Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

і-го слагаемого, получим:

	Отсюда	следует,		что в уравнении				для	к - ой гармоники
выходного сигнала						отличными от			нуля могут	быть	сла
гаемые функций				,	частоты		которых удовлетворяют			равен
ству:	К='	-	(S-Ô	» т ' е -		слагаемые,			соответствующие
£ -		и	f = К+	і	гармоникам			разложения в ряд Фурье
периодического			коэффициента				эе(£)	•
	Раскрывая		неопределенность, получим						значения функций		^
при	р=J/cQ		= ±j(fі)			Q	. Для функции			имеем:

После очевидных преобразований получим значения вещественной

и мнимой части Щ

*,/«) - і « „ х	* fat	>
[-}ß*-i	-%ß**i t .	,	( 3 > 4 0 )

Точно так же можно получить значения для /Р^. (*) иJ. (?) :

< - Ф я <

(3.41)

Найденные значения функций, входящих в (3.36), дают воз можность составить общее выражение для определителя А (3.36) в следующем виде:

РЛ i

£ *4 ~ g Ч ,

				2	4
г	Л			È wt
г	Л
			2 r t
в	'г	:	2	г • S. 2
	2 .	<?	2.	W2

вw'- £ Ч :

р-аЬ^ур-

2	Ч	В	ч:	2	Ч-
2	Ч
'• ІУР +		2	и*\	2	ЦІ .
'• ІУР +					(5.42)
, 2	2	•<*&тр '-Aàfp :
; 2 Чз , 2			's ; 2 -С? •

2 Гг	ÊlÊïp	• 2		RS	%Р,-	\<	'Н
А р _		•<,-<* n				:
	2 °S	• Pc/bn
ЪР+	2 °S	•	г,	"г .%£&р -fi/ßrp
ЪР+		:	2	^
2ил		•	2	ui

Лір -	^Sxp
Лір -	г 's
а Ъ

112'


Таким образом, исследование определителя						4	может
быть проведено непосредственно с помощью коэффициентов								ас и
ß>K разложения периодического				коэффициента se(f)			в ряд
Фурье. Из выражения (3.42)			вытекает,		что для	п-	го приб
лижения процесса	у(£)	достаточно знать лишь				£пч- /		пер
вых коэффициентов	разложения			as СО	•
Решение определителя			Дп	при прочих равных			условиях
будет тем проще,	чем больше его коэффициентов					равно нулю.

Поэтому при исследовании системы с периодическим коэффициентом целесообразно приводить путем эквивалентных преобразований

Э?С£)	к виду, максимально упрощающему его разложение в три
гонометрический ряд. В частности, целесообразно,из состава
ЗеСО	исключить	постоянную составляющую	<0Ко	, относя ее к
коэффициенту К0		. Имея в виду, что начало	отсчета	не влия
ет на условия существования периодического процесса,				целесооб
разно выбирать его		таким образом, чтобы, по возможности, scç?)

был симметричным.

Характерной особенностью исследования периодических ре жимов является то, что в уравнения входят частотные характе ристики замкнутой системы і

J	f+ryCjKSï)	* J	:
определяемые средним	значением коэффициента		передачи	к0
Поэтому фильтрующие	свойства системы	зависят	от к0	и не

всегда могут быть выяснены перед выполнением исследования. Для учета частотных свойств системы расчет условий периоди

ческого режима	целесообразно вести, считая К0 заданным.
Полученное	выражение (3.42) для определителя Ап можно
8 Зак. 161р.	' 1 1 3

использовать для исследования систем с периодическим коэффи

циентом		произвольной формы. Переход к конкретному						коэффициен
ту	ае(£)	осуществляется			заданием		соответствующих	коэффи
циентов разложения				Cfx	и	ßK
	Форма определителя такова, что						он может быть	использо
ван	для	расчета	периодических			процессов, имеющих период Т ,
кратный		периоду	Ѳ	изменения		коэффициента. Это становится

очевидным, если учесть, что период изменения периодического сигнала всегда можно выбрать кратным его основному периоду. Таким образом, введенное выше ограничение : Т = ѲУ - может быть снято.

§ 3.5. Анализ собственных колебаний системы о гармоническим коэсЕФициентом передачи

Рассмотрим описанную выше методику на примере системы, структурная схема которой, составленная для собственных движе ний, показана на рис. 3.7. График переменного коэффициента передачи приведен на рис. 3.8.

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

Так как начало отсчета безразлично, запишем гармонический коэффициент в виде:

откуда зе&)= 4-- scnQt.

Изображение образующей ^0^Р)

равно:

Определим коэффициенты Фурье Скк и jè^

Отсюда получаем совершенно очевидный результат:

- А	А	KfT)	(3.43)
- А	А	Л:О
к*/
Используя значения коэффициентов (3.43) и общее			выраже
ние для главного	определителя	Лп (3.42), задаваясь	числом п

учитываемых гармоник искомого периодического процесса, мож

но получить	определитель			Ап	для рассматриваемого случая. В
частности,	полагая		/ 7 = 2 , т . е . считая,			что
получим
	/		О	р	О	О
/	km rj		/	о	2К0*і
			/	о	2К0*і
f (Cr> о			О	/
4 = 2	ke*7
	О	1	Çmn		/	О
	О	2	К>Ц		/	О
		2	К>Ц

О	1 %ш р>	О	/

В соответствии с изложенной методикой приравняем Аг ну лю. Решив определитель, получим после преобразований:

Ко

Уравнение (3.44) представляет собой приближенное условие су ществования периодического режима в рассматриваемой системе.


Задаваясь передаточной функцией			W(p)	и частотой Q		перио
дического процесса, можно рассчитать коэффициенты KQ						и Кт ,
обеспечивающие существование		этого режима.
При решении поставленной		задачи		о успехом	могут	быть при
менены все приемы построения частотных характеристик						замкнутой
стационарной	части для определения значений /?				и
Точно так же можно получить			приближенные уравнения для
П= 3;после	решения определителя		Дл	получим:
) *	}+ B-jL + CjCé =01					(3.45)

Как следует из соотношений (3.44) и (3.45), условия перио дического режима в системе имеют сложный вид, причем сложность

возрастает с увеличением их точности. Форма			соотношений такова,
что определение по ним значений Ка и Кт			требует привлече
ния численных методов решения алгебраических			уравнений. Зат
руднения	вызывает	также то, что частотные характеристики J? ,
Q. ,	зависят	от коэффициента передачи	К0 . Все это ос
ложняет	исследование.
116

Определив с помощью того или иного приближения условия существования в системе собственных незатухающих колебаний, можно затем выполнить расчет формы этого процесса.

Рассмотрим		эту же задачу, считая,		что коэффициент пере
дачи	К({) системы, показанной на рис. 3.7, имеет вид:
	* / 0	+	Scnfaé	+f) =
Отсюда	следует,	что

Снова обращаясь к выражению (3.42), составим определитель Д для этого случая, ограничиваясь первыми двумя гармониками

сигнала У (О ( / 7 = 2 ) .	Определитель Д£		имеет вид:
/		о		О
/	0		^Cosf- P,
/	0	- loîtf-	Q,
		- loîtf-	Q,
0	/		$	Stoff-
0	/	- iSCnip- Of
		- iSCnip- Of
0		/	:	0
О		0	•	A

Решая этот определитель, получим после преобразований:

i *	- t f	r t ä	Фъ'-*
KSR и следовало		ожидать,	выражений полностью совпадает о

уравнением (3.44). Однако в последнем случае решение определитидк Аг звачителию слоанее. Это еще раз подчеркивает целе сообразность предварительной сшме^ркзацйи коэффициента <хСО для упрощения его предстпвдриия гядом Фуры?.

Продолжим рассмотрение расчета периодического рллима работы системы с гармоническим коэффициентом передачи ( р и с 3.8) на конкретном числовом примере. Пусть передаточная функ ция стационарной части имеет вид:

Ко

Выберем частоту изменения коэффициента зеСО равной / < ^ г , Необходимые для.расчета частотные характеристики системы за пишем следующим образом:

p ( l S )	" а-	+[£о-	v<W		'
cz-cS, =		* О-			;
Ограничиваясь учетом		в выходном	сигнале		у СО	только
нулевой и первой гармоники, т . е . полагая				РС'£)-		С?0'&) = О
при і> /	, получим из уравнения		(3.44)	первое		приближение
118

условия периодического режима:

или,	поскольку
			К, =	pf						(3.47)
	График	зависимости		К„, -J(	fro)	, рассчитанный по фор
муле	(3.47),	показан на рис. 3.9.			пунктиром.
						Результат			расчета		вто
						рого	приближения				усло
						вия периодического ре
						жима,	выполненный по
						уравнению (3.44), по
						казан	в	виде		кривой
						на рис.		3.9		сплошной
						линией. Проверка					точ
						ности	полученных ре
						зультатов			была прове
					•Л1	дена	путем экспери
		Рис.	3.9.			ментального				исследова
		Рис.	3.9.			ния (моделирования)
						ния (моделирования)
системы. Данные эксперимента нанесены на рис. 3.9									кружочками.
На этом же рисунке крестиками отмечены расчеты,								выполненные
по третьему приближению (уравнение 3.45). Полученные кривые
хорошо согласуются с частотными характеристиками,									которое		име
ет рассматриваемая система при выбранном для расчета										коэффи
циенте передачи			Ка								119
											119

На рис. 3.10 показана	амплитудно-частотная	характеристи
к е ^ 2	сек '•> и з н е е следует,	что влияние
	высших гармоник
	( с > 3	) пренебре
	жимо мало, так как на
	частотах	со > -4—L.
		с-ек

система обладает силь ными фильтрующими свой ствами. Это подтвер ждают и расчетные зна

чения на рис. 3.9 для

Ко 2 сен •

Рис.ЗЛО.

Произведем

расчет

фор

мы периодического

про-

цесса

у СО

Для случая

кс

ограничившись

вторым

приближением,

которое, как следует

из рис. 3.9,

дает весьма

высокую точность. При выбраішой частоте

Я = /

для

Ка=2

система будет

находиться

в режиме периодических

колебаний

при

л^= 2,868.

Значения частотных

характеристик

в данном

случае .следующие:

І> = I ,

Pf = 1,25

Рг

-0,7

Qi = -1,25

<?2 = - 0 , 1 .

Расчет

коэффициентов Фурье

процесса

у(0

удобнее

про

водить непосредственно по уравнениям для гармоник. Нужно

учеоть,

что

поскольку система

линейная,

количественно соб-

ственный периодический процесс определяется начальными усло виями. Если же исследуется форла процесса в принципе, для расчета достаточно задаться значением какого-либо одного коэф

фициента. Положим	(7 = 1 . Тогда из уравнения для постоянной
120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ