Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

упрощение расчета может быть достигнуто правильным выбором на

чала	отсчета. Целесообразно		момент	времени	1=0	опреде
лять так, чтобы периодический коэффициент					был, если
это возможно,		симметричным. В этом		случае коэффициенты Фурье
Оі- либо J2>;		становятся равными нулю и исходное				выражение
получается проще. Если коэффициент				к(£)	постоянен, т . е .
к(£)	= ^р-0 ,	определитель	Ап	для расчета периодического
движения стационарной системы принимает следующий вид:

	т '	о	\	0	: °	:	°
			\ *А ?		: °	:	°
о			\ *А ?		О	:	0
о	'Mf				О	:	0
	'Mf
О '•-M?					О		О	•(4.15)
О '•-M?								•(4.15)
О		о		о
о		о		о	- 4 4 ?
					- 4 4 ?
								>
Определитель			Ап	(4.15)	легко	приводится к форме:
где Л	* /+	W/o)#0 f			,
								сУ0
А. =	-(ß.C. f		* P-M f)			/+#Д¥ - s. Д
41						"ta		? 2
41						"ta

11 Зэк. 161D.	161

Заменяя	/ - ый столбец определителя А	столбцом
/ , получим:

А - А А -А. • • Д. • '--А Г S//+/ЭГ ~-я т\?!°\

Отсвда легко получаются значения амплитуд гармоник:

Эти выражения совпадают со значениями гармоник, получае мыми для реакции стационарной замкнутой системы, которые мож но получить обычным способом, используя частотные характерис тики.

§	4.2. Эквивалентные схемы системы для	расчета
	вынужденных колебаний
Трудоемкость расчета вынужденных колебаний замкнутой сис
темы с	периодическим коэффициентом передачи	КСО 30	многом

зависит от сложности расчета главного определителя системы А Так как его порядок выбирается в соответствии с требуемой точ

ностью расчета,	решение Д	будет тем проще, чем более
простыми будут	его элементы.	В общем случае расчет элементов

зависит от вида частотных характеристик линейных стационарных

частей У.(р)	и ЩСр)	.
162

Расчет элементов можно упростить, если рассматривать пол ные частотные характеристики системы, определяющие ее динами ческие свойства, т . е . если ввести характеристику свойств с помощью передаточной функции Последнее можно выполнить с помощью эквивалентных структурных преобразований.

Одним из	очевидных преобразований схемы является перенос
звена Щ(р)	через сумматор (рис. 4.2).

X pro H®

Рис. 4.2.

Так как преобразование сигнала у ft) стационарной цепью W/ф) можно рассчитать весьма просто, при определении вынуж денных колебаний системы можно перейти к расчету периодичес кого сигнала У'ft) • Структурно это соответствует переносу звена \\Ç(p) через узел разветвления. Эквивалентное струк турное представление показано на рис. 4.3.

xCÖ '

•

Рис. 4.3.

Благодаря такому структурному представлению при расчете сигнала у'ft) можно воспользоваться определителем (3.42). Действительно, т . к . переменный коэффициент стоит сразу за сумматором, эквивалентная цепь

1Г

Поэтому в определителе Дп вида (4.14) можно положить:

		вК9	-- Jmf		j \
причем	УСр) - Ц(р) •		Ws(p)
Соответственно		при расчете схемы нужно учесть, что рас
сматриваться должен		эквивалентный входной			сигнал	Х^СО	,
образующая которого		равна
	ХГр)-Х0(р)ЦФУ
Таким образом,		определение сигнала		у	ft)	производит
ся путем	последовательного		решения двух	уравнений.

Очевидно, что эта совокупность уравнений соответствует

уравнению (4.2).
Имея в виду простоту	указанного преобразования, будем
рассматривать в дальнейшем	схему системы, представленную на
р и с 4.4.

WC9

Рис. 4.4.

Этой схеме соответствует уравнение

(4.16)

Или уравнение для изображений образующих

Если обозначить	WQKSÎ)	= МК	*J'^K	, главный оп
ределитель системы АП	может быть		задан выражением (4.18).

Именно эта форма определителя и будет использоваться в расче тах.

Некоторого упрощения элементов определителя Дп можно достичь, если перейти к нормированной записи периодического коэффициента передачи:

смысл которой был пояснен в главе Ш.

Такой записи коэффициента	Л Ѵ^) соответствует структур
ное предотавление, показанное на рис. 4.5.
X	1
ocCt)

Рис. 4.5.

Подставляя изображение коэффициента

в уравнение (4.16),	получим:
2*1. •	165

•s Сусо

t+ :

"Л

' 1 2

лі г

"l 2

' â	2
4ß?		. "g à		.	г	2
H i *		: Ъ	г	.' 'г		г
-4Î		•' 'i	г.	:	г	г
H	?	, i	2		"ь

'h г

M-CLJL

. h*?

		у	2	. ' V г	:
г г		:
• ' / V	":
/ ' г	г .
'-//	г - ' г г			- г г ;
• г	г - ' г г			- г г ;
; 3	г
lMJb+		"*	& 'К ¥		:
• 1 's	2	"*	2	•
7 л	2	Ni	T	• M	S3:
				• ь 2	•

J. » 2

или после	элементарных	преобразований
УФ) *	<Рф)^/т)деф-^с/х			= <РфЖФ),
* ф ^ / т ^ Ф			' ^	>	(4.19)
Если коэффициент		КС?) не содержит' периодической
составляющей, т . е .			,	уравнение	(4.19) при
водится к уравнению стационарной			системы:

Уф)* <Рф)Хф)-

Если у периодического коэффициента передачи отсутствует постоянная составляющая, т . е . К = 0, то вынужденные коле бания описываются уравнением:

y@+m&/№Kfà°h	=j^ßwH°b,	(4.20)
где Кпф-£) - изображение периодического коэффициента.
Упрощения расчета амплитуд гармоник сигнала		у ft) мож

но добиться за счет уменьшения трудоемкости расчета 'определи


телей	Д^.	и	Д^І	• Здесь многое зависит от формы внешнего
сигнала	Э-ft)		. Чем меньше гармоник в составе спектра		xft),
тем легче оказывается расчет определителей.
В ряде		случаев .к упрощению спектрального состава входно

го сигнала	приводит перенос множительного	звена через сумматор
(рис. 4.6)	. Эквивалетный входной сигнал	Q

при определенных соотношениях -Xft)					и	К	ft)	оказывает
ся проще исходного		сигнала x(t)		.
Выше все рассмотрение проводилось для случая, когда перио
ды сигнала	3-ft)	и коэффициента			_f?(t)		одинаковы. Од
нако методика может быть применена,					если период			7* сигнала
связан с периодом		Ѳ	коэффициента		кратные		соотношением:
. Это вытекает из основного свойства периодических
функций.
§ 4.3.	Вынужденные		колебания	системы		с	коммути
	руемым коэффициентом				передачи

Рассмотрим порядок и особенности расчета вынужденных ко лебаний замкнутой системы, выбрав для определенности конкрет

ную форму периодического					коэффициента. Так как форма коэффи
циента	К	ft)	влияет		лишь на		числовые		значения	элементов
определителей, опыт расчета и полученные рекомендации будут
носить	общий	характер.
Пусть		/eft)		системы,		показанной			на рис. 4.4,		изме
няется по закону прямоугольной волны (рис. 3.6).										Зададимся
значениями:		/С	= 1,5		;		= -	0,5.	Переходя	к нормиро
ванному	коэффициенту,			получим:
к®-. [<+(*)]>					^ *(t>\-W				-	к.'5.'»''
Будем также		считать,		что	Т=	^	*	/ сек.
Форма передаточной					функции		Уф)-		стационарной		части
системы	не влияет		на	сложность			расчета,		т . к . в формулы		входят

. значения частотных характеристик на фиксированных частотах 168

Я ,t?Q ,3Q , . . . , расчет которых не представляет труда.

Поэтому возьмем

т . е .	продолжим рассмотрение примера § 3.6.
	При выбранных характеристиках составим исходные данные
для	расчета определителя Ап	. Положив в основу формулу

(4.19), найдем частотные характеристики замкнутой стационар ной системы

откуда

и	,	следовательно
М0*	I , / ^ =		0,1297,	Мг= 0,1967,		Л £ = 0,1186, Мн= 0,0724,..
		M = -0,7741,		/ / = -0,229,		V	= -0,0732,//= -0,0313,.
i	f			С		О	*г
		Разложение симметричного периодического сигнала 9б(f), -
=К •		ряд Фурье при			Км= I	дает следующие коэффициен
ты:
ак=		0,	^ = 1,2733,		0,4244,		= 0,2546^0,= 0,1819,.
		Подставляя полученные			значения		частотных характеристик
М. я		и значения			в определитель (4.18), получим:

169

I	0	1,2733	0	0		ii	0	0,4244
-0,4928	I	0	0,3286	0,1101		I;	0	0
0,0826	0	I	1-0,0551.	0,6571		І	0	0
0	-0,1944	-0,0835	I	о		il		0,1503
0	-0,1944	-0,0835	I	о		! 0ДІ66		0,1503
0	0,1670	-0,0972	0	I	! -0,0423			0,175
-0,0155	0	0	-0,0559	-0,0604			I	«0
								«0
0,0252	0	0	0,0906	-0,0373			0	I
Чтобы рассчитать полученный числовой определитель, вы
полним его преобразование. Простота расчета вынужденных коле
баний стационарной системы, рассмотренного в § 4 . 1, подсказы
вает, что, по-видимому, желаемой формой определителя являет
ся форма,	задаваемая выражением (4.15). В этом случае							расчет
гармоник	реакции замкнутой		системы выполняется так же, как
и для стационарной		системы: все определители: Лп					, о^. и ^ ,		-
могут быть представлены в виде произведений элементарных on-									\
ределителей, показывающих преобразование					К - ой гармоники
сигнала.
В алгебре доказано, что поставленная					задача		всегда мо
жет быть	решена на основе свойств определителей,						причем ос
новное значение здесь имеет			следующее свойство:				определитель

не	меняется,	если к одней из его строк (столбцов) прибавляет
ся	любая линейная комбинация других строк (столбцов)[ / 4 ] .
	Приведем	определитель Ап	к желаемой форме, ограни

чившись в рассмотрении для простоты первыми двумя гармоника

ми ( / 7 = 2 ) . Определитель	выделен в выражении (4.21)
170

/•

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ