книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие
.pdfотличающемуся от задан ного входного сигнала xft) только началом отсчета (момент А Т принимается для него
|
за |
t'*0 |
) . |
|
|
Если |
н а й т и ^ Г Л ) |
= ^-^ХАС^4)] |
> расчет ^(аТ) |
может быть |
|
выполнен по формуле (1.20). Поэтому окончательно формула для
определения функции |
на периоде ( О ér А * / ) при |
нимает вид: |
|
В пределах одного периода смещение аУ |
совпадает с теку |
щим временем. |
|
Следовательно, расчет реакции линейной стационарной це пи на периодическое воздействие может быть выполнен немед ленно, если получено выражение для
Для определения последнего можно предложить формулу,
связывающую J(o(p>Ä) |
с изображением |
образующей J(0Cp) |
|
заданного периодического |
сигнала |
|
• Она вытекает не |
посредственно из рассмотрения рис. |
1.8: |
|
|
|
С->у'оо |
<Р-ЪаТ |
|
|
|
||
Более удобной в практическом использовании является несколь ко видоизмененная формула:
20
ХМ |
|
-[XJ® |
- 0 - ? r № № ] < f t |
T . |
|
(1.22) |
|||||||||
vue |
|
À)-X/p) |
|
|
s |
C7°° |
|
|
a-fp-X*r |
|
|
|
|||
лХ/р |
|
-A |
Jx.CH |
|
|
^з-сія |
|
||||||||
определяется |
достаточно |
просто |
по изображению Ji0(pj |
за |
|||||||||||
данного |
периодического |
сигнала |
сс(€) |
|
|
|
|
|
|
||||||
В зависимости от формы сигнала |
JÇfl) |
|
отыскание |
изоб |
|||||||||||
ражения ЭСйСр, |
иногда |
целесообразно проводить |
|
непосред |
|||||||||||
ственно |
по заданному |
графику ScCfy |
|
|
• производя |
его смеще |
|||||||||
ние на |
^ 7 " |
|
, как показано на рис. 1.8. |
В этом |
случае і |
||||||||||
сохраняются все рекомендации, изложенные в |
§ І . І , |
касающиеся |
|||||||||||||
определения |
Х0(р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Последним, |
на что важно еще раз обратить |
внимание, |
яв |
||||||||||||
ляется следующее. Отсчет текущего времени при определении |
|||||||||||||||
Х0(р, Д) |
производится от смещения |
|
дТ |
как от нуля. |
|||||||||||
При построении же графика |
fyCfy |
|
отсчет |
времени |
идет |
||||||||||
обычным образом, |
он привязан к началу |
периода |
|
|
|
|
|||||||||
Выражения для XjCp, 4) |
различных |
типовых |
периоди |
||||||||||||
ческих функций показаны в. табл. 1. |
|
Отсюда, |
кстати, можно |
||||||||||||
получить4 |
и jC0(ß) |
». 8 |
С Л И |
положить |
смещение |
Ù |
|
равным О . |
|||||||
Путем линейных комбинаций и преобразований табличных изображе ний можно получить Х0Ср, À) Для периодических сигналов весьма различной формы.
В изложении ве выделялся отдельно случай симметрии сиг нала Ш рода. Здесь методика остается без изменений, однако диапазон рассчитываемого интервала может быть сужен до
\®> ~£ |
т а к |
к й к н а |
половине периода сигнал у СО |
просто |
меняет |
знак |
на обратный. |
21
JO |
Т А Б Л И Ц А |
I |
to |
||
Изображение |
с образующей |
|
-<t-AYp
4-Q |
Г р* |
р |
P2 oc
i^ß.— |
^ |
e s |
//* дТбіг |
p e
i
График образующей |
Изображение образующей |
ПЛ.І |
|
at (Ott* 7)
^ OD +6-1 |
-('-л)Гр |
2 |
p |
p |
СО
Пример 1.4. Рассмотрим реакцию цепи, имеющей передаточную функцию \/Ср) = /— н а последовательность прямоугольных импульсов (рис. 1.9).
Передаточная |
функция |
|
имеет полюс |
о*- |
. |
Для определения |
изобра |
|
жения задающего |
сигнала |
|
Ѳ |
|
|
2Т |
' Х(р, |
А) |
воспользуем |
|
|
ся таблицей I . На осно |
||||
|
Рис. |
1.9 . |
|
|||
|
|
вании формулы ( І . 2 І ) , |
||||
|
|
|
|
|||
учитывая, |
что |
|
|
, получим |
выражение для |
|
|
|
|
|
|
||
у(д 7 ) |
на |
интервалах: |
|
|
|
|
О 6 д Té- Ѳ
т
- |
К(1- |
|
|
€ |
_*T |
|
|
g т |
(І.23а)
(1.236)
Так как выходной сигнал ^С^) является непрерывной
функцией, |
yfo) |
s у (ТУ |
.Действительно, |
подставляя в |
(1.23а) |
йТ*0 |
и в |
(1.236) дТ= Т |
, получим из |
обоих выражений: |
|
|
|
|
24
|
Примерная форма |
выходного сигнала |
^(0 показана |
на. |
||
рис. |
1.9 |
пунктиром. |
|
|
|
|
|
Пример 1.5. |
Определим закон изменения тока С СО |
в |
|||
цепи |
RL |
, находящейся под воздействием напряжения пило |
||||
образной формы |
(рис. |
1.10). |
|
|
||
|
|
/? |
|
U(t) |
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
и(0 |
|
|
|
|
||
|
|
^ |
|
|
||
Рис. І . ІО .
Дифференциальное уравнение цепи имеет вид:
поэтому |
f |
|
|
I(p) |
R |
К |
|
иФ) |
ép+ / |
+ |
/ |
Используя изображение U0Cp,A) |
, данное |
в табл. 1, по |
|
лучим выражение для |
тока внутри |
периода: |
|
Возвращаясь к параметрам цепи, получим
' Легко убедиться, что данная методика расчета реакции " оказывается проще, чем рассмотренная в \_і0 ~\ .
До сих пор рассмотрение проводилось в предположении, что полюсы передаточной функции простые. Если среди полюсов есть кратные, изменяется лишь структура формулы для расчета у(&7*) . Для кратных полюсов нужно произвести решение ин теграла (І . І7) о учетом их порядка кратности по известным формулам для вычетов подынтегральной функции. Окончательная
формула для выходного сигнала у(€) |
цепи в этом случае бу |
дет иметь вид: |
|
где |
m - порядок кратности полюса. |
|
|
В заключение заметим, что если передаточная функция име |
|
ет |
целую часть, |
т . е . представляется выражением (I . 13), выра |
жение для |
получается в виде: |
|
где |
у |
ft) |
рассчитывается |
по формуле |
(1.21) |
по переда |
||||
точной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.6. |
Рассмотрим работу |
дифференцирующего |
контура, |
||||||
описываемого |
передаточной функцией |
W/p) = yj^p |
• е с л и |
|||||||
входной1 |
сигнал |
х(£) |
имеет форму, показанную на рис. I . I I |
|||||||
Cx/Q'Ot* |
|
|
при Oéé^T |
|
) . Так |
как |
\{(о) * |
|||
=Т~ |
/Ттр |
7 ° Д |
Н а с о с т в в л я п ц а я |
°игнала |
уС?) |
равна: |
||||
2 6 |
' |
у/ѵ-схбо-Ф*: |
( t *дТ |
на периоде); |
найдем составляющую yfö
Для этого определим Х0(р,А) • Используя со
отношение (1.22), получим:
Подставляя полученное |
выражение для |
Х0(р>£) |
в |
формулу |
(1.21) и учитывая, что полюс Р"'^ |
» получим |
вторую |
||
составляющую выходного |
сигнала: |
|
|
|
2f+ |
|
|
|
|
т |
«г |
|
|
|
Полная реакция дифференцирувдего контура на заданный сигнал определяется в виде:
Здесь обозначено |
Л Т * t |
, так как в пределах одного |
|
периода |
эти понятия совпадают. Результат расчета числового |
||
.примера |
показан |
на рис, I.12. |
|
. 27
\
gm
J 2T
( 7
Р ис.-I.1 2.
Подводя итог рассмотренному способу расчета установив шейся реакции динамической цепи на периодический входной сигнал, подчеркнем еще раз, что по своей сути он имеет мно го общего с исследованием периодических режимов разомкнутых
импульсных систем |
[ 33 ] . |
Это вытекает |
непосредственно |
из |
||
структурного представления, |
данного |
на |
рис. 1.7. Однако |
при |
||
менение смещенного |
изображения J( |
Cß, |
А) |
периодического |
||
сигнала позволяет провести все исследования с использованием обычного преобразования Лапласа и практически незаметно осу ществить переход к оригиналам, т . е . к функциям времени. В принципе, методика не требует никаких других вспомогательных
материалов, |
кроме |
таблиц преобразования |
Лапласа. Если se в |
||||
распоряжении |
имеются таблицы |
X0(ß, |
à) |
, подобные |
табли |
||
це I , весь расчет |
формы реакции |
у(О |
|
сводится к выполне |
|||
нию элементарных |
алгебраических |
преобразований. |
|
||||
§ 1.3. Преобразование периодического |
сигнала линейной |
||||||
|
цепью с периодическим коэффициентом |
|
|||||
Рассмотрим преобразование |
периодического сигнала |
х(і)* |
|||||
|
линейной разомкнутой системой с периодическим |
||||||
коэффициентом передачи Л 7 ? ) * / Г в * ^ # ) л |
к*Х^^п(^ |
+п&), |
|||||
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, имеющей передаточную функцию стацио |
||||
нарной |
части, |
равную |
Ѵ/Ср) |
(рис. |
І . І З ) . |
|
|
л / 0 |
|
a(t) |
|
|
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
эффект |
преобразования |
|
|
Рис. |
І . І З . |
|
|
переменным коэффициен |
||
|
|
|
|
|
том сигнала |
xCÔ |
|
можно структурно учесть введением множительного звена |
\_2.5 } . |
||||||
Кроме |
того, представим |
в виде: |
|
|
|||
|
= *о + Кп (0 |
' «oft* |
&fÙ] |
« К0[U |
|
(I.25) |
|
Коэффициент К |
может |
быть |
отнесен к линейной |
части. |
|||
Поэтому дальнейшее исследование будем проводить для линейной системы с нормированным периодическим коэффициентом передачи сЭг^?), структурное представление которой дано на рис, І . І 4 .
X
Рио. І . І 4 .
В области времени эта система описывается дифференциаль ным уравнением с постоянными коэффициентами в левой части. Поэтому ее исследование сводится к исследованию линейной
стационарной системы по эквивалентному входному сигналу
U(Q =CCft}fe-tde(t)J v. не. вызывает затруднений. Однако всегда желательно установить общий закон преобразования спектра сигнала эс(£) системой независимо от конкретного
представления этого сигнала. Поэтому найдем математическое описание в области изображений. Используя формулу овѳртки в комплексной области, получим изображение для
' Ш*^/хсъки(р-ъа*л |
(1.26) |
|
где Кф)^//Л?0] |
- |
|
. Стационарная часть имеет . уравнение вида:
Y(p) = *9WQùUQù • |
(І-27) |
|
Так как уравнение (1.27) очевидно, остановимся на изуче |
||
нии процесса образования сигнала |
tl{fy на выходе множитель |
|
ного звена. |
|
|
Так как задача заключается |
в определении |
установившихся |
периодических процессов, вводя представление изображений сиг налов с помощью образующих, получим для (1.26):
Так как для реально существующих сигналов форма под ынтегральной функции такова, что позволяет производить до полнение прямой интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в левой или правой полуплоскости, интеграл (1.28) может быть решен с помощью теоремы вычетов.
Решая его в левой полуплоскости, получим:
30