Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

\0,оо~\	, для которых всегда			можно найти			изображение. Об
щим приемом здесь может быть использование соотношения,								уста
навливаемого	между функцией J(ty			и ее		отрезком j^Cty		»
определенным	на	интервале	[О^Ѵ]	.(рис.		1.2):
			которому		в области изображений
			соответствует				равенство:
	Рис.	1.2,						8)
Обычно на основании леммы Жордана				т	] бесконечная прямая
				[ і б
интегрирования в		выражении	(1.8)	может	быть		без изменения
значения интеграла дополнена полуокружностью							бесконечного

радиуса в левой полуплоскости. Поэтому решение интеграла мо жет быть проведено с помощью теоремы вычетов и не вызывает затруднений.

При отыскании изображения JC0(p) с успехом могут быть использованы такие теоремы преобразования Лапласа, как

теорема о линейности, о дифференцировании оригинала, о смеще нии оригинала по аргументу и т . д . В частности, изображение XjCß) может быть найдено, если известно изображение смещен ной функции х({+Т} [ / 9 ] . В этом случае имеем: •

Наконец, изображение DC CjÔ) может быть	непосредственно вы
писано из таблиц преобразования Лапласа \ßß	Л .
10

После определения JCQ(/S)						коэффициенты Фурье		ак и
находятся непосредственно по соотношению (1.5).
Пример І . І . Рассмотрим					разложение в ряд Фурье		периоди
ческой	функции	oc(t^)		, график которой показан			на рис.І.З.
l ^	^					Выражение для образующей
						функции SC0 (f)		можно
	/ \	/	\			представить в виде		суммы
'	\	/	\	/		смещенных линейных		функ-
0	т		2Т		t	ц и й :	X//>p-^Û-f)
		Рис.	1.3.				X//>p-^Û-f)
Найдем	изображение		jCa(p)		:

Применяя соотношение (1.5), получим:

Р'

Отсюда следует, что все гармоники с четными номерами К от сутствуют, т . к . в ноль обращается числитель выражения. Для нечетных гармоник имеем:

п	./	_ AR	_Л	^
Поэтому	6 - 0	и	Ci - - ~ т ^ г	I	/С = I , 3 j 5 , . . .
Раскрывая неопределенность для К - 0,					получим: Ctgs п

Следовательно,

s £ _ ûâVcosné + 1 cossat + J- cos snt +

Пример' 1.2.	Пусть X(fy	имеет форму,	показанную на
рис. 1.4 , причем	3c(Q=tft2'	при	t^T

Используя выражение {1 . 8), получим :

МР>40-

	Г		2Г
	Рис.	1.4.		-10
Поэтому				-10
Поэтому
							для	к403 л?.е
а - Л£-	•	А -	^	т
Раскрывая	неопределенность в			jC0 СрУ		при р -	О
получим		а0	= ІДТ .
		а0	= ІДТ .
Пример 1.3.		График периодической				функции х(і~)		пока
зан на рис. 1.5.
						Функция	Зг^У)		имеет
	т					симметрию Ш рода,			поэ
	т					тому воспользуемся			фор
	г					мулой t (1.7). Так как
•в	Рис. 1.5.
	Рис. 1.5.
найдем JC (р)		=Д	—~~—'	и,	следовательно,
			Р
			_ . 4£			і_	К = 0,1,2,.
12			J	ZT	2К+ /		К = 0,1,2,.
12			J	ZT	2К+ /

Поэтому

ОС (О = ~ СSenn t + ^ jinâQ t + £ Sin 5Я. t Л .

§ 1.2. Преобразование периодического сигнала линейной стационарной цепью

Под линейной стационарной цепью будем понимать такую ди намическую цепь, поведение которой описывается линейным диф ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Олисание такой цепи может быть выполнено также с помощью пере

даточной функции.
, Пусть периодический сигнал x(é")	произвольной формы

воздействует на динамическую цепь, характеризуемую передаточ

ной функцией			WCp)	(рис.	1.6). Будем считать, что			Wfp)
					не	имеет полюсов на мни-
Х(р)	I	— I "Y(p)			м о й	о с и и в	прев0 0	полу-
	' WV/O)				плоскости, т . е . анализи
					руемая' цепь		является
		Рис. 1.6,			устойчивой. Задача			иссле
дования заключается в определении изменений формы сигнала
Х$)	ЩРи прохождении через цепь					, т . е . в расчете
установившейся			реакции	уС^)	цепи. Изображение реакции
~Y(p)	можно сразу получить в				виде:

/ — @

Вынужденное движение цепи под действием	сигнала х{?0	о п ~
ределяется полюсами изображения л Ср)	, которые сосредо-
		13

точены	в множителе				=	. Поэтому' произведение
V/^ÙXjjÙ можно рассматривать						как изображение образующей
функции	~Y^(p)				периодического		сигнала ytty		• Следователь
но! можно немедленно получить разложение в ряд Фурье сигна
ла уС^)			• е	с л и	воспользоваться		соотношением (1.5):
и({)	=	Цг		+			+ 6к ШпкПІ^		(І.ІО)
a-jb*2cK'£w(/xtyX//xà)							>		1.2.3....
Если входной			сигнал имеет симметрию Ш рода,					т . е .	x(ê +	-
= -SC	ft)	,	коэффициенты Фурьіе для				разложения	в ряд реакции
yfl^	можно получить с помощью соотношения							(1.6):


0K'jbK	= фЩ-К^)Х0С/^				.	К = 1 , 3 , 5 , . . .
Формулы		(1.10) и ( I . I I )	являются вариантами				обычного
соотношения^		• связывающими	спектры	входного		и выходного		сиг
налов линейной цепи. Из них следует,				что	расчет коэффициен
тов Фурье не		зависит от вида	передаточной		функции		Ѵ/Ср)
Как правило,		передаточная функция линейной цеди является						ра

циональной функцией. Однако расчет коэффициентов может быть проведен этим способом и для цепей, описываемых трансцендент

ными передаточными функциями;и	функциями, имеющими целую
часть.
Используя разложение	в РЯД Фурье, можно обыч

ным способом построить реакцию системы во времени. При этом, 14

естественно, нужно учитывать, что ряд определяет функцию од нозначно только в интервалах, где она непрерывна. Если функ ция у'(С) имеет в точке { =-Я? разрыв I рода, ряд Фурье определяет ее значение в этой точке равным

у&) = y / у (т- о) + у(т+(Ь].

Можно сразу

указать

условия,

при которых установившаяся

реак

ция

системы

y(fy

будет

непрерывной функцией. Если

эс(£)

имеет разрывы

только I рода (практически

это означает,

что

в составе

эс(і}

нет

S"- функций),

передаточная

функция

системы

рациональна:

V f ë )

zw'

Г.

<I.I2>

ZfcpL

- .

разрывы

y{{y

будут

отсутствовать при

П ^

rn+

Если

=/77

при наличии разрывов у

Х.(е}

выходном

сигнале

также

будут

разрывы I

рода.

Таким образом,

применение образующей функции и ее изоб

ражения позволяет произвести гармонический анализ линейной

стационарной

цепи с

помощью только

алгебраических операций.

С помощью образующей функции можно также решить

задачу

определения

реакции

у(t)<>

системы на

периодический

сиг

нал в замкнутой форме. Эта возможность опирается на струк турное представление периодического сигнала (рис. І . І ) и ис пользует, по существу, методы теории импульсных систем. В основе лежит следующее рассуждение. Если периодический сиг нал подвергнуть импульсной модуляции с периодом, равным

периоду 7* . на выходе модулятора образуется последователь ность 8" - функций, площадь которых одинакова и равна зна чению рассматриваемого сигнала в моменты квантования. Обра тимся к схеме, показанной на рис. 1.7.

Y "(pi

	S						SM
	S/Pi		Рис. 1.7.				SM
			Рис. 1.7.
Она Показывает структурно процесс образования периоди
ческого	сигнала		н а	выходе стационарной цепи				и его
квантование. Будем		считать,		что	VJ(p)	определяется в			соот
ветствии	о формулой	(1.12)		и	П &	/	• Это	ограниче
ние не является существенным, поскольку, если Ѵ/(р)									имеет
порядок	числителя	m	больше		порядка	знаменателя		П	, у

нее всегда можно выделить целую часть, для которой расчет

преобразования периодического сигнала	не представляет зат
руднений. Если же ограничить класс рассматриваемых цепей
классом физически реализуемых цепей (	П ^	гп ) ,	передаточ
ную функцию всегда можно представить	в виде :
			(І.ІЗ)
причем для Ѵ/(р) выполняется условие		П^/Щ-/
Найдем изображение импульсно-модулированного			сигнала

Для этого можно воспользоваться формулой свертки в комплек сной области [ 7 "] :

Подставляя сюда значение ~YCp)	, получим:
С Ѵ/ ое

Интегрирование вдоль линии от C-j'oo до С'у'оо при сделанном выше предположении о форме передаточной функции Wtp) эквивалентно интегрированию в положительном направле нии вдоль замкнутого контура, образованного этой линией и

полуокружностью бесконечного		радиуса в левой полуплоскости.
Поэтому, переходя к	интегралу по этому контуру и решая его
по теореме' вычетов,	получим:

		/	/	0 0
-	j	- ^	r w	ZL	x.Mw&ù,		das)
где . Xx	- j	^~V	-	полюсы	подынтегральной функции в ле
вой -полуплоскости. Здесь не учтены						полюсы, передаточной функ
ции, так как рассматривается только установившаяся реакция
линейной	системы.
Выражение (1.15) представляет собой изображение перио
дической последовательности					8'-	функций, площадь	которых
одинакова	и равна		бесконечной		сумме	^^^„hl^k^JL/^^^,
г Ъж. Гбіг..						Гс"-- п': -*':"~л 17 I
						j :мблі:е ro-.rt	С

Эта сумма и характеризует значение выходного сигнала цепи в моменты его квантования:

yfrr)	- Ф £	хвм	wc*ù.	( L i e )
Это же выражение может быть получено и из				представления у ft)
рядом Фурье, если при записи его в комплексной форме поло
жить { =г)Т	• Поэтому для функций, представляемых ря
дами Фурье, сумма ( I . I 6 )		всегда	сходится и имеет конечное
значение. Сумма	( I . I 6 ) может быть получена			в замкнутой форме

следующим образом. Ее можно рассматривать как результат реше ния интеграла

		ч
J®	/ /Ljsr-zà)ш)ыл	•	( І Д 7 )

в левой полуплоскости по полюсам Я = -/ —К , К = 0,1,2,.. Полное значение интеграла JCp) , вычисленное в левой полу плоскости по всем полюсам, равно:

где	-	полюсы передаточной функции Ъ/ф)		=	»
		которые	приняты здесь простыми.
Интеграл		( І . І 7 )	может быть решен также в	правой	полу
плоскости,	если там дополнить прямую интегрирования				полуок

ружностью бесконечного радиуса. Так как подынтегральная функ ция в правой полуплоскости аналитична (рассматриваются толь

ко устойчивые цепи), получим, что 3(р)	- О
18

Учитывая этот результат, из ( I . I 8 ) найдем:

и, следовательно,

Таким образом, если

известны

полюсы передаточной

функ

ции цепи, получить значение установившейся реакции

на заданный

периодический

сигнал

-2Г^ѴЗ'

в момента времени

t*nT

, т . е . в

начале

каждого

периода,

можно

достаточно

просто.

Рассмотрим способ отыскания значений у{{)

в любой

точке интервала [ О, Т ]

. Определение значений у(пТ+А7^

уС& 7*) может быть выполнено, если производить импульсную

модуляцию функции

у (

смещением на

, 0<

Л<

Однако непосредственно применить изложенную методику для

определения

^С^^)

замкнутой

форме становится трудно,

так как у подынтегральной функции выражения, подобного

(I.17)

появляются особенности на беоконѳчяости. Это затрудняет ре

шение интеграла,

подобного

J(p)

Чтобы избежать осложнений при определении

нужно сохранить синфазность работы модуляторов,

показанных

на рис. 1.7.

Это можно выполнить,

если ввести в

рассмотрение

новую образующую функцию ОС0(tt S)

» зависящую от

рассмат

риваемого

момента

&Т"

. Сказанное

поясняется

рис.

1.8, где

новая образующая

ОС0({}

заштрихована. Другими

словами,

осуществляется переход к новому периодическому

сигналу,

<<< < Предыдущая 12 / 202 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ