Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

-fit

функции G а , получим:

Составляя интегралы

С 1-е - г

j Q

найдем после их решения в левой и правой полуплоскости:

3- Y- у / о > ^ _ Х»Сд

Поэтому

Подводя итог проведенному рассмотрению, можно сделать вывод о том, что в общем случае преобразование спектра периодического сигнала звеном с периодическим коэффициентом передачи описывается выражением, содержащим бесконечные сум мы вида (1.29), (1.30). Определение общего закона преобразо вания периодического сигнала в замкнутой форме возможно при конкретном подходе к решению задачи, когда известно соотно

шение между периодами изменения			сигнала х (t)	и коэффи
циента	де(і}	и когда задана	форма коэффициента. Общим
приемом	получения формул в замкнутой форме является образо-

ваниѳ по виду суммы интеграла свертки	и решение	его	в левой
и правой полуплоскостях.
Если определено выражение для изображения		U(p)		•
изображение выходного сигнала У(р)	определяется		по	оче
видному соотношению:

Кратко рассмотрим анализ разомкнутых систем с периоди ческим коэффициентом передачи, структурное представление ко торых показано на рис. I.19. Очевидно, что единственное от-

	Wo	личие	здесь заклю
z(0	u(0 X	чается	в	том,	что
		при определении
		сигнала		UCp)	с
	Рис. I.19.	помощью		передаточ
ной функции:	U(p) - \J(p)X{p) в дальнейшем из рассмотре
ния нужно исключить полюсы ~kf(p)		t так как		определяется

установившийся периодический процесс. Вся остальная методи ка переносится дословно. Поэтому поясним процесс расчета цепи примером.

Пример І . І І .		Пусть	Д І ^ О	имеет		вид, показанный на
рис. 1.20, а	периодический коэффициент					9&(0	имеет форму
прямоугольных	колебаний		(рис. І . І 8 ) .		Выберем для		простоты
			*
\			\ ^	t	Найдем при		этих	условиях
					изображение		для	выходно
		1.20.			го	сигнала	Y(p)	.
Рис.

Так как сигнал sc ft) имеет симметрию Ш рода,

Л&)* j-pZl

~2~р~ J '

Далее: U(p)= WCp)X(p),

J e-joo

Для YÛÙ	получим:
Vfn)--L	TXo& L , y , x / _	/-e-»^

Составляем интеграл:

C+too

Решая его в левой и правой полуплоскости, получим;

-Хл4>) « ,

Следовательно, изображение выходного сигнала имеет вид:

. УЕЛ -	[ ХМ	t+	Х/-4)	J	7	«
J(^J	l f.çpl	^д-рі	U q &	J		t+тр ; 43

Интересно, что выражение для выходного сигнала получи лось не зависящим от конкретной формы -Zft) .Единствен ным требованием в рассматриваемом случае является необходи мость симметрии Ш рода у входного сигнала. Именно возмож ность получения общих выражений для выходных сигналов слож ных динамических цепей выгодно отличает применение преоб разования Лапласа при их анализе.

В заключение заметим, что после получения изображения jf(p) выходного сигнала исследуемой цепи с помощью формул (1.5) или (1.6) может быть произведено разложение сигнала

вряд Фурье.

§1.4. Преобразование периодического сигнала нелинейными динамическими цепями

Прежде всего заметим, что дать сколько-нибудь исчерпы вающее описание передачи периодического сигнала нелинейной динамической цепью в одном параграфе невозможно в связи с исключительным разнообразием нелинейных характеристик. Уже введение в рассмотрение только одного периодического коэф фициента потребовало конкретного подхода к решению задачи. Требование конкретности тем более необходимо при анализе нелинейных цепей. Поэтому в данном параграфе рассматривают ся лишь некоторые вопросы гармонического анализа цепей, со держащих нелинейные элементы.

Под нелинейной динамической цепью в дальнейшем будем понимать такую цепь, в которой можно выделить собственно нелинейный безынерционный элемент и линейную динамическую

часть, характеризуемую передаточной функцией. Структурно 14

такую цепь можно изобразить следующий образом (рис. І . 2 І ) .

TCv)	um	Ml

Рис. I . 2 I ,
и(і) можно представать		в виде:

Если нелинейная харак теристика 5 ^ t ) до пускает разложение в степенной ряд, сигнал

и(і) » Осо + а, x(t) , оілхЩ + . . .

(1.45)

Это разложение позволяет показать процесо образования оагнака и(£) более1 подробным структурным представлением, ос новным элементом которого всегда будет множительное звено[2і]. Один as вариантов структурного представления дан на рис 1.22.

				ос.
				gl
х(0	X	X	2&)	uCÖ
	X	X
		X
	- р X		X

Рис 1.22.

Такое структурное представление показывает, что при задан ном входном сигнале sc (О математическое описание охемы в

области изображений может быть	выполнено путем многократного
применения формулы свертки в комплексной		области. Если х(і) -
периодический сигнал, в данном	случае-не	возникает вариантов
о периодом полного сигнала, как	в § 1 . 3 ,	так как	период од
нозначно определяется сигналом		• Однако,	к сожале

нию, здесь невозможно поставить вопрос о получении общего за кона преобразования нелинейной цепью периодического сигнала

произвольной	формы: для	определения U (t)	входной сигнал
должен быть	задан конкретно.
Для описания процесса преобразования сигнала множитель
ным звеном используется		формула свертки в комплексной области:
		C-tJo*
J//fÖ-&Oj*j-p			(1.46)

УСу°0

Вбольшом количестве случаев этот интеграл при заданном входном сигнале может быть решен в замкнутой форме. В резуль

тате можно получить изображение	сигнала	ufl)	, а, следова
тельно, и изображение сигнала	у	:

У(р)^ѴІф)иф).

Знание У(р) позволяет выполнить гармонический анализ сиг нала у {{j

Нужно отметить, что привлечение' аппарата преобразования Лапласа для анализа цепей вида, показанного на рис. I . 2 I , вряд ли покажется целесообразным. Однако, если учесть, что реальные цепи, подлежащие исследованию, могут включать нели нейные динамические цепи составной частью, применение преоб

разования Лапласа становится более предпочтительным, поскольку

позволяет провести анализ цепи единым методом. При этом сох46

рашгатся все известные преимущества этого аппѳрата и един ственной дополнительной операцией становится только решение интеграла свертки (1.46). Рассмотрим порядок решения на

конкретном примере.								#
	Пример І . І 2 . Определим			установившееся			значение	сигна
ла	динамической		цепи, показанной на рис. 1.23, если
на вход подан		периодический		сигнал	zft)		, имевший форму
прямоугольных		колебаний	(рис. 1.18); изображение Х(р)					вход-
				(
	X	/	Я	t	и	4fä	У
	X	игр	Я	X	и	4fä	У	і
		игр
			Рис.	1.23,
яого	сигнала	равно:

изображение сигнала 3.(0

имеет вид:

Используя	(1.46), получим изображение		UCp) сигнала	на
выходе квадратора:
	Cfjoo		Х(р-Ъсіх .
			Х(р-Ъсіх .
		f4 Тф-Х)
Подставляя выражение для		Х(р)	и решая в левой	полу
плоскости	по полюсам Х&)	(полюс цепи X * - ф		нѳ

учитывается, т . к . исследуется установившееся значение сигна ла), получим:

	XrmjêZ(&i>4b%				К = 0, I , 2, ...
Чтобы найти			(f{p)		в вамкяутой форме,		составим	вспо
могательный интеграл
7/nS	-L	Г	'~в I		/	/	/
Решая	-Уф)	в левой		полуплоскости, найдем
1/\	A		-1	/		/
	/+д-Л	Тр+ /		Тр* 2 '
Лл/&&*$				t	/С-0.	I . 2, ...
Решение интеграла					в правой полуплоскости			дает

Приравнивая значения решений, получим выражение для

бесконечной суммы s	замкнутой форме. Подставляя это выражение
в формулу для UCp)	1 после некоторых преобразований полу
чим:

Наконец, изображение выходного сигнала запишется


Применял описанную в § І . І методику,			можно	определить
точный	спектральный состав у СО	• Очевидно,		что точное
решение	этой же задачи в области времени		потребовало бы зна

чительно больших затрат. Важно отметить, что порядок пере даточных функций не вносит существенных усложнений в проце дуру расчета. Интересно также подчеркнуть, что сложность аналитического решения в области изображений зависит от фор мы входного сигнала. Такое явное влияние формы сигнала на описание процесса его преобразования характерно для области изображений.

Чтобы убедиться в правильности полученного выражения

(1.47) для	UCp)	» выполним решение	задачи в области вре
мени. Сигнал	<ZCO м о ж н о получить в виде функции времени,
используя методику,		описанную в § 1.2,	с	помощью формулы ( I . 2 I ) .
Выбирая из таблицы		изображение ЗС„Ср*		заданного сигнала,
получим :		л

Поэтому на рассматриваемом интервале [О, j J

Так как сигнал	имеет	симметрию Ш рода, сигнал uCO
получается четными	Изображение	его образующей имеет.вид:

им-
4	Ts*	rÇ/- д-е~рУ		(Ï-48)
	Ts*	-~	•	(Ï-48)

4 Зак. 161::.

Найдем изображение U0Cp) из выражения (1.47). После некоторых преобразований получим:

м .	/-еРІ	<rO-êpi)	£Г (/+Qpf)Q-etëpI)	/
+	*e+e^£ffÙ.^.		.	( 1 . 4 9 )

Выражения (1.48) и (1.49).полученные разными способами, отличаются по виду. Однако они описывают один и тот же про цесс. Отличие получается потому, что выражение (1.48) соот ветствует записи периодического процесса с помощью образую щей, а выражение (1.49) - записи процесса, представленного рядом Фурье. Если же определить коэффициенты Фурье сигнала

то для обоих выражений получим одинаковый результат:

3 . - / 4 * - 2 - irj-^r-

Рассмотренная особенность должна учитываться при гармони ческом анализе цепей.

Применение преобразования Лапласа становится особенно целесообразным в случаях, когда оно позволяет провести мате матическое описание процесса преобразования сигнала нелинейным

элементом при произвольной форме входного сигнала, т . е . 50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ