Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

пунктиром. Прибавим ко второй строчке							Д£	третью,			умножен
ную на 5,966,			а к пятой		- четвертую,		умноженную на -1,164:
		I		0		1,2733		0		1
		I		0		1,2733		0		і	о
										і	о
		0		I		5,966		0			4,0304
0,0826				0		I	-0,0551				0,6571
		0		-0,1944		-0,0835		I			0
		0		0,3933		0	-1,164				I
						,s
Складывая третий столбец с первым, умноженным на -1,2733,
считывая, что алгебраическое дополнение								tf3f	= 0,		получим:
		I		0		0		0			0
		0		I		5,966		0			,4,0304
		0		0	1	0,0895	-0,0551				0,6571
		0				0,0895	-0,0551				0,6571

		0		-0,1944		-0,0835		I			0
	'	0		0,3933		0	-1,164				I
Далее последовательно можно выполнить следующие преобра
зования:
-	умножить 3-ю строчку на. 0,933 и сложить								с	четвертой;
-	умножить 4-й столбец на'0,262,						5-й -	на 0,0883 и сло
жить	с	первым;
-	умножить 4-ю строку на 0,0581 и сложить с 3-ей.
Учитывая,			что алгебраические дополнения (7^							- 0 и
Д -	0,	получим		Д.	в форме:

I	0	0		0	0
		0
0	0,6441	5,'966	L	0 '	0	"
			L	0 '
0	-0,0725	0,0895		0	0
0	0	0		0,9486	0,6131
0	0	0	-1,164		I

т.е. 4 =4/4,.Л,, . где

4 , - 1 .

0,6441	$966
•00125	•=O490i • Д		-	-//M	f,o
•00125	Opê9$\			-//M	f,o
Подставляя в определиель			ùà	столбец 7 = С/0) }/>4^ji>
получим определители Да.		я		:
= А08^Г'		*°	-	*9іб	$ 4 4
4 > , =	4 4 /

Теперь можно рассчитать гармоники установившейся реакции замкнутой системы на периодическое входное воздействие. Напом ним, что ^7 и .. ,<£ - коэффициенты разложения в ряд Фурье эквивалентного входного сигнала

При заданном входном		сигнале	можно построить график
реакции	у/?") » а	также провести	исследование влияния формы

172 ° '

Р ННГ.ТОНГЛЫ:

на форму у	(t)	.
Таким образом,	расчет установившейся реакции замкнутой

системы с периодическим коэффициентом передачи не отличается принципиально от расчета реакции стационарной системы. При заданных конкретно параметрах системы трудоемкость расчета увеличивается незначительно по сравнению с расчетом стационар ной системы. Единственной дополнительной операцией является

преобразование определителя Д	к виду (4.15), соответствую-
щему определителю стационарной	системы.

§ 4.4. Анализ системы с несколькими периодическими коэффициентами

Типичным представителем таких систем является автоматическая система с амплитудной модуляцией. В общем случае она имеет следующее структурное прэдетавление (рис. 4.7)

X а W/P) X /

ОЧС

Рис. 4.7.

На рисунке пунктиром выделена особая часть системы (ОЧС),

включающая модулятор	с несущей	к, (О	, линейную динами
ческую цепь WA (р)	и демодулятор с		опорной Кг (£)	. Ха

рактерным является равенство частоты несущего и опорного сиг7 налов. Поэтому такие системы называются также системами с син хронными множительными устройствами.

Теория систем с амплитудной модуляцией >•:/.<

разработана достаточно подробно и нашла соответствующее отра жение в технической литературе \_ff /3~\. Наша задача заклю чается в определении возможности структурного преобразования системы этого типа для приведения ее к основной схеме с одним периодическим элементом.

В общем случае ОЧС системы в области изображений описы вается следующей системой уравнений:

(4.22)

Исключая промежуточные переменные, получим выражение для

изображения выходного сигнала

ß+Jо» си*/оо

Оба интеграла выражения (4.23) являются абсолютно сходящимися по определению. Поэтому можно изменить порядок интегрирования и преобразовать формулу (4.23) к виду:

^	^УЛ5^	J	^ ^ ^ -	^ ^ -	V ) ^ ö 6 l . (4.24)
	Так как $ft)	есть	входной	сигнал	на ОЧС, дальнейшей

задачей является преобразование внутреннего интеграла выраже

ния (4.24). Если удастся привести его к виду J(p-£)		, то
в целом выражение для Р(р)	будет сверткой и будет найден
эквивалентный периодический коэффициент, замещающий ОЧС.
Внутренний интеграл есть	свертка изображений двух	перио-

174

днческюс функций: . При задан ных конкретно функциях он может быть решен в замкнутой форме. Если рассматриваются установившиеся движения системы, полюсы Іл/^у) не должны учитываться при решении. Способы решения таких интегралов рассматривались в § 1.3. В данном случае, учитывая синхронную работу модулятора и демодулятора, часто ты изменения функций /Г ^О и Кг (і^) равны.

Переходя к изображениям образующих, запишем внутренний интеграл в виде:

Интеграл Зф^^) может быть решен в левой или правой полуплоскости. Выбор той или иной полуплоскости полностью зависит от формы Kf (t) и Kz 60 • Напомним, что если хотя бы одна из функций имеет изображение образующей, которое представляется в виде:

т . е . если хотя бы одна	из функций является гладкой на периоде,
. решение целесообразно	вести по полюсам другой функции. В этом

случае, вводя вспомогательный интеграл, можно получить резуль тат для Уф_,Л) в замкнутой форме, решая его по полюсам функций Ко1 (р)

'Различные варианты решений обсуждались в § 1.3. Поэтому, учитывая введенные там ограничения, можно утверждать, что для функций, используемых на практике в качестве несущей и опор ной , решение может быть получено в с е г д а . . . *

175

Перейдем непосредственно к рассмотрению примеров, чтобы конкретно определить возможности эквивалентного структурного

преобразования системы, показанной	на рис. 4.7. Остановимся
вначале на широко известном случае,	когда К (/)- ^і/7&^	,
В этом случае

Подставляя изображения образующих в (4.25), получим:

J p-jx

Решая yfpjX) хотя бы в левой полуплоскости, получим:

Для дальнейших преобразований введем обозначения:

Тогда

j/o І\ - t J & 'АЯФ-Ъ S"<P& <bif-jSiSif><Pj[<}0'$>jêS
J21	Cp-*)[(p-xf+4tf]
_ (#_ +jjS)[(p-£) totf+Sl		CoS</> *JS2SÙ7(fiJl(p-X) -J2Q.J 1
Целью преобразований	полученного выражения является			выделение
в нем функций аргументов		Л	либо (р-^) • , чтобы свести фор
мулу„(4.24) к свертке. Выделяя			в выражении для30,2)	вещест-
язднув и мнимую часть	и складывая оба слагаемых, после некото-
176

рых преобразований получим:

где


ß(p.j\	- 2Qftp-$Stn?+Q cosçpj- яф-л) sin cp				У	(4.28)
Выражения.^Д-<Р) V'ft-X)7 и j£ffy+X)					yfc+*0J
есть функции агрумента		X	. Поэтому на основании		формул
(4.27)	и (4.28) ОЧС исходной		системы может быть	заменена		эк
вивалентным структурным		представлением (рис. 4.		8).

ê(t)

AWD) X

Рис. 4.8.

На рис. 4.8 введены следующие, обозначения:

Wj(p) и VSjjCp) - передаточные функции эквивалентных дина мических цепей

ЦФ) "jriHtp+j^		- КО-])}л		( 4 . 2 9 ) .
				( 4 . 2 9 ) .
Ц,Ф) = { {	+	^ф-уа)] .
Эквивалентные	периодические коэффициенты		К7(і)	и ^('0
есть оригиналы соответственно функций			ъ ,ô(fi)	. Чтобы
12 Зак. 161р.				177

определить форму Kj(t) и Лі fé~) , достаточно найти коэффициенты Фурье разложения их в ряд. Выполнив эту опера цию над изображениями Afp) и &(р) , получим:

K-Jt)=lco^-

^cos(Snt*$.

( 4 ' 3 0 )

Таким образом, эквивалентная схема представляет собой параллельное соединение двух периодических коэффициентов, от личающихся своими законами (в данном случае количественно) от заданных несущего и опорного сигналов. Если ОЧС системы без ынерционна, т . е . 1^Ср)= і , то из формулы (4.27) с учетом (4.30) получим:

Следовательно, безынерционная ОЧС приводится к одному перио

дическому коэффициенту	K^(t)	, закон изменения которого
•определяется следующим образом:		K9ft)	-
Этот вывод является совершенно очевидным.-
Схема, показанная	на рис. 4.8, не является			единственной
эквивалентной схемой ОЧС. Если решение			интеграла	(4.26) вы
полнить в правой полуплоскости,		получим:

- ejfk(ф*/&>	/- --;r	7 (4.31)
л	••'D-AYO-À* ••2*î)

178

Обо значив W/p-jà) =flp_-+j Угп_ ; Ц(р ул ) = Рв^ -f-j^ •после преобразований получим выражение для УСр,Х^ в виде:

J(p,i) ~jL[(pe_-R^+j(Jm_-Jmt)]C(p->). -

- jL[(Jm_+Jm^-j(te+f?Q^]l)(p-£) , (4.32)

где

С ( Р } = ' (Р-ЪГ(Р-^+^]~

По изображениям		G(p)	и	2)ф)	можно найти коэффициен
ты Фурье оригиналов		и таким образом определить эквивалентные
периодические коэффициенты,			замещающие ОЧС. Так как функции
h£/p-/&)	н ѳ зависят от Л		и могут быть вынесены за знак
интеграла	(4.25), эквивалентная			схема ОЧС принимает следующий
вид (рис	4.9)

Рис. 4.9,

На рис, 4.9 введены обозначения:

K/}(t) =£f{D(p)] = posef - ^софаЫф^

12*	179

Щ. (р) и Wt- Ср)	- передаточные функции эквивалентных
динамических цепей:

Цу Cj-si) - - j { д / (p'f4) / w(p-jsî)j ,

( 4 , 3 3

Если, как принято обычно, считать, что гармоники часто ты PQ и выше пренебрежимо малы в замкнутом контуре, схемы рис. 4.8 и 4.9 приводятся к одинаковой стационарной цепи, передающие свойства которой характеризуются следущей пере даточной функцией:

+]^{Ц(р<;^-У/Р'/я)]*спу,		( 4 , 3 4 )
Таким образом, особая часть системы	с амплитудной	моду
ляцией в данном случае эквивалентна двум	параллельным	ветвям
с периодическими коэффициентами передачи,	в состав которых

входят динамические цепи, свойства которых определяются фор мулами (4.29) или (4.33). Наличие двух параллельных ветвей затрудняет исследование, однако не приводит к принципиальным

особенностям.	Поэтому далее	можно решить задачу собственных
и вынужденных	периодических	движений системы. Следует заме

тить , что в проведенных рассуждениях форма процесса не ого варивалась. Поэтому полученные эквивалентные схемы могут быть(использованы для изучения процессов системы при воздей ствии произвольных сигналов.

Рассмотрим методику эквивалентного преобразования ОЧС

системы, если в ней применяются модулятор и демодулятор ком160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ