книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

ЕСр)-ХСрУ-У(р) t

гср) -

Ч(р\№>

J С

(4.1)

**tc-jу-'оо

Уф) - ЦФ) UOÙ

(4.2)

г д е / » Ц(р)^сХЦ&)Х&)Кф-Х)А-

известная

функ­

ция при заданном входном

сигнале

х(£)

и известных динами^-

ческих характеристиках системы.

Возможности упрощения интегральных уравнений вида

(4.2)

для случая

периодического

коэффициента передачи к СО

был*

рассмотрены

в § 1.3, где

изучался

вопрос

о периодических рет

сигнала

зс(е)

и коэффициента

Ar (t*)

, уравнение цепи -мо­

жет быть преобразовано из интегрального в уравнение боле*

простого

типа.

Используя полученный опыт, остановимся вначале на одном

наиболее

характерном

случае, когда периоды функций x(t)

и

К (à)

одинаковы,

т . еі будем

считать,

что

УФ) +

да^/ѴФК^

Решение уравнения

(4.3) дает возможность определить пол­

иную реакцию системы

на

периодическое воздействие

при

входного

сигнала x(t)

.

Поэтому ff(£)~ У@ ±/?Т)

,

Уф)~ у — X ' ( f i )

и

и з уравнения (4.3)

можно сразу

получить

уравнение для

образующих периодических

сигналов

где

- изображение образующей

эквивалентного

входного периодического

сигнала

кам. Поэтому применим методику, описанную в § 3.4.

для решения

уравнения

(4.4). Будем искать изображение

Y(p)

в виде:

у

® , Ä

, f

*f+4<*

.

(4.5)

Подставим

У(р)

в уравнение (4.4),

Решим входящий

в уравнение (4.6) интеграл с помощью вычетов

в левой полуплоскости. Так как

рассматривается вынужденное

движение,

учитываться

должны только

полюсы функции Y(p) •

P*îf'£Q

.

I -

О, I , 2,

. . .

В результате получим:

Y/P) + Ц$)Ч®КФт

* ЦФ)ЕНС<ЩФуЩЩ^6- \

уравнение

(4.7) на

-~

и подртавим

p*jK&

. Тем

самым получим связь

между

коэффициентами Фурье

Q. и

6/

искомого

установившегося

процесса у'(?)

. Для

К -

ой

гармоники

уравнение

связи

имеет вид:

т

оо

£М//*$ЕиО<Щ**У'^

« (4.8)

В уравнении (4.8) z^/^^/cS2) = -jo*

- коэффи­

К0 Q*st *;<а) = Р>ен (к) +jJmH

,

Учтем также, что -~^o(jKSt) = ОС^

>

где

ческого коэффициента передачи

^ft)

вещественных уравнения для

К - о& гармоники:

^ / ^ / ^ > ^ ^ 7 - ^ / > * > > ^ ^ 4

- 4 .

(4.10)

Выясним

значения функции ReC*) и Jm^x)

, входя-

щих" в состав

уравнений (4

.9) и (4.10). Для этого

представим

выражение для

изображения

образующей K0Cß)

в виде:

При подстановке

p*jKQ

функция

(/-P~p

)

= О

Поэтому

K0(jf(Sl±j'ÎSl^

монет

быть отлична

от нуля только

при тех

значениях

к

, когда в нуль обращается ее знаме­

натель. Приравнивая знаменатель нулю, получим соотношение

между гармониками

сигнала

y(ty

и

коэффициента

К СО :

Раскрывая неопределенность на этих значениях к

,

найдем после преобразований:

' 7"-<^-іЛ-<

(«>0,

Подставляя полученные

значения в уравнения (4.9)

и

(4.10),

получим окончательные выражения, связывающие коэффициенты

Фурье входного воздействия

(

/ *

и

^

) с

коэффициента­

ми Фурье установившейся.реакции

системы (

CL.

и 6(>

)

и

периодического коэффициента

системы (

Ос^

и

J&£

):

речь высшими гармониками сигналов,

считая

их малыми, можно

прийти к системе конечного порядка

2/7 +

/

, где

П -

циента передачи

f<(t)

и сигнала

?(t)

Дальнейший

расчет

амплитуд гармоник

производится обыч­

уравнений

[

/ 4

] .

Запишем эту сиотему в матричной

форме:

MQ

=

I ,

.

(4.13)

где А /

- квадратная матрица

(£/7 *

/ )

-

го

порядка,

составленная

из

коэффициентов гармоник;

Q

-

столбец из

неизвестных

амплитуд гармоник;

J

- столбец

из

амплитуд

гармоник

эквивалентного

входного

периодического

сигнала J

ff)

Q

Q =

I =

•

£7

Неизвестные

Q:

и

2.

определяются как

отношение

опреде-

лителей

Д ,

и

Л

и главного

определителя

системы

А

:

a.

Лa.;

6.-

&

1

лп

158

причем

Ла.

получается из главного определителя заменой

2L

-

го

столбца, а

-

заменой

£і+

1

-

го

столбца

столбцом I .

Ниже в качестве примера приведен общий вид определителя

Дг

при учете

двух первых гармоник спектра выходного сигнала

(выражение (4.14). Так как закон

образования элементов

оп­

ределителя

Аг

понятен, он

без

труда может быть расширен до

определителя

à n

любого

порядка. Если

Щ(р)= /

,

т . е .

G =1,

D

= 0, определитель

(4.14) совпадет

по форме

с

определителем

(3.42).

г

Таким образом, расчет вынужденного движения замкнутой

системы, показанной на рис. 4 . 1, не вызывает принципиальных

затруднений. Несмотря

на кажущуюся громоздкость,

нахождение

определителя

Д ,

производится достаточно просто, при за­

данных динамических

свойствах системы

ЩСр)

и

Ws

fä)

и входном сигнале

PC С fi • Естественно, что

увеличение

точ­

ности расчета, т . е . учет большего числа гармоник сигналаy(Ô

приводит-к увеличению трудоемкости расчета определителей. Од­

нако,

поскольку

все

они являются числовыми, при их решении

могут быть использованы все правила преобразования определи­

телей

[ 14

]

.Нужно отметить, что

в данном случае,

посколь­

ку частота

Q

искомого периодического процесса

известна,

приступая к расчету, можно более обоснованно выбрать целесо­

образное число

п

учитываемых в процессе J/cfi

гармоник.

Рассчитывая

значения

0/}

А

О

Л

,

частотных характеристик rrr,

°к

> Ч* >

можно отчетливо представить-фильтрующие свойства системы и

на основании этого определить номер, начиная с.которого

высшие гармоники можно считать пренебрежимо малыми.

Как следует

из

выражения (4.14)

для определителя

А .

I

159

I

\ MA

-*А

т ;