книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

где

=у у?- К

- полюсы входного сигнала Х(р)

Решение интеграла в правой полуплоскости приюдит к вы­

ражению аналогичного

вида:

где

р+ j-g К - полюсы изображения

периодического коэф­

фициента передачи

d?(ß)

изменяется

по гармоническому закону: эе(і)= Jin(y?+sp) , то

г

р V со

°

р * со

Подставляя

£?0(р)

в (1.30),

получим:

+ s j z ^ j ç ^ / a )

.

(I.3I)

воря, для

произвольной формы [ з / ]

Замкнутая форма записи

сигнала

U(p)

для произвольно­

го

входного

периодического

сигнала

может быть

получена

также

и

в случае,

когда изображения

имеют

бес­

ношение

периода

сигнала Т

и периода

изменения коэффициен­

та Ѳ

. Для

того, чтобы

выяснить эти

возможности, рассмот­

тодику

исследования.

I .

Периоды

сигнала и коэффициента

одинаковы

( 7*-<f?

)

Так как

обычно бывает

задана форма

коэффициента SE {О

;

в основу дальнейшего исследования положим формулу

(1.30), счи­

тая X

Cfy

периодическим

сигналом произвольной

формы.

Так как

при

Ѳ - Т

в левой полуплоскости по полюсам Д^, =j

К

:

(1.37)

Интеграл

-ЗСр^

может быть решен также

и в

правой

полуплоскости по

полюсам функции аС0І (р-Л)

,

которых по

определению конечное число. Поэтому

Ур) -

-

JlX/ti

Ы**[*оі<Р-Ъ]>

(1.38)

где -

(j

- число простых полюсов

функции 3fol

Cß~S^

Точно так же можно определить сумму в замкнутой форме,

если

дв0Ср}

имеет кратные полюсы.

Пример 1.7.

Рассмотрим преобразование изображения перио­

дического

сигнала

xft)

коэффициентом

передачи

эе(і^)

имеющим пилообразный характер изменения

(рис.

1.15).

В этом

случае

/-в

-рТ

Р

^РУ-у

• Подставляя

S60(p) в

Поэтому изображение образующей выходного процесса и(і)

по­

лучим в виде:

/

г ; л у / / - д - Л Х/р)0-ер7)-тХ(о)ерГ

т^тХ0(р)

*-X'fà+

те-»гХ0Ср)_ TëpTXJp) _

Y%\

Зная общий закон преобразования

периодичеокого сигнала,

можно найти конкретную реакцию рассматриваемой

динамичеокой

цепи на заданный входной сигнал.

Jc£é)

Пример 1,8.

Пусть входной сигнал

имеет

фор­

му, показанную

на

рис. I . I 5 , т . е . совпадает по

форме

о seft).

В этом случае

имеем

3*

.

35

=

4(г

- 2е->-т-

£Ге"тр-

Полученное

выражение действительно

является

изображением об-

разущей 3?0(t) = t Z

(O^t^T^

(см.пример 1.6).

Следовательно, если изображение образущей периоди­

ческого

коэффициента

таково, что в состав его входят

функ-

дни вида

8

,

используя

периодичность

этих функций,

можно преобразовать

выражение для

U0(p)

и, в конечном

очете,

получить его в замкнутой форме. Целесообразность вы­

носа

(экспоненциальных

функций

из-под

знака

бесконечной сум­

мы объясняется

тем,

что при переходе к интегралу свертки

они могут привести к особенностям на бесконечности, что

затрудняет

решение

интеграла.

П. Период коэффициента

Ѳ

кратен периоду

сигнала Т ( Ѳ-П Т ).

Если периоды

Ѳ

и Т

связаны

соотношением Ѳ- П 7rt

решение

совпадает с рассмотренным

выше, так как при наличии

в составе 3?0{р)

функций

6 Ѳ?

они могут

быть вынесе­

ны sa знак бесконечной суммы (1.33)

или (1.34). Методика

может быть

применена

и в тон случае,

если

коэффициент

пере­

дачи

аб^О

имеет

внутри

своего

периода

Ѳ

особенности

tiaa разрыв, точка излома. Необходимо лишь,

чтобы эти осо­

бенности приводили к появлению в составе

3?о (р)

пока-

вательвых функций

вида

в

Обращаясь к общей формуле расчета

У(р)

(1.29),

полу­

чим при

Ѳ - П У

где

Следовательно, выходной

сигнал u(é)

будет периоди­

ческой функцией, имеющей период изменения коэффициента

Ѳ=пТ.

Если изображение 6в0Ср)

равйо^.

Решение суммы (1.40) производится

с

помощью интеграла

сверт­

ки.

Пример 1.9.

Пусть периодический

коэффициент

xft)

имеет форму прямоугольных

колебаний

(рис. I . I 6 ) и на

него

поступает входной

сигнал,

период

которого Т

связан

с

*(0

с периодом Ѳ

'соот­

ѳ

Ѳ

30

ношением: 0=27" .

г

Т

1

Для заданного коэффи-

циента

передачи

полу­

Рис. І . І6 .

чим:

о "гJ

р

р

Подставляя

^0(р)

в (1.40),

получим: