книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие
.pdfкогда оно позволяет получить общий закон преобразования сиг нала. Это возможно, например, при выпрямлении сигнала или его детектировании.
Рассмотрим периодический сигнал x(f) , имеющий сим метрию Ш рода. Если его форма такова, что внутри полупериода он не меняет знак, то его однополупериодному выпрямлению в области изображений соответствует умножение изображения X(ß)
на
где |
Х0/Ср) - изображение образующей |
Xg/ft) |
|
При тех же условиях двухполупериодному выпрямлению сиг |
|
нала |
соответствует операция |
|
ХН<Р>Ц\*(Щ-fgrx®^Х/Р). |
CI.5D |
|
|
Действительно, если сигнал x(f) |
(рио. 1.24) имеет |
z(t) Aß)
|
|
РИС. 1.24. |
|
|
изображение |
образующей функции Х0І(рЬ |
, то |
изображение |
|
его модуля |
o6^\x{0\J |
можно предстввить в |
виде: |
|
XJP)
Интересно отметить, что |
в формулах (1.50) и ( I . 5 I ) изоб |
|
ражение выходного сигнала получается в виде произведения |
||
изображения входного сигнала |
Х(р) |
и функции нелинейной це |
пи. Однако последняя ни в коем случае не может рассматривать ся как передаточная функция, так как соотношение справедливо
для |
сигналов определенной |
формы. |
|
|
|
|||
|
Пример I.13. |
Определить |
спектральный |
состав |
сигнала |
|||
у(і) |
на |
выходе детектора, |
на вход которого поступает синусо |
|||||
идальный |
сигнал |
x(t)= |
^ sin Sit |
. Передаточная функция |
||||
фильтра |
детектора |
имеет вид: |
Ѵ/{р) |
- — |
і. |
|
||
|
Изображение |
входного |
сигнала |
ХСр)s |
г. |
• |
||
|
Применял соотношение |
( І . 5 І ) , получим: |
|
|||||
Поэтому изображение выходного сигнала У(р) |
будет иметь |
вид: |
|
Применяя общую формулу |
(1.5) и учитывая четность сигнала |
у ft) I найдем выражения для |
коэффициентов Фурье: |
а. |
-/4. - Ф - — - |
4 ^ . |
P-Ja |
|
|
J ** Т |
f+Tp |
р*& |
|
откуда |
ао ~ |
Я |
|
|
|
OL- = |
|
|
|
|
А = _ |
g . . . |
л |
|
52
.Еще одной возможностью получения общего закона преобра зования нелинейным звеном периодического сигнала является случай, когда форма входного сигнала определяется свойства
ми цепи и в известном смысле не зависит |
от формы |
входного |
||
сигнала. Например, если сигнал Х(0 |
, |
имеющий симметрию |
||
Ш рода и удовлетворяющий условию: х(і)ъО |
при O^t^ Т , |
|||
поступает на вход идеального поляризованного реле, |
выходной |
|||
сигнал ЗСр({) независимо от конкретной |
формы |
х |
ft) |
|
будет представлять собой прямоугольные периодические колеба ния (рис. 1.25).
г
Г
Рис. 1.25.
I
Поэтому его изображение можно записать в виде:
•р ' р 2 Р е + 2 р е |
bpJ~W{I-52) |
Полученные соотношения позволяют проводить точный гармо нический анализ сложных нелинейных цепей, включающих рассмот ренные элементы и линейные динамические цепи.
,53
Г л а в а П
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУВДК УСТРОЙСТВ
§ 2 . 1 . Общая характеристика псевдолинейных корректирующих устройств
t
Коррекция частотных характеристик автоматических систем с помощью линейных активных и пассивных цепей является испытанным средством улучшения динамических свойств систем. Методика син теза линейных корректирующих устройств в настоящее время раз работана весьма подробно и полностью проверена на практике. Имеется большое количество литературы, где определен порядок расчета корректирующих устройств различных типов и собран боль шой справочный материал. Поэтому можно говорить о создании ин женерной методики синтеза линейных корректирующих устройств.
Вместе с тем необходимо отметить одну принципиальную осо бенность, характерную для линейных динамических цепей: их ам плитудные и фазовые частотные характеристики взаимосвязаны.
Если эти цепи являются минимально-фазовыми, то связь становится однозначной. Эта особенность целиком относится к линейным кор ректирующим устройствам и накладывает отпечаток на окончательные 54
результаты коррекции частотных характеристик системы. Она про является в том, что при изменении с помощью корректирующих устройств формы одной частотной характеристики в требуемом направлении происходит изменение формы и другой частотной ха рактеристики, причем, как правило, это изменение нежелатель но. Например, увеличение запаса устойчивости по фазе с помощью форсирующего звена приводит к расширению полосы пропускания системы, которое может оказаться нецелесообразным, так как при этом увеличивается эффективная полоса пропускания. Поэтому'в последнее время появился ряд работ, где обсуждается воп рос о создании корректирующих устройств, имеющих хотя бы в
определенных пределах независимые амплитудную и фазовую частот ные характеристики. Решение этого вопроса потребовало включения
в состав корректирующего устройства |
нелинейных |
элементов, наз |
начение которых подробно обосновано |
в [ / / ] |
.. В результате |
появился класс нелинейных корректирующих устройств, обладаю щих в то же время некоторыми чертами, присущими линейным це пям. В частности, особенностью здесь является линейная ста тическая характеристика. Поэтому корректирующие устройства, относящиеся к этому классу, занимают некоторое промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями, что и опреде лило их название: квазилинейные или псевдолинейные корректи рующие устройства. Большое количество материала по их примене нию и расчету собрано в \21 ] .
Исходя из назначения этих корректирующих устройств - автономное изменение частотных характеристик - основное вни мание должно быть обращено на их частотные свойства. Так как в состав псевдолинейных корректирующих устройств (ПЛКУ) вхо
дят нелинейные элементы, они неизбежно приводят к изменению
5Ü
спектра входного сигнала. Поэтому изучение этих корректирую щих устройств требует рассмотрения следующих вопросов:
- математическое описание процесса преобразования сигнала;
-гармонический анализ ПЛКУ;
-методика синтеза корректирующих устройств для обеспе чения требуемой формы частотных характеристик.
В упомянутых выше работах эти вопросы решаются в области времени на основе аппарата рядов Фурье. В них получены общие результаты, рекомендации и выводы, касающиеся частотных свойств ПЛКУ, а также рассмотрено их применение для улучшения динами ческих свойств системы. Вместе с тем необходимо отметить, что полученные результаты носят приближенный характер и строгая оценка точности отсутствует.
Ниже решается ряд вопросов исследования ПЛКУ с использова нием преобразования Лапласа. Использование комплексной плоскос ти, обоснованное в § 1.4, дает возможность провести точный гармонический анализ ПЛКУ и определить в общем виде основные характеристики этих корректирующих устройств. Полученные ре
зультаты хорошо иллюстрируют преимущества этого подхода.
§ 2.2. Математическое описание псевдолинейных корректирующих устройств
Реализация псевдолинейных корректирующих устройств может быть выполнена с помощью различных схем. Весьма подробный об зор возможных вариантов отруктур ПЛКУ дан в \2І ~\ . Ниже рассмотрены лишь_некоторые варианты псевдолинейных корректи рующих устройств. Их анализ позволяет полностью раскрыть ме тодику математического описания подобных устройств в области
56
изображений и определить ограничения, при которых это описа ние проводится.4
Рассмотрим псевдолинейноѳ корректирующее устройство, схема которого приведена на рис. 2 . 1 .
M M
WM
1 X
|
|
Рис. 2.1. |
Здесь буквой А / |
обозначена схема двухполупериодаого ,-• |
|
выпрямления, буквой |
Р |
- идеальное двухпозиционное поля |
ризованное реле. Схема включает две линейные динамические це
пи, имеющие передаточные |
функции соответственно |
h/f^O) и |
||||
Ѵ^Ср) • Будем |
считать, |
что обе цепи являются устойчивыми. |
||||
Найдем выражение для изображения Y(p) |
установившейся |
|||||
реакции рассматриваемого ПЛКУ, если на вход схемы действует |
||||||
периодический сигнал |
-Xf/) |
. Ограничим форму |
следую |
|||
щими условиями: |
|
|
|
|
|
|
х(£) |
имеет |
|
симметрию Ш рода; |
|
|
|
- 3c(f)>0 при Oétég-
Используя выражения ( I . 5 I ) и (1.52), схему в области изображений можно описать следующей системой уравнений:
Исключал промежуточные переменные, для Уф) |
получим: |
JC-Jo»
Будем решать интеграл (2.2) Б левой полуплоскости, допол няя там прямую интегрирования полуокружностью бесконечного ра диуса. Последнее всегда возможно для физически реализуемых це
пей Wf(p) |
и \\£{/>) |
. При определении установившейся |
|||
реакции учитываем лишь мнимые полюсы |
Д^, * у |
^гК |
, |
||
К - О, I , 2, |
. . . , где |
Т - период сигнала |
-zft1) |
|
|
Поэтому
* г ® ' ^ г £ х л т ^ ч ^ - <2-з>
Применим для определения бесконечной суммы (2.3) переход к интегралу свертки вида
Решая интеграл |
J(p) |
в левой полуплоскости, получим |
где \rjiZK |
. //,- полюсы |
ty(p)=A@ |
которые приняты простыми, |
п - порядок знаменателя ßf(/>) |
Решение интеграла в правой полуплоскости дает:
1+ р £
где |
V. |
- полюсы |
h£{p-J)- |
, |
m - порядок |
|
полинома |
Зг(р-Л) |
. |
' |
г |
|
|
Из выражений (2.4) и (2.5) можно получить значение бес конечной суммы в виде:
Подставляя полученное значение суммы в выражение (2.3), найдем выражение для изображения установившейся реакции рас сматриваемой цепи в замкнутой форме:
Полученная формула (2.6) представляет искомый общий за кон преобразования периодического сигнала сложной нелинейной динамической цепью, справедливый для любого по форме входно го сигнала Jfc^O при наложенных выше ограничениях. С ее помощью можно выполнить весь комплекс исследований, связан ных с гармоническим анализом псевдолинейного корректирующего устройства, показанного на рис. 2 . 1, причем результаты полу чаются точными.
Полученная формула связи изображений выходного и вход ного сигналов рассматриваемого устройства весьма убедительно показывает преимущества преобразования Лапласа перед описа нием в области времени, где подобный результат вряд ли мог быть получен.
Поскольку речь идет об устройствах, предназначенных для коррекции частотных характеристик системы, прежде всего необ ходимо выяснить вопрос о преобразовании ими синусоидального сигнала JC(Q* Sin tot и определить удельный вес высших гармоник выходного сигнала. Поэтому произведем математическое описание псевдолинейного корректирующего устройства в этом случае. Для этого достаточно в формулу (2.6) подставить изображение образующей оияусоидального сигнала:
р\со& ' о* W р^аг.
Амплитуда входного сигнала не имеет значения, так как устройство имеет линейную статическую характеристику.
Изображение установившейся реакции |
Yïjd) псевдолиней |
ного корректирующего устройства в этом |
случае будет иметь вид: |
60 |
|