книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

° ( 1 ~ у x ° j v V z + { F ™ + V F )

(*" ~

~

-

=

<7 +

V і 7 <уд +

Ф\2та/,2);

(2. 118)

- —

l i ^ V 2

œ =

= t c .

(2.119)

2

ß

При этом по-прежнему

ш через функцию

% в ы р а ж а е т с я

так:

да( 1 — ^ - v a ) Z .

(2.120)

Поскольку компоненты деформации а,-,- и

остались

неизмен­

ными,

легко видеть, что учет начальных прогибов влияет толь­

ко на

формулировку граничных

условий

дл я

тангенциальных

Уравнения поперечных колебаний трехслойных пологих обо­

лочек можно получить из уравнений

(2.77) — (2.79),

добавляя

на

основании принципа Д а л а м б е р а

к

левой

части

уравнения

(2.78) инерционную силу

(2.

121)

где

pu — удельная плотность материала

k-ro

слоя ( / г = 1 , 2,

3) .

10. НЕКОТОРЫЕ

ЗАМЕЧАНИЯ

Рассмотрим общую теорию оболочек симметричной по тол­

щине структуры. Д л я развития

теории

трехслойных

оболочек

местную

систему дифференциальных

уравнений

относительно

прогиба

w, силовой функции плоской

задачи F и

функции

по-

* Reissner Е. Finite Deflections of Sandwich Plates. Journ.

of Aero.

Sei.

1948. vol. 15. No. 7. pp. 435—440.

перечных

сдвигов

ср=аі, 1 + 02,2 (где .ѵь

л-2 — ортогональные

ко­

ординаты

в срединной плоскости заполнителя; см,

а 2 — попереч­

ные сдвиги в плоскости .ѵОг и yOz соответственно;

z — расстоя­

ние по нормали срединной поверхности заполнителя) .

Э. И.

Грпголюк

[10] вариационным

методом установил

гра­

термическом смысле, а оси их ортотропии совпадают.

Система

четырех уравнений, с о д е р ж а щ а я ш, F,

а\,

ао для изо­

тропных несущих слоев сведена последовательно

к

трем

{w,

F,

ср) и двум

(w,. F) нелинейным уравнениям . Здесь

впервые

в

те­

нейном распределении

касательных

перемещений

по

высоте

пакета, позволившая методологически строить эту

теорию в ду­

хе теории однослойных

оболочек.

Принималось,

что

несущие

гибы,

а

заполнитель

воспринимает

только

малый

поперечный

сдвиг.

Гипотеза К и р х г о ф ф а — Л я в а

о прямой

и нерастяжпмон

нормали

несущих

слоев и предположение

о

прямолинейности

нормали

в заполнителе

удовлетворяют принятому

линейному

закону

распределения

касательных

перемещений

по толщине

условии, что срединные поверхности несущих слоев

присоеди­

нены к крайним поверхностям заполнителя.

Р а з в и в а я прежнюю работу [10] Э. И. Грпголюк

выдвинул

линейных

уравнений

(w,

F,

а\, аг) для изотропных

слоев

с оди­

наковым коэффициентом

Пуассона

сводится к системе

трех

уравнений

(w, F,<ç). В [10,

И ] дается т а к ж е уравнение прогибов

w, описьюающее устойчивость пологих оболочек

при

малых

прогибах.

Случай

трехслойной

оболочки

несимметричной

структуры

может

быть

изучен

на основе компактной системы

уравнений.

Д л я

случая оболочки

с изотропными

несущими

слоями

и не­

сжимаемым

трансверсально

изотропным

жестким

заполните­

лем ів постановке [11] систему пяти нелинейных уравнений

мож^

но свести

[15—14] к трем дифференциальным уравнениям, со­

д е р ж а щ и м

функцию

прогиба

%, силовую

функцию F и функцию

3**

7і

углов поворота cp, в ы р а ж а я прогиб w и углы

поворота нормали

к срединной поверхности заполнителя

х2 )

в виде

(2.

122)

1 — а г да

_д_

<?<p

Y

L ß

àx-2

v2 z + cU:,

где

(2.

123)

V 2 — д'2 ^/dx-f -\- д'2 [)/дх22

— о п е р а т о р

Л а п л а с а ;

h — суммарная

тол­

щина пакета; ß — коэффициент

поперечного

сдвига;

у, •& — коэф­

фициенты, зависящие

от толщин и механических характеристик

оболочки. При этом

одно

уравнение,оказывается

независимым

( 1 — 0 ) Л 2 V2 q>=2ßcp (ѵ — коэффициенты П у а с с о н а ) .

Система дифференциальных

уравнений с %, F, ср имеет общий

может

не

приниматься

во внимание.

Тогда з а д а ч а сводится к

решению

системы двух

нелинейных

уравнений

(%, F ) ,

общая

структура которой весьма напоминает соответствующие

урав­

нения

теории конечных

прогибов

однослойных

оболочек

Мар -

герра

[27]. Более того, эта система

является разрешающей — че­

рез основные функции %, F в ы р а ж а ю т с я все перемещения

и уси­

о б л а д а ю т , и для решения па их основе конкретных задач

при­

ходится вновь возвращаться к более громоздкой системе

диф­

ференциальны х у р а в н е н и й .

Г л а в а 3

Относя круговую

цилиндрическую оболочку

радиуса R, дли­

ны / к координатам

Х\=х, x 2 = s, измеренным соответственно

по

образующей

и дуге круга нормального поперечного сечения,

со­

гласно (2.99)

— (2.Ю0) приходим к следующим

линеаризирован -

„ „„

Eh

д2

Л

Л2

- ,

.

(3.1)

ѵ2 ѵ г =

R

дх2\

• 1

ß

V"

у ;

U

£> 1 — — V 2

Ѵ2Ѵ2у_

+

TV?!

— +

â2

<92 \

,

-,

Л2

V

У =

0.

(3.2)

dxds

ds2

1

2 2

ft

.

А

З д е с ь

02

,

(92

У 2 = <9л-2

Ös2

^ =

Ѵ 2 ^ = х = Ѵ 2

х = Ѵ 2 Ѵ 2 ) с = 0

при

х=0

и х=1.

(3.3)

Систему уравнений

(3. 1) — (3 . 2)

с помощью

введения

разреша ­

ющей функции %і

г,2^2

с- Eh

д2

(л

h2

л

(3.4)

R

дх2

\

a

) Ii

А

ѵ

сведем к одному уравнению устойчивости

D 1

9А2 _ , \

_ „ _ , _ , _ ,

.Eh

д*

1

V Yi

V I V V V V у, Ц

(92

- t ^ ) v

^ X i =

0 -

(3-5)

- n ^ { 1

Х г = Ѵ 2 Х і = Ѵ 2 Ѵ 2 Х і = Ѵ 2 Ѵ 2 Ѵ 2 ) С і = Ѵ 2 Ѵ 2 Ѵ 2 У л = 0 при х=0

и х = 1.

(3.6)

где m — число

полуволн

по образующей

цилиндра,

п — число

волн по

окружности,

образующихся

в момент потери

устойчи­

вости оболочек; хо — постоянная.

Вводя

(3.9)

в

(3 . 8),

придем

к

формуле

д л я

критического

осевого усилия

1 +

U [

« 2 \ 2

т2

N--

2£>зтЗ

Х2

+

ц2

Х2

'

Л2)

I т2

п2

т.1

т 2

п2 \ 2

l

+ k {

U

+

V2

"хг"

U

4 "

Я2~/

J

_£_

(3.

10)

г д е

/і2Я 2

12^2(1

_ V 2 )

0Я2

Я4Л2Ѳ

П о д б и р а я целоисчисленные

значения

т,

п,

соответствую­

щие минимуму в ы р а ж е н и я

(3. 10), найдем

наименьшее

значение

критической осевой силы

^ к р г а 1 „ =

- 2 я / ? Т О к р

т 1

п =

- ^ - ^ 1 | п .

(3.11)

Проведенные

вычисления показывают,

что при k^O,

К^0,4,

/ ^ „ п р а к т и ч е с к и не зависит от п а р а м е т р а А, (см. т а б л и ц у ) .

Таблица значений

ртіи*

при

j . i 2

= 100,

ф = 0,05,

/ г = 1 , л = 0

X

1,00

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

*

•5,4218

5,4212

5,4013

5,4134

5,4136

5,4013

5,4093

Лпіп

m

7

7

8

9

9

10

11

На рис. 14 приведены графики

зависимости

наименьшего

критического

значения

п а р а м е т р а

Р* =

Р*т1п>

определяемого из

формулы

Infi

л 2 \

/tri1

л 2

\ 2

m 2

1 +

Jut^nL)

iL

1

'

(oL + JiL)2

{ I2

' Я2 /

À2

\ 12 ^ Л2 )

от параметра

. сдвига

k дл я значений

ц.2 = 64,

1000, 5000, 10 000,

15000, 30000

п р и Ф = 0 , 1 .

С

достаточно

хорошим

приближением

эту зависимость мож ­

но получить, считая т2ІХ2+п2/я2

и т 2 Д 2

непрерывными

аргумен­

тами и проводя минимизацию в ы р а ж е н и я

дл я р*.

П о л а г а я

rrfi

, л 2

,

nfi

, л 2 \ 2

fnfi \ - і

^ < m 1 < o o , m 1 < m 2 < o o j

Легко видеть, что минимум в ы р а ж е н и я (3. 13)

достигается

на границе изменения переменных, определяемой

равенством

т\=т2,

(3. 14)

1

Um

(3. 15)

1 +

кт{1

mi

Рассмотрим два возможных

случая.

1. Пусть /г/?гI — 1, где іщ

соответствует р^п.

Здесь член

іЭ7гші<СІ и им можно пренебречь,

вследствие

чего формула

Ф о р м у ла (3. 17) дает

достаточно

точные значения Р*п1п^

если выполняется условие

1 —p./fe>».

(3.18)

(J-

*

г - 1 1

(3.20)

Уравнение

(3. 19) с

достаточной

дл я практических

расчетов

точностью может быть использовано при /г>0,2.

Согласно

(3.20) и (3. 11) п р и / е > 0 , 2 имеем

кр min "

Eh?

V

- O A , —

(3.21)..

2R

3 ( 1 - Ѵ2)

,

^(

і

і)£( -т

)

-

N

'

2nR

1 + 2

с о 5

І

, !

ѵ Ѵ ь = 0

(3

27)

ищем в форме

со

о

СО

Z i = s i n

-~L

2

a - i e / ™ / *

(3.

28)

где

— со

" • - « • ' ( S + ^ ' l ' + ^ + S ) ] -

Вводя обозначения

(3.29)

/г

' 8

/г

и подставляя (3.28)

в уравнение (3.27), найдем

связь

м е ж д у

коэффициентами

ряда

(3. 28)

ял +і/?*г — ( т л — р * ) а Я 4 - а д _ 1 / і * е =

0 при « ^ О

(3.30)

и

ф0 =

( і + 2е-2!Л/7*

при

я =

0.

(3.31)

Здесь

\

яо

'

/п2

w i l

^ w w ^

^ - f | * a

¥

. (3.32)

(m?

rfl\

тЯ

1

Infi

nï\i

^

'

Преобразуя

(3. 30)

В о з в р а щ а я с ь

к о0 ,

будем

иметь

бесконечную

цепную дробь

ÜL =

Р Н -

—

(3.34)

ао

,

...

Р^~

h — р- —

1

Фз—Р- — • • •

Теперь на

основании

(3.31)

имеет

уравнение в

виде

бесконеч­

ной цепной

дроби

0 = ^

^

.

(3.35)

*:

1I/9

, 2

из .которого можно определить как р'- при заданном

е, так и е

при заданном

р*.

Расчеты показывают, что р* с высокой точностью и всегда с

приближением

снизу может быть определено по формуле

NR __

% _

т. е. критическая

сила,

приложенная

вне центра, будет равна

чину

1 + 2 е , где е — эксцентриситет

приложения силы.

4. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ

ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ

Исследуем потерю устойчивости опертой по торцам тонкой

упругой круговой пологой трехслойной цилиндрической

оболоч­

ки,

подверженной

действию внешнего

равномерного

поперечно­

го

давления q [14,

15]. По д действием

этой

нагрузки

в оболочке

при

докрптпческом

безмоментном

состоянии .возникнут

удель­

ные усилия,

равные

^ 1 = 0 ; N ^ - q R ;

№и=0.

(3.36)

З а д а ч а

сводится

к решению

уравнения

устойчивости

« ( ' - T ' ! ) ' w ^ + ^ ^ ( 1 - M - +

+ l R £ ( l ~ y

V ) V V z , = 0 .

(3.37)

Отыскиваем решение уравнения

(3. 37) в виде

X i = X o S m — c o s — .

(3.38)