Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Уф) - НФЩ® Ccù

-с	/71						7)
-с	Г	-					7)
	/ У
Дальнейший	анализ может быть выполнен				по методике, изложен
ной в § І . І .		Интересно	отметить, что если в цепи модуля				/Ч
стоит идеальное форсирующее				звено, т.е.	Щ(р)	есть целая
функция, а		к£(р)= /	.	И-ЛКУ при воздействии		на него	си

нусоидального сигнала имеет свойства, совпадающие со свойст вами этого звена. Действительно, при выбранных передаточных функциях из (2.7) имеем:

Этот результат легко проверяется графически, так как при та ких условиях ПЛКУ не является динамической цепью.

Рассмотрим математическое описание другого варианта поевдолинейного корректирующего' устройства, к которому приво дится весьма большая группа ПЛКУ, описанная в { 21 ] . Схе

ма устройства показана на рис. 2.2.

М 1

Рис. 2.2.

Здесь приняты те же обозначения,			что	и на	рис. 2 . 1 .
Проведем анализ ПЛКУ, считая, что на вход его воздейст
вует оинуооидальный сигнал		х{{~) =	' sin	cot	, причем ве
личина d	безразлична.
Эквивалентным структурным преобразованием схему можно
привести	к виду, показанному	на рис.	2.3.

	м	1_
		X
40)	р	т
40)	р
Рис.	2.3-
Поскольку прѳобравованиѳ синусоидального		сигнала звеном 4(рі)

очевидно, рассмотрим нелинейную часть схемы, включающую толь

ко	одну линейную			цепь	с передаточной		функцией W0(ß) =				•
Поэтому		будем считать,			что	-	Sen	cet
	В зависимости			от	знака фазы	^ о ^ О		синусоидального
сигнала		X0ft)		, определяемого .частотными					свойствами звѳ-
я а	Щ>Ср)		, сигнал на выходе реле				будет		иметь	форму,	пока-
эанную на рис.			2.4,
									гхр
							X
						* *			- ^ ö	Т/
							J	'
		а)	%>о						< а

Рис. 2.4.

Определяя		изображение			сигнала Хр		на выходе реле Р		,
для положительных			сдвигов фазы			сро >0	(рис. 2.4а) получим:
								(2.8)
Если	<$1<0		(рис. 2.46),			изображение равно
								(2.9)
В обеих формулах				сдвиг	сигналов по времени Л			берет
ся по абсолютной величине,					т . е .
						со		(2.10)
						со
так как зйак. учитывается формулами (2.8)							и (2.9). В формуле
(2.10) ReofiO		и ^770 &)			-	вещественная и мнимая		частот
ные характеристики			звена U0(p)			соответственно.
Псевдолинейное корректирующее устройство, показанное на
рис. 2.3,	описывается			следующей		системой	уравнений:
			-//>				со
							со
m A"			" e ' { :					( 2 . I I )
		P	A	е-*?


Так как методика дальнейшего		анализа не зависит от зна
ка у>0 , остановимся на случае,		когда	< О	. Иск
лючая промежуточные	переменные, найдем выражение для изобра
жения установившейся	реакции ' УСр) :

C-Joo
Переходя к интегралу по замкнутому контуру					и решая его в ле
вой полуплоскости	по полюсам		Хеш±/	'	, т-	,
получим :
УСЪ)= J g	f - e ' P Î	У		£	.	(2.13)
Чтобы получить значение			YCp)	в замкнутой форме,*
составим дополнительный		интеграл:

^Решая его по теореме вычетов, получим: - в левой полуплоскости

1* Cp'bxf+of

~ в правой полуплоскости \

- 1

? • гi-2éAfp^-pIp

гдл(0'/")-еІР]

_ ço(<- е'^Р) - 2Ç~*P(CÙ соs/1 со +р sin а со)

Сравнивая значения обоих интегралов, получим выражение для бесконечной суммы в замкнутой форме:

Подставляя это выражение в (2.13), получим окончательную фор мулу для изображения У/р) установившейся реакции рассмат риваемого псевдолинейного корректирующего устройства на си нусоидальный входной оигнал при у>0 < О :

Проводя точно такие же рассуждения, можно получить выра

жение для Y(p)		, когда сдвиг фазы	Сро , обеспечиваемый
цепью Ѵ/0(р)	,	положителен (<р0 > О)	. Окончательно
изображение	Y/д)	имеет вид:

У(р\ -	С	с->0- е^) * 2в (^Р("> cosaa -р sin g со) ( 2 1 5 )
	l+Q'pï	рг^сйг

Характерной особенностью рассматриваемого ПЛКУ является зависимость его свойств только от фазовой характеристики

сроС°а) звена	Ѵ/0(р)	. Именно ею определяются моменты
переключения реле Р		при воздействии синусоидального (а
в общем случае	любого периодического) сигнала. Есляа-~0 .
формулы (2.14)	и (2.15)	приводят к одинаковому очевидному
результату:
3 Зак. 161р.		в -5

Y (pi- Си) рг+сог

т . е . в этом случае происходит передача синусоидального сиг нала без искажений.

Как было отмечено в § 1.4, появление дополнительных ли нейных звеньев не влияет на возможность математического опи сания нелинейных устройств. Поэтому рассмотренная методика может быть использована при исследовании псевдолинейных кор ректирующих устройств, схемы которых приводятся к виду, пока занному на рис. 2.5.

M		1
		1
		X
Р	WM	7 "
FHC.	2.5.

Данная схема представляет собой самый общий вариант не линейного корректирующего устройства изучаемого класса. Чтобы не загромождать изложение, опуская промежуточные преобразова ния, запишем окончательное выражение для изображения устано вившейся реакции ~Y(ß) при воздействии на -корректирующее устройство синусоидального сигнала ^СО ' 3<-ocoà

а) Сдвиг Фазы (fQ (со) = агс£ j|p^3o > 0

I p./со

V^CpV^W/-/^)] -

Р'Уу /со

б) Сдвиг фазы <р <0

Yiï-jïïFï-f '''^ff*** 40»J»WT$ -

В формулах (2.16) и (2.17) введены следующие обозначения:

-	JJ{	- полюсы функции Wb(p->)= £а(-р-х)		;
-	Г) - порядок передаточной функции		V/h(p)	;
-	V,-	- полюсы функции к £ Ср) ^	;
	с	порядок передаточной функции	К£ Cpj
Полюсы обеих передаточных функций для удобства записи
приняты	простыми.
Проведенное математическое описание периодических режи
мов псевдолинейных корректирующих устройств			свидетельствует
о плодотворности использования аппарата преобразования				Лапласа
при исследовании динамических цепей, включающих нелинейные
элементы.
5*				67

§ 2 . 3 . Гармонический анализ псевдолинейных корректирующих устройств

Проведенное в предыдущем параграфе математическое описа ние псевдолинейных корректирующих устройств позволило полу

чить изображения установившейся реакции						Y(p)		этих		уст
ройств. Эти выражения дают возможность о помощью методики,
описанной в	§ І . І , выполнить		полное		исследование				спектрально
го состава	выходного	сигнала	у^)		и определить				влияние на
него отдельных элементов схемы.
Проведем это исследование вначале для корректирующего
устройства,	показанного на рис. 2.3,				поскольку			оно описывает
ся наиболее	просто.
Коэффициенты Фурье разложения				сигнала			y(t*)			в ряд оп
ределяются в данном случае по формуле (1.6 ) , так									как	у(О
имеет симметрию Ш рода. Обращаясь				к формуле (2.14), т . е . рас
сматривая реакцию псевдолинейного				корректирующего					устройства
с инерционной цепью		Ѵ/а(р)	(		< О	) ,	получим:

= 0,1 .2, .. ,

откуда

- C°stf Ztr>(2r->f)<foJ

( 2 Л 8 )

бе

В формулах (2.18) /С = 1,2,3,... , т . е . они справед ливы для высших гармоник. При к - 0, т . е . для первой гар моники, получается неопределенность. Раскрывая ее по прави лу Лопиталя, найдем выражение для коэффициентов Фурье а и

V -

		s		(2.19)
Следует подчеркнуть,	что при расчете	коэффициентов Фурье
сра - Л CD s= ^ огс £g у ^ Т г З У 1 ' т а		к к а к	з в а к	^ а з ы У ч и т ы ~
вается сразу в форме	выражения для	Y(p)	•
Таким образом,	как уже отмечалось в		§ 2.2,	частотные
свойства рассматриваемого псевдолинейного			корректирующего
устройства определяются только фазовыми сдвигами сро цепи

VJ0Cp) . Это дает возможность		формализовать		процесс опреде
ления гармоник сигнала у (fi	,	если построить графики за
висимости коэффициентов		и	о т	5^

Поскольку на практике больший интерес представляют ^амплитуды

гармоник	$2г+,	и фазовые	сдвиги </>£г+/		, найдем вы
ражения функций		&Zti, (Уо~)	и	фгі,н fft,")	•>:
1/2(f-cosScpà + £(яг-2&				Sin2<po +	2#f \
ri	d bf	3 jr-2çpo		+ s,in2<po.
Чг*"	Art*'	I

(2.21)

Графики зависимостей $£it,+f	tyj)	для К - 0,1,2 и 3
приведены на рис. 2.6. На рис. 2.7	показан график<f)f(fo) ,
причем по оси ординат отложен модуль ^		. Это объясняется

тем, что если выполнить расчеты гармоник для псевдолинейного


корректирующего		устройства,	имеющего форсирующую линейную
часть ( (j)Q	> О	) , оказывается,		что амплитуды		гармоник оп
ределяются	теми же формулами		(2.20)		и (2.21), а фазы гармо
ник	изменяют только знак				на обратный	по сравнению
с фазами для случая, когда			<ро	< О .

Очевидно, что этот вывод мог быть сделан гораздо раньше непосредственно из физических соображений. Таким образом,

знак	совпадает	со знаком у? .	I
Итак,	полученные	кривые ^г^і^Т°°^ и	позво

ляют провести полвый анализ работы псевдолинейного корректи рующего устройства, схема которого показана на рис. 2.3.

	Рассмотрим в качестве примера определение комплексного
эквивалентного коэффициента передачи П£(/<ч,		^
для	корректирующего устройства, схема которого	приведена на
рис.	2.8 [ / / } .

т~ sincot	M
		X

/+ 0,05p	p	T

Рис. 2.8.
Собственно расчет сводится к тому, что нужно построить
фазовув характеристику ^С0^ линейной		части устройства. Для-
рассматриваемого примера она приведена		на рис. 2.9.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ