книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

П о д с т а в л яя

(3.38)

в

(3.37), приходим к

уравнению

1 +

I

1

Л 2

\

, , 2 \ 2

л-

Х2

1

<г=-

Л

+

Я 2 ;

Я 2

/7і

Х4

/1/

1 +

А'

Х2 +

Я 2

Л

\ Я 2 +

Х2

(3.39)

где

\2qR*(l

—

у 2 )

12/?2(1 — у 2 )

(3.40)

Я4ѲА2

П2Л2

Я2Р

Н а рис.

16

приведены

графики

минимального

значения критическо­

го давления

9*=i7m!n

в

зависимо­

сти от коэффициента

А, д л я значений

параметров

при ц 2 =

15000 и •0- = 0,05,

когда k=0;

0,04; 0,08; 0,2; 0,8; 2;

1000.

Рис.

IS. Зависимость критического

значения

внешнего

равномерного

поперечного

давле-

ния

q = <7 m i I 1

круговой

цилиндрической

оболочки

от

отношения

X=I[R

(I —

длина,

R—

радиус)

при

ц . 2 = 1 5 000!,

ö =

0,05

для

ряда

значений

параметра

сдвига

k

5.

КРИТИЧЕСКАЯ

НАГРУЗКА

ПРИ

ВНЕШНЕМ

РАВНОМЕРНОМ

ВСЕСТОРОННЕМ

ДАВЛЕНИИ

Перейдем к изучению потери устойчивости

опертой по тор­

цам

тонкой

упругой

круговой

пологой трехслойной

цилиндри ­

удельные усилия,

равные

1

--0.

(3.41)

З а д а ч а сводится

к

решению уравнения

устойчивости

D i l

Ш

ѵ Ѵ ѵ Ѵ х і + -

1

А2

ѵ 2

Ь +

Р

дх*

Р

•gR

_ L

JL

i

JUL

A3

(3.42)

2

дх* ^

ds'

которое имеет решение в форме

ях

/is

(3.43)

(3.44)

где

1 2 ^ 3 ( 1 _ Ѵ 2 ) _ Л = = _ Л 2 я 2 _ . ц 2

1 2 ( 1 - Ѵ 2 ) ^ 2 _

£Л30я2

ß/?2

jri/220

À = —

(3.45)

кого давления

<J* = Q*nln в зависимости от коэффициента сдви­

га для значений

параметров (,і2 =16, 64, 100, 1000, 10 000, 30 000;

оболочки,

подверженной

действию

концевых

крутящих

момен­

тов / И к р в

плоскости параллельного

круга

[14, 15]. Под действи­

ем этих моментов в оболочке при докритпческом

безмоментном

состоянии

возникнут удельные усилия,

равные

^ ? 1 = 0 ;

^

=

0 -

( 3 - 4 6 1

Тогда

задача

сводится к

решению

уравнения

устойчивости

0(\

—

т-2ѵ-2ѵ-2^2.,;

2УѴ?2

dxds

(3.47)

которое разыскиваем в виде

Zi =

XoSin

a

ll(S — 1)Л")

•b

cos

Il (S —

-qx)

.

(3.48)

sin

R

Здесь n — число

волн

по

окружности;

r j — параметр, характери ­

зующий наклон винтовых складок, образующихся

при

потере

устойчивости

/о'. а>

b — константы.

Подставляя (3.48)

в

(3.47),

приходим

к

уравнению

а [Ь(п,

— 1) — -і {ni)]

cos - у -

cos

П (S

— Г)Х)

R

+ а [ ф ( Я - П + * ( Л

l ) ] s i n i ^ s i n

_ 1 ( * - Ч * >

/

R

+ b

fy(nl)—Hn-

1)] sin

COS

J i i i Z ^ f L

+ *ІФ(/г.1) +

« р ( я . - 1 ) ]

cos

—

sin

= 0,

(3.49)

=

где

1 +

—

Ф(л +

1) =

D

Л2

»1

2

/ л

X

1 +

—

т)

x [ ( - - f ± . f ) ' + ( T ) T + f

1Г * Т

лті

Я \ 2

_л \ 2

Я"

1

R

-

l

}

R

(3.

50)

1

1 2

/2р

/2

„ ( / 2 Ä ) V 4

получим два уравнения для определения

Лчг°

i H - - ^ - [ ^ (

_ , * ± È )

2 + l

]

Я 2 0 *

|2Е 1/2

X

1 2

2/?

і + — т ^ 1 * 1 / г ( - ч * ± е ) 2

+ і]

х [ Е 1 / 2

( - ^ ± е ) 2 + 1 ] 2

!

е-

( - 1 *

± « 3

Л

.

(3.51)

—

i l * ±

£

Я 2

r e t / S ( _ , , * ± c ) 2 + l ] 2

Д л я

оболочек,

имеющих

малый

параметр

е, формула

(3.51)

упрощается, так как в этом случае можно положить

eV*( — л * ±

(3.52)

Тогда

найдем

Elfi

,1/4

27?

1 2 Ç 2 ( - T I * ± S )

І +

Й/Е2е'/2

Т

Я 2 1

. "

Суммируя и вычитая эти уравнения,

получим

.

t * = T l E * 2 ( T 1 * 2 +

S

a ) ;

(3.53)

з

з

36Ç4

1

+ Ä / g 2 e v »

где

г::- =

;

t = —

; 0* =

.

(3.55)

4Eh2R^

R

1 - ѵ 2

Уравнение (3. 54)

позволяет

найти

г\*

по заданному

| = л / п .

9

Л

Рис.

19. Зависимость

критического

касатель­

ного

усилия т* = т І П І П от отношения

Я =

= ljR

( / — д л и н а ,

R — радиус)

для круго­

вой

цилиндрической

оболочки

при Ѳ * = І ;

fe = 0,001; ô = 0 , 0 1

для ряда значении

t=h/R

(/( — толщина

оболочки;

R—радиус)

0,05; при £ = 0,001; 0 = 0,01; Ѳ* = 1 и /г = 10; f>=0,0l;

Ѳ* = 3.

На рис. 21 даны зависимости минимального

критического

значения т * = т т т * от X дл я ряда значений •&.

84

к -

ѵ > - 1 .

(3.56)

где рі — п а р а м е т р критической нагрузки только при

действии

продольного сжатия; д*р — п а р а м е т р

критической

лагрузки

при действии только

внешнего равномерного

поперечного дав ­

ления; т*р — п а р а м е

т р критической нагрузки

при действии

8.

СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

Д о б а в л я я , «в соответствии

с разд. 9,

гл. 2, ,в правую

часть

уравнения (3. 2)

приходящуюся

на единицу поверхности

инерци­

онную силу

-*М1-т*)г

(3-57)

w -

t

&

( '

-

т

ѵ ' ) х :

( 3 - S 8 )

О (1 - f - * ) v'v'x +

- L £

+

<* £

( i -

f

V=) x - O .

(S. 59,

Вводя р а з р е ш а ю щ у ю функцию хі

х = ѵ ѵ х і ;

^НгІИ^тФ1'

(3.60)

изменяются в пределах

0 < х < / ;

0 < г / < 6 .

При этом оператор Л а п л а с а V 2

() имеет вид

дх2

ду2

Уравнения (4. 1) — (4.2) могут быть использованы

при реше­

нии задач

об определении верхней

критической нагрузки

тонких

упругих пологих круговых трехслойных цилиндрических

пане­

лей постоянной толщины. Сформулируем

граничные

условия.

1. П а н е л ь

свободно

оперта

по всему

контуру.

Имеем

Nn

= e22—w = Нп=Мп

= 0 при х=0,

х — 1; |

^ ^

N2î

= e11

=

w = N22

— MS2 =

0

при

у =

0, y =

b.

\

Вводя функции F и %, получим

F = V a

/ r

=

x = V 2

z = Vs V2 x = 0

при х=0,

х=1,

4

5

у = 0,

у = Ь.

2. П а н е л ь

свободно

оперта по прямолинейным

к р а я м

и жест­

ко з а щ е м л е н а по криволинейным краям . Имеем

u1 = N12

— w = wil~a1=0

при

х = 0, х=1;

(4.6)

N22

= en

= w — H22 =М22

= 0

при

г/ = 0,

у = Ь.

(4.7)

В функциях

F и % эти граничные

условия

запишутся так:

дх

дхз

\

?

дх Х

дх* L

при

х=0,

х — 1;

(4.8)

f.^&F

=

дН

_ d * x = z Q

diß

diß

diß

при

y =

0,

y = b.

(4.9)

3. Панель жестко защемлена по прямолинейным

краям

и

свободно

оперта

по криволинейным

краям .

Имеем

Nu

= e2ii=w

= H11

= M11

= 0

при

х = 0, х = 1;

(4.10)

u2

= Nn

=

w = a2

= w:2 = 0

при

у = 0,

у-=Ь,

или

F = ^

=

y

=

^

= ^L=0

при

х=0,х=1;

(4.11)

дх2

дх2

ол-4

dF

d*F

Л

h2

Л

ду

д^г

„

П

А

у = Ь.

— = — =

1 - — V2

х = т ^ = - т - 7 = 0

при у = 0,

ду

diß

\

ß

/

ày

ду3

(4. 12)

« 1

=

i V 1

2 = i o =wil =

a1

=

0

при

л: =

0,

х = 1;

1 Q

(4-.

1 о )

ii.2

=

N1oi

= w = zv,n =

a2

=

0

при

у =

0,

у — Ь.

dx

ал-з

V

ß

' /

<Эх

ол-з

при

х=0,

х =

1\

(4. 14)

^

=

^

=

f l _ ^ i v = ) x = ^ =

^ = 0

du

ду*

\

ß

/ л

<fy

о'(/з

при

і/ = 0,

у =

6.

которое

очевидным образом получается из (4. 1) — (4 . 2) .

Д л я

формулировки

граничных условий относительно функции

X следует иметь в виду

зависимости

опертого края

(х=.ѵ°)

через

хі

записываются в

форме

у

^^lL=J^lL

=

^Il

= -^L = 0

(4 17)

/ Л

Öx2

ÖX4

0X6

0*8

^

ß

J

/ а

<?Х

0X3

0*5

0X7

'

Перейдем к рассмотрению частных задач .

2. УСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПАНЕЛИ

ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ

СЖАТИИ

И

ПОПЕРЕЧНОМ

ДАВЛЕНИИ

N°n=-N;

№i2=-qR;

№п

=

0.

(4.19)

Принимая функцию %і в форме

X i = Z o S i n

тпх

.

пли

,Л

п л ,

— — s

i n — 2 - ,

(4.20)

I

о

где m и п— число полуволн в продольном

и окружном

направ ­

лениях, после

подстановки

(4.20)

ІВ

уравнение

(4.15)

найдем

1 +

Щ «2 +

[N

^ + qRäA =

[-

^

(*» +

-

N

/Зл;2 V

*2

/

/

„

nfi \

\

X2

(j.2

m4

(4.21)

X W

,

m2 \ 2

X2

Здесь

ß62

Л2^20Я 4

6

Полученная

формула позволяет

исследовать

устойчивость

панели как при чистом

продольном сжатии (<7 = 0)

и чистом по­

перечном давлении (N=6),

так и

при совместном

их действии.

Как частный случай при R-^oo,

ц2 —*0 из

(4.21)

вытекает

фор­

мула дл я критического одностороннего удельного

с ж и м а ю щ е г о

усилия плоской трехслойной прямоугольной

пластины

/

/П2 \

/ „

ttfi \2

М = —

і

^

i l i -

(4

23)

*2

/

OT2\

те2

3. УСТОЙЧИВОСТЬ

СВОБОДНО

ОПЕРТОЙ

ПАНЕЛИ

N°u=~N\

Nlt=—qR;

№l2 = x.

(4.24)