Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

§ 3 . 3 . Уравнение собственных движений замкнутой системы

В дальнейшем для краткости будем называть замкнутой си стемой схему, показанную на рис. 3 . 1, имеющую периодически изменяющийся коэффициент передачи К (t) :

	Kreonsf ,		Кп(і)	=	«п(а±лѲ),
где	Ѳ -	период	изменения	коэффициента Кп		(О .
	Задачей	исследования этих		систем является		в данном случае

определение условий существования в них собственных незатухаю

щих движений.		4	„
Так	как математическое описание движений системы в об
ласти изображений зависит от соотношения периода		Ѳ	и перио
да Т	рассматриваемого периодического процесса,	целесооб

разно указанную задачу поставить в следующей форме: для замк нутой динамической системы с периодически изменяющимся коэф фициентом передачи определить условия существования незатухаю щих собственных периодических движений о выбранным заранее

периодом	Т » находящимся в	заданном	соотношении с перио
дом Ѳ	коэффициента передачи	системы	к„ (?) .

В такой постановке задача становится более узкой по сравнению с исследованием границы устойчивости вообще, но зато приобретает более конкретную форму. В конечном счете такой подход позволяет выяснить вопрос о возможности сущест

вования периодических собственных		движений	в	принципе, т . е .
определить устойчивость	системы.
Запишем коэффициент	передачи	К (С)	в	следующей форме:
				• 91

	Относя коэффициент K0 к стационарной части системы,
ее	структурное представление можно показать в виде, данном
на	рис. 3.2:

		Рис.	3.2 .
Составим уравнение динамики в области изображений. Посколь
ку речь идет о собственных движениях,					3c(t)-? О	• Однако
непосредственная подстановка				= О	в уравнения системы
(3.1)	не имеет смысла, так как они			записаны для нулевых на
чальных условий и поэтому приводят				при отсутствии		внешнего сиг
нала	к тривиальному решению		у(f)-0		. •
Чтобы рассмотреть уравнение системы при ненулевых началь
ных условиях, остановимся вначале,на случае, когда						Kn(t)-0 .
Полученная линейная		стационарная система, как следует из
(3.3),	имеет следующее дифференциальное				уравнение
						(3.8)
где	С- - Коа. + £.	,	при	с é- m г

при m < i 4г п.

Учитывая, что изображение производных при ненулевых на чальных условиях имеет вид:

°РІУГР)

-Р'"У(0)

- Р " ! * Ы

* '"(ОХ

произведем в уравнении (3.8) переход к преобразованию по Лап ласу. В результате получим:

C0Ù Уф) « Ai 0ф)Хф) + РФ), (3.9 где С(р) = «0#ф)+ ô(p) ,

Ш = Cnï/fàp"" /fayfb)+ Сп., у(о)]р"-г +

*/С»У("ЛО)	*	у***>ÙÙ	+ $ УУСо)]р	+
*[СпУ^(о)	V c^yf-^o) + ...+с,у'<Го) + С у(о)J.
Полагая	Х(р)	~0 , получим уравнение собственных
движений стационарной системы:
	СФ)УФ)=ЛФ).		.	(зло)

Решение этого уравнения позволяет определить у ft) при заданных конкретно начальных условиях

&)-Ä'{Yto], У ф У - ^ ^ . (з . и,

В рассматриваемом случае задача исследования состоит в определении условий существования собственного периодического

движеная. Поэтому изображение искомого периодического реше

ния Y(p) можно записать в виде:
	Уф) = У0Ф)~^т •		(3.12)
Подставляя	(3.12) в ( З . І І ) ,	получим,	что существование
такого решения	возможно в случае,	когда К0$Су?к) + ÔÇj^s^-
Таким образом,	мы совершенно естественно		приходим к критерию

устойчивости Михайлова [51 ] . Если выражение для Y(p) преобразовать следующим образом:

	УГр)	* іір). Tïibm		'
получим,	что	Y(p)	соответствует	периодическому решению
в случае,	когда

т . е . мы приходим к амплитудно-фазовому критерию устойчивости [ З У ] .

Проведенное рассмотрение стационарной системы позволяет сделать два вывода. Во-первых, последовательное решение зада чи на существование периодических собственных движений естест венно приводит к известным критериям устойчивости линейной системы. Это свидетельствует о продуктивности подхода.. Во-вто рых, что очень важно, существование периодического режима не зависит от начальных условий и определяется только внутренними свойствами системы. Начальные условия оказывают влияние на количественные характеристики периодического режима, точнее

на его масштаб. 94

Действительно, при выполнении условий периодического ре

жима:

коэффициенты разложения					в	РОД Фурье определяются вы
ражением:								'
		•А	2	2>0&*д
. и зависят от начальных условий, объединенных в							-D(p)
Этот вывод, легко ощутимый физически, позволяет при изу
чении вопроса только о существовании периодического режима в
системе исключить из рассмотрения						начальные условия и		перейти
к исследованию		уравнения
C(p)Y(p) = 0			или	[HK0W(p)]Y(p)*o.				(здз)
Оно будет	иметь нетривиальное				решение только при///л; W(p)J- О,
причем %	p-j	j?K	, так	как	рассматривается		периодический
процесс.
Обратимся теперь к общему случаю, когда коэффициент пере
дачи имеет ненулевую периодическую составляющую: 3f(é)								Ф О
Поскольку		принципиально учет				ненулевых начальных		условий

не дает ничего нового (уравнение системы остается линейным), составим уравнение в области изображений, используя (3.4).

Учитывая периодичность	составляющей 3t(£)	, для	коэффициен
та передачи А^, (t)	получим изображение	в виде:

Поэтому условия существования периодического собственного дви жения системы можно записать в виде:


Уф) +Ф®Ы7У&**^7^						* ^ - ( З . І 5 )
	m/h) -			к°
Здесь	v-ftpj -		^	коУ(р)	, причем предполагается, что
знаменатель		/•/•/& W(p)			не обращается	в 0 при чисто мни
мых значениях		р		. Полученное уравнение		(3.15) и является
объектом дальнейшего				исследования.
Задача исследования состоит в определении условий сущест
вования	отличного		от нуля решения Уф)			. Сравнивая уравне

ние (3.15) с уравнением для стационарной системы (3.13), мож но отметить их принципиальное различие: в уравнении (3.15) не разделяются свойства системы с выражением для сигнала У(р) , поэтому определить в явном виде Уф) невозможно. Именно это и приводит к осложнениям при его решении. Поэтому в общем виде задача практически может быть решена лишь приближенно. Так как речь идет о периодических движениях, решение уравне ния целесообразно искать в виде:

причем точность приближения будет возрастать с увеличением п . Условия, при которых коэффициенты q{ и 6. получаются конечными и вещественными, и будут определять возможность

периодического собственного режима системы.

Уравнение (3.15) можно упростить, если задаться опреде ленным соотношением между периодом Ѳ и периодом искомого

процесса T . Целесообразность	такого конкретного	подхода
была подтверждена уже при анализе	разомкнутых цепей.	Поэто

му выберем вначале случай, обсуждавшийся в литературе, ког-

да Ѳ= Т		[28].
Периодическое			решение Y(p) в		этом случае можно запи
сать в	виде:
					( З Л 6 )
причем	изображение		образующей	Y0(p)	остается неизвестным.
Подставляя		(3.16)	в уравнение	(3.15),	получим:

Как было показано в главе I , уравнение (3.17) эквивалентно следующему :

Это уравнение позволяет перейти к уравнению для образующей процесса и тем самым получить окончательное общее выражение для определения условий существования незатухающих собствен ных движений системы.

Учитывая (3.16), уравнение для образующей будет иметь

вид:
YM* V®4JK(fi->)	X ® - ^ Р Г -о (3.19,

7 Зак. 161р.

y t

В частном случае,

когда

коэффициент

передачи

имеет толь

ко периодическую

составляющую ( К0=0

) ,

уравнение

(3.19)

приводится к

виду:

YM + M®'

оо

JKJP^

Yo(>) J-L,

сЬ.О.

(3.20)

Дальнейшее

изучение уравнений (3.19) или (3.20)

опирает

ся на методику,

рассмотренную в § І . І

и позволяющую

элемен

тарно связать

изображение образующей с коэффициентами Фурье.

При заданной

конкретно

форме

периодической составляющей

ЗЕ(0

уравнение

(3.19) или (3.20) может быть преобразовано

дальше. Ограничения, накладываемые на форму

Эе(е^) , об

суждались в § 1.3.

Рассмотрим методику преобразования уравнения в случаях,

когда

3e[f)

н е

имеет

особых точек

внутри

периода. Это

значит, что на интервале

[Ot Т ]

коэффициент

âîft)

может

быть

аналитически

записан

помощью функции

J-(é)

такой,

что

•

{

Чтобы получить изображение образующей

Зв0 (р)

, доста

точно

решить

следующее

соотношение:

J C-joo

'Более

просто

можно

получить

изображение

ЭѲ0 (р)

если

известно изображение функции

f (t

+Т)

В этом случае для Зв0(р) имеем [ 19 ]

а?М	=	г&	-е'^'бО-		(3.21)
Таким образом,		в выражение для		3?0(р)	входит перио
дическая функция	Q р Т		, имещая	период Т	. Именно этот

факт позволяет произвести дальнейшее преобразование уравне ния (3.19), переводя его из интегрального в уравнения других классов. Подставляя (3.21) в (3.19), получим:

ХФ>+	^ІХЫ^[ГФ->Уе«-»тГТФ-ф*			.о.
				\
Это уравнение		может быть преобразовано к следующему		виду:
Y/P) ^	^	J X ^ ^ F t p - W	-

C+J<x>

Оба	интеграла, входящие в уравнение	(3.22).можно решить в пра
вой	полуплоскости по полюсам функций F(p-*)		и Р(р-^
Тем	самым удается привести уравнение	к более	простому виду,

зависящему конкретно от			формы	периодической	составляющей	коэф
фициента	передачи	âeft)	,	определяющей	вид функции У	ft) •
Рассмотрим ряд примеров,				иллюстрирующих методику преобра
зования	уравнения	(3.20).

Пример 3 . 1 .		Пусть коэффициент			3cCfi имеет форму,	по
казанную на	рис.	3.3,	т . е .	xfé)	= \ & S>inipt \	. В
этом случае	/(і)	-	^Sin^t	U	Р(р) « -^— ,

Подставляя значения

в уравнение (3.22), получим :

C+Jo»

иди

ХФ) * о< ёрТ)	т Щ т ^ ф ? - * * * »
Решая интеграл, входящий		в последнее уравнение		в правой
полуплоскости	по полюсам	^ =iySZ •+p	f	получим:

Подставляя полученное значение в уравнение (3.23), поду чим окончательно:

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ