

Иятегральное уравнение (3.4) при заданном законе измене­ ния коэффициента передачи может быть преобразовано в уравне­

' J c r

Следовательно, дифференциальному уравнению с переменными

*коэффициентами в области времени соответствует дифференциаль­ ное уравнение в области изображений также с переменными коэф­ фициентами. Однако,•принципиальное отличие уравнения (3.5)

состоит в том, что порядок его определяется не динамическими 88

Примеры решений дифференциальных уравнений с переменными коэф­

Поскольку перечисленные уравнения имеют переменные коэф­

связь и открывает более широкие возможности решения уравне­ ния. Естественно, трудно ожидать в общем случае получения точного решения. Обзор существующих работ в области исследо­ вания систем с переменными параметрами показывает, что прак­ тический интерес могут представлять дока только приближенные решения. Но именно в этом случае ценность того или иного ме­ тода анализа во многом определяется исходным математическим

описанием процессов, которое в области изображений представ­ ляется более предпочтительным.

Обратимся теперь к замкнутым системам, коэффициент пере­ дачи которых имеет периодическую составляющую произвольной формы. Общим приемом здесь может быть разложение коэффициен­ та передачи в ряд Фурье. Тогда уравнение (3.4) может быть приведено к разностному уравнению бесконечного порядка.

Более приемлемое описание можно получить, если сразу предположить в системе существование периодического режима, вызванного внешним сигналом, либо возникшего внутри системы. Анализ разомкнутых динамических цепей с периодически изменя­ ющимся коэффициентом передачи, проведенный в глава I , показы­

ких режимов работы замкнутых динамических систем. Действи­ тельно, если система имеет структуру, показанную на рис. 3.1,

только периодические процессы. Поэтому оно может быть исполь­ зовано при исследовании процесса отработки системой периоди­