книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие
.pdfY<® |
+ |
<Щ |
[Yfp'/&) - Y<fi-jS£j- О. (3.24) |
|
Пример 3.2. Рассмотрим вывод уравнения для исследования |
||||
собственных периодических движений системы, |
имеющей коэффи |
|||
циент |
<8Р $ ) |
, форма которого показана на рис. 3.4. |
||
|
|
|
Здесь |
&t |
и поэтому ПЬ)<* —-JZ? ,
Подставляя эти выраже ния в уравнение (3.22),
получим:
0+,'ао
' 4$. fif*r w |
+e |
^%-cp'^r |
Интегралы, входящие в это уравнение, имеют следующие значения:
— |
M* |
Я |
Yo'û>)(f-ëfiT)-TYJp)ëpT |
|
|
Поэтому уравнение |
принимает вид: |
|
|
|
|
|
= О. |
(3.25) |
|
Пример 3.3. Пусть |
коэффициент |
se. (У) представляет со- |
|
|
|
|
|
101 |
бой на периоде экспоненциальную функцию (рис. 3.5), т . е .
Тогда Гф) = ^аГ
и Гф) =^д^г |
|
. |
|
г |
/Зу of |
к |
|
Т2т ^ Подстановка этих изобра
Рис. 3.5. |
жений в уравнение (3.22) |
|
е й - |
Преобразуя, получим У
J
Решая интеграл, входящий в уравнение, в правой полуплос кости по полюсу Л = р + <Х , получим:
Поэтому окончательно искомое уравнение имеет вид:
|
(3.26) |
Очевидно, что число |
примеров можно неограниченно продол |
жить. |
, . |
Подводя итог, можно сделать вывод о том, что конкретный |
|
учет формы периодической |
составляющей <3f^?J коэффициента |
передачи системы позволяет существенно упростить исходное 102
уравнение (3.19) или (3.22). |
Правда, при этом |
на форму |
|||
накладываются ограничения: |
se(i) |
не должна |
иметь на перио |
||
де особых точек. |
|
|
|
|
|
Подобным же образом можно произвести упрощение уравне |
|||||
ния (3.17) или (3.18), |
если |
периодический |
коэффициент ae(t) |
||
симметричен на периоде. |
Методику |
расчета |
для этого случая |
||
продемонстрируем на одном примере, когда система имеет ком
мутируемый коэффициент |
передачи |
(рис. |
3.6). |
|
1 |
|
|
Коэффициент Л / О |
|
|
|
|
можно представить в |
|
|
|
|
виде: |
|
|
|
|
Х0У «о |
|
Рис. 3.6. |
' |
|
где /Гв |
2. |
' |
|
|
А" — /С |
|
|
К„m- |
- амплитуда |
||
среднее значение коэффициента, |
-/——g |
|
||
собственно периодической части коэффициента. Нормируя коэф фициент, получим:
Преобразование изображения периодического сигнала перио дическим коэффициентом прямоугольной формы было рассмотрено в примере І . ІО . Используя полученные там результаты, запишем:
У<@ -к. Шр)[Е(Р) * |
fifrÇjù -f^EJp)]. |
(3.27) |
где F (û) - изображение образующей составляющей |
сигнала |
|
£ . ( ( ) |
, включающей в своем спектре |
все |
четные |
гармоники; |
ЮЛ |
£оІі(рУ то же для составляющей, имеющей все нечетные гармоники.
Учитывая, что Уф)= - Е(р) . уравнение (3.27) мож но разделить на два уравнения, по четным и нечетным гармониК8М "
W'-m^bba-o. (3'28'
Система (3.28) и представляет собой условия существова ния собственных периодических движений замкнутой системы о коммутируемым коэффициентом передачи. 1
Подобным образог можно определить искомые условия для симметричных коэффициентов, имеющих другую форму.
§ 3.4. Общая методика расчета условий существования собственных периодических движении системы
Рассмотренные примеры показывают, что условия существова ния собственных периодических движений замкнутой системы с периодически изменяющимся коэффициентом передачи зависят от формы коэффициента и приводят к уравнениям различных классов. Поэтому приходится еще раз констатировать, что точное решение этих уравнений для получения требований к динамическим харак теристикам системы, обеспечивающим периодический режим, в об щем виде представляет задачу, вряд ли разрешимую аналитически. Поиск точных решений должен выполняться конкретно, в зависи мости от класса полученного уравнения.
Общая методика, очевидно, заключается в отыскании приб-
104
лижѳнного решения уравнения, когда в составе периодического
сигнала |
у |
ft) |
учитывается лишь |
конечное число гармоник. Та |
кой подход вполне оправдал себя |
при исследовании нелинейных |
|||
систем |
\24 |
\ |
. Он использует тот факт, что частотные харак |
|
теристики реальной системы всегда соответствуют характеристи кам фильтра низких частот. Учет конечного числа гармоник сиг нала производится и при исследовании замкнутых систем с перио дическими параметрами.
Обсуждаемый ниже способ получения условий существования незатухающих собственных движений не является принципиально отличным от опубликованных. Однако существенной его чертой является то, что в процессе решения форма периодического коэф фициента учитывается точно, в то время как обычно он сразу представляется рядом Фурье и учитываются только первые гармо-* ники разложения [28 ] .
Точный учет формы периодического коэффициента seft) поз воляет определить общий подход к анализу поставленной пробле мы. В основе исследования лежит уравнение (3.19). Представляя изображение Y(p) выходного сигнала системы в виде:
и ограничивая его разложение п гармониками, из уравнения (3.19) получим:
где О, - |
• - основная частота периодического процессау ft) . |
Интегрируя |
почленно в левой полуплоскости, получим уравнение |
П 5
(3.29) в следующей форме: |
|
|
|
Y0(p) +<r*№Z<&f |
+ |
|
* |
* фф)£<Фу<-$^ |
=о. |
|
|
Группируя коэффициенты Фурье О,- |
и Ь{ , |
уравнение |
|
можно записать следующим образом: |
|
|
|
Уф) + ФСр)эгмЧ-° * |
^)Ёі/^Ф-у^>^Фу^М. |
||
|
t-i |
|
|
+ WiïÊ М*.Фу*>%Фѵ™№ |
" °- |
(з.зо) |
|
Введем обозначения: |
|
|
|
і[^ф^УКФ-j^Yj' |
= % ( p j i $ . |
||
Ifeb+ji^-vjp-j%Ф,І^. (3;3I)
Приближенное условие существования периодического процесс ов в рассматриваемой замкнутой системе в этом случае примет вид:
Y/P) + <Р<РЖФ)F° * Ф&Ё%ч +%Ь{ = о.(3.32)
Уравнение (3.32) составлено для изображения образующей выходного сигнала ^О-) • ®т показывает, что, в отличие от стационарной системы, в данном случае в образовании К-ой гармоники процесса участвуют все остальные гармоники. Сте пень связи гармоник может быть определена, если учесть, что от^изображения образующей можно перейти к коэффициентам
Фурье с помощью полученного в главе I соотношения:
Л"= |
0,1,2, ... |
Подставляя в уравнение (3.32) р=у/е!2 |
и умножая |
на — , его можно развернуть в систему уравнений по гармоникам. Эта система и будет определять взаимосвязь последних
в процессе образования |
К - ой гармоники выходного сигнала. |
|
Она имеет |
следующий вид: |
|
а* 7 4 |
* Г |
49«^ а° + |
К = 0,1,2, .. , |
П |
, |
с = 0,1,2 |
/7 . |
При учете |
/7 |
гармоник сигнала |
у ft) система (3.33) |
|
будет включать |
(/7+0 |
|
комплексное |
уравнение. |
Выделяя в каждом уравнении системы (3.33) вещественную и мнимую часть, можно перейти к системе (2п+ 4) вещест венных уравнений относительно коэффициентов Фурье Q- и Ь- . Поскольку система уравнений получается однородной, она будет совместной только тогда, когда ее главный определитель Л будет равен нулю. Уравнение
|
.Д=0 |
. (3.34) |
и будет |
определять условия существования периодического про |
|
цесса в |
системе. |
|
Рассмотрим в общем виде структуру этого определителя. Для этого.введем обозначения:
yrt (/KQ.jia) - %.(K) * jJH fid,
ѣ% O^.jtz) = /?_<•fiö*JJ.i fia.
В этом случае каждое уравнение системы (3.33) распадается на два вещественных уравнения:
(3.35)
С помощью уравнений (3.35), задаваясь конкретно числом п
учитываемых гармоник процесса, |
можно составить общий вид оп |
|||
ределителя Ù |
системы. Ясно, |
что его структура прежде |
все |
|
го будет определяться формой периодического коэффициента |
|
|||
3ß(€) I т . е . изображением |
Э?0(р) |
|
||
Запишем его, увеличивая |
сверху вниз номер гармоники |
К : |
||
108
I ° 0 •
n |
• T * -г |
(3.36) |
|
r fem
7-ßqe/e)
В выражении (3.36) учтено, что 00 = О |
и что уравнение |
для нулевой гармоники вещественно. |
|
Рассмотрим возможности упрощения полученного определите ля. Прежде всего заметим, что, поскольку ЗС0 (р) есть изобра жение образующей периодического коэффициента,
а?//*я) */е„ |
» £&« |
у А ) , |
(3.3?) |
где ос^ и fa - коэффициенты Фурье |
разложения |
af/iQ в |
|
тригонометрический |
ряд. |
|
|
Определим свойства функций Так как
представляя |
д?0 (р) |
рядом : |
подучим для У£. Ср,/і&) |
'• |
c |
р+с*&-а&?+с*&рУ |
( 3 , 8 ) |
|
Точно так же для ^Р" (pt jі&) |
имеем: |
|
|
t
J£t |
ïf+(te?-(tëf]*+&*p¥ |
|
|
'<3-39> |
||||
Рассмотрим |
поведение |
Щ-i и |
9^/ |
|
при р |
= J/{£2 |
, |
|
К = 0,1,2, ... , |
П . |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
/-б^ -О |
при |
р~/к£! |
, |
очевидно, |
|
||
функции $ могут быть отличными от нуля |
только |
тогда,когда |
|
|||||
равен нулю знаменатель хотя бы одного слагаемого, |
входящего |
|
||||||
в состав этих функций. Приравнивая |
при |
Л - Л Т Й |
|
знаменатель |
||||
110 |
|
|
г |
j |
• |
|
|
|