Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

составляющей (первая строка определителя Дп ):

получим: 4 = " О.6974.

Подставляя известные данные в уравнение для синусной составляющей первой гармоники (третья строка):

получим Ог = Ot22f£ / 6е

Из уравнения для косинусной составляющей первой гармо ники (вторая строка) определим:

	Подставляя полученные соотношения в уравнения для вто
рой	гармоники	(четвертая или пятая строка), получим:						Ь& =
=0,1579.
	Рассчитывая остальные коэффициенты, найдем выражение
для	У СО	в виде:
УСе) = 0,5 + 0,4/44'сол t - 0,69?4sint						•>•
		+ 03?Ç?cos2t		+ Ot/5?âSinêt .
	График	процесса у СО C°é£~			показан	на рис . 3 . II .
Там же в условном масштабе показан график коэффициента								пере
дачи	системы
		КСО = Кь*Кт		t	* 2 + 2,S68	Scot.
	Полученная кривая для			У СО	практически		совпадает
с экспериментальным			графиком.
	Рассмотренная		методика	расчета	периодического		режима
								Ш

опиралась на предположение о том, что		период		т	сигнала
	у'ft)	равен	периоду			измене
	ния Ѳ	коэффициента				se	ft)
	анализируемой			системы. Однако
	она может быть дословно рас
	пространена		на	случаи, когда
	Т = <э Ѳ			, т . е . когда
	периоды рассматриваемых						функ
	ций находятся в кратном отно
	шении. Действительно,					коэффи
	циент ae(t)		=	-фй- si/? vt
	системы, V -ѳ~Ко				всегда
	можно рассматривать				как перио
	дическую функцию с частотой
	52 = ~r I разложение					которой
Рис.3.II	в тригонометрический					ряд со-
держит только Ѳ = Q-fa	гармонику:

Sin 2Жл _ Ко Sc

Поэтому расчет условий существования периодического режима ,в данном случае может быть выполнен с использованием того же

самого определителя

(3.42).

Составим в качестве примера условие существования в

системе периодического режима, имеющего период в 2							раза боль
ший периода	коэффициента:		Т-2Ѳ		• Ограничимся учетом двух
первых гармоник		в процессе	у	ft)	» т . е . положим		/7 = 2.
Учитывая, что в разложении			äfft)		отличен от	нуля	только
коэффициент	рг	, используя		определитель		Ап	(3.42),

получим для данного случая Д в виде:

/,.

Іг,

•

P. u .

iß

h'io.

•

Ір

Структура определителя

Ла такова,

что он может быть

заменен

системой

из двух определителей:

л.

(3.48)

4 -

а г

Из

соотношения (3.48)

следует,

что периодический

режим бу-

дет существовать в системе, если Лг=

, Д£ = О

или они

равны нулю одновременно.

Перечисленные режимы будут отличаться своей формой. Если

д'-О

в системе

будет

существовать

режим

симметричных нечет

ных колебаний (

Ûf0 - Ог

= 6г

= О

) . Если

нулю равен

Де

а Дг

отличен

от нуля,

системе

создаются условия

сущест-

вования

четных колебаний

(

af = 6f

= О

) . Если же 4, = Л£ -

периодический	процесс у ft)	содержит все гармоники, т . е .
несимметричен	на периоде.
Раскрывая	определители	Д	и / \ '	получим указанные
условия:
				(3.49)

		"о			CA'-о)				(3.50)

Рассчитаем конкретно форму			кривой		^m'JC^a) > для
периодического режима, выбрав для исследования							систему с уже
рассматривавшейся передаточной функцией (3.46). Снова будем
считать,	что частота изменения		коэффициента равна					/	.
В данном	случае, по отношению к		частоте		процесса,			она являет
ся двойной.
\		A " J /		Воспользовавшись соот
				ношением (3.49), полу
				чим кривую АГт =у„						frj)
				для		нечетного			симмет
				ричного			процесса (кри-
				вая I на рис.3.12).
				Кривая			Кт		-/Ч(К)
		^	^	для четного				симметрич-
		гис. о.1,6.		ш г	0	продела			(кривая	2
рис. 3.12),		рассчитываемая по соотношению				(3.50),		есть не что
иное, как кривая первого' приближения				процесса			с частотой
= / —fp • Это ясно, если вспомнить,					что четный				периодичес
кий процесс		есть ^несимметричный	процесс		двойной частоты.
124									'

Следовательно, определитель Ла в данном случае позволил найти лишь первые приближения симметричных периодических процессов, исследуемых в замкнутой системе. Подобным же обра зом можно получить результаты при более точном учете формы искомого сигнала и(£) , а также при других соотношениях

§ 3.6. Анализ собственных колебаний системы с коммутируемым коэффициентом передачи

Под коммутируемым коэффициентом будем понимать периоди ческий коэффициент, форма которого показана на рис.З.б, стр.103.

Исследование системы с таким периодическим	коэффициентом
интересно по двум причинам. Во-первых, в данном	случае сущест
венным является удельный вес высших гармоник в	разложении К (О

в ряд Фурье. Поэтому коммутируемый коэффициент может рассмат

риваться	как некоторый предельный случай изменения	реальных
.	Во-вторых, форма коэффициента означает, что	в системе

происходит мгновенное переключение знака обратной связи через полупериод. Внутри каждого полупериода система описывается ли нейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициента ми. Это позволяет произвести точный расчет системы, например, У методом припасовывания и таким образом выполнить проверку точ ности полученных результатов анализа.

Задача анализа, как и прежде*, заключается в определении условий, при которых.в системе возникают собственные периоди

ческие движения. Физически ясно,		что такие	движения могут
появиться даже в системе	первого	порядка,	так	как смена знака
и величины обратной связи	означает чередование			устойчивого и

неустойчивого		движения	системы.
	Рассмотрим расчет периодического движения системы с по
мощью общей методики,			сформулированной в § 3.4. Чтобы исклю
чить постоянную составляющую, коэффициент передачи К (£)				мож
но представить в виде:
	K(t)=K0		* кт sign(sùmi),	( 3 j 5 I )
где	к	=	,

0â

Вформуле (3.51) знаки коэффициентов Kf и К£ положи тельны, если обратная связь отрицательна. Нормированный коэф фициент 3Z(£) в Данном случае получим в виде:

se(é) *

sign (sin

sit))

поэтому изображение его образующей равно

а- е+*)

Найдем коэффициенты ОСк и ß>^ разложения в ряд функ-

отсюда следует, что ОС# =у6^, -О при К = 0,2,4, ...

СУ -/А	= -/	4 L
		/
л	= ± Кц	(_

126 /*г** / Ж К0 2K+f '

Обозначим Zip .2. • Тогда

Подставляя значения		в определитель		(3.42), полу
чим:
0	О	О	О	•
/	О M		о	о •
				*

к		/	• - к	-Iхо,		о
О	•3			О	-	п
	•3				-	п
0 3			о	/
	0	О	S U3			/
	О	О		5 WA		О
;

:Н

:о .

С помощью определителя (3.53),		задаваясь различным	числом П
учитываемых гармоник в процессе		» получим разные	приб
лиженные условия существования периодического режима. В част
ности	имеем:		127
-	первое приближение '

-второе приближение

-третье приближение

. л д£ + &£ + с л ' =о,

(3.56)

+ік£Ф?*СШ№і -ärWA -&ФА

Снова приходится отметить, что увеличение числа учитывае мых гармоник в искомом процессе ^ { ^ ) существенно влияет на

форму условия существования периодического процесса А - О •


Уже учет трех гармоник в составе					uC^j	приводит	к	выраже
нию (3.56),	анализ которого			представляет		большие трудности.
Следует иметь в виду,			что в общей постановке задачи получает
ся три переменных: частота изменения коэффициента							Q	,	его
среднее значение		/С	и величина		амплитуды периодической
составляющей	Кт	,	от которых		зависит	окончательный		резуль
тат. Даже если Q		известна		или выбрана,		получение	общих вы
водов о периодическом			режиме	затруднено		тем, что от		К	за

висят значения частотных характеристик рассматриваемой системы. 128 Приведение выражений (3.55), (3.56) к виду, удобному для проведениВразвития^рассматриваемогконкретнойпрактическогоситуациоанализа,способарасчет являетсяудобнорасчетавести,.дальнейшейопределяязадачей

кривую	Кт -JС^ь)	значений	коэффициентов, обеспечивающих
периодическое движение замкнутой			системы. Выбирая К	промежу-
			О
точным	аргументом,	можно оценить	фильтрующие свойства	системы

и более обоснованно выбрать из уравнений (3.54) - (3.56) приб лиженное условие, обеспечивающее достаточную точность.

Рассмотрим более подробно анализ периодических движений

системы с коммутируемым коэффициентом передачи на числовом при мере. Пусть W(р) - p^Z+o^p) ' ^ 0 ^ 4 ™ частотные характе

ристики замкнутой системы:

'	too Ко 3	^ ~. to к.
t J	ct+je?	oc• *J&

Рассчитаем первое приближение. Используя выражение (3.54), по лучим после преобразований:

+> ê	/00/Г0 - сйг	'
В данном	случае искомая кривая	s/f С^о) получена в

явном виде. Подобное, однако, возможно только для первого приб лижения и для простых передаточных функций У/Ср) .

Рассчитаем по формуле (3.58) график Кт					- UC^Ù) » приняв
частоту изменения	коэффициента		S? =	cm'1	. Задаваясь
значениями	и вычисляя	Кт	,	получим кривую, показан
ную на рис. 3.13	пунктиром.	Интересно подчеркнуть,, что перио

дические процессы в системе могут существовать и при положи тельном, и при отрицательном коэффициенте Кр (напомним, что он характеризует постоянную составляющую периодического коэф-

9 Зак. 161р.

129

фициента).	Выполним уточнение	расчета, обратившись ко					второму
			приближению (3.55).
			Результат			определения
			кривой		Кт
			показан		на	рис.	3.13
			сплошной		линией.
	/2		Чтобы проверить				точ
			ность расчетов,				оп

			ределим		аналитически
	öS		условие		существования
			в	системе		периодическо
	о.*		го	режима,		воспользо
			вавшись		возможностью

			решения		дифференпиаль-
			~К0 ного уравнения системы
Рис.3.13.			при выбранной форме
изменяющегося коэффициента. Эту задачу можно решить в общем
виде.
Пусть	W(p) - „ sj	с-^Ѵ"	• Рассматривая работу
замкнутой	системы при отсутствии входного			сигнала,		изображение

выходного сигнала в полупериоде с отрицательной обратной связью можно записать:

				і
где	^ (о)	и	L/_ (О) -	начальные условия' для рассматривае
мого	полупериода.
	Переходя	к	оригиналам,	получим:

,„

y.fl)-fifO#tâ'*(OSJ.tà.

« . 5 9 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ