Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

И т а к , получили р а з р е ш а ю щ у ю систему уравнений			(2. 58), (2.72)
и	(2. 66) с общим порядком,	равным двенадцати,	следовательно,
на	контуре оболочки нужно	сформулировать шесть граничных
р а ж е н и е :
	5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
	Перепишем вариацию потенциальной энергии		деформации
(2.31) с учетом формул (2.40) — (2 . 41)

	^22,22 ^ і і	(^гп + у-ц) — 2Af 1 а (^12 "Т~у-іг)
	— N22 (k22 + У 3 2 ) — ио,грл	— wAp] bw} dxtdx2 - f
	Ii
	о i
— M,	1
'22

+ © Л + ™ , А ) Н ^ ' т - [ [ У ] A W +

о /

fi^alo'-

- 2 / W 1 2 8 ^ t -

(2.73)

Интегрируя по частям подчеркнутые члены и обозначая

——hNuc12 = Hu;

(2.74)

Ми—l-hNijCl3

= M,

д ля вариации потенциальной энергии, получим следующее вы ражение:

Ш = _ Я { 2 ( ^ . і + ^ « . » ) 8 " / ° +		2 ( Я и . і	+ ^а£.2	-С?/0 )8а/	+
s	i	i
+ [2	MU.i}-% Nij(bij + -'-4) + 2i		^^.i^wXdx.dx^
'J	'J	i
+ Ï [2Vj»8"<°+2 Я « 8 а « — A		f M 8 w . a +	( ^ . 8 +	^ a a . i	+
о i	i


	- / И 1 1 о ™ д +			( Ж и д 4 Г 2 Ж 1 2 , 2 + вуі 2 7Ѵі а + те>,17Ѵ11) 8и>]		rfjCjlS'-
				- 2УЙш8да \|o'o3.		(2. 75)
Отсюда		следует,		во-первых, законность отбрасывания потенци
ала	ХѴ при		вводе	выражений (2.64)	и выводе уравнения (2.72),
так	как	# і ;	и Мц	не содержат Na;	во-вторых, что естественные

граничные условия д о л ж н ы формулироваться относительно мо

ментов Hij и Мц, причем контурные	и внешние нагрузки д о л ж
ны быть приведены к поверхности,	расположенной на расстоя

нии '/г Лсіз от срединной поверхности заполнителя . Действитель но, вычислим относительно этой поверхности, например, момент

М\\	(штрих поставлен д л я отличия от				момента		Мц),	имеем
		М'п = Ми—1-		/ г 7 Ѵ и С і з =	УИи .			(2.76)
	Итак, если за поверхность приведения принять поверхность,
расположенную		на	расстоянии	Ѵг/гсіз	от срединной			поверхнос
ти	заполнителя,	то	нелинейные	уравнения		равновесия будут
иметь вид
	Ѵ 2 Ѵ 2 / 7 4- ( 1 _ ѵ) Ѵ 2 ф - = Eh {knw,22				- 2k12w,12		+
			+ htfU.ii +	™% - ™,А г )		;		(2.77)

- 2 / \ 1 2 ( £ i a - ™ , 1 2 ) + + = q + * А + Ф і ® . а ; (2.78)

Н о р м а л ь н ые перемещения		(прогиб)		w и функции			а,- через х
и ер в ы р а ж а ю т с я	следующим	образом		(ф	нормировано по-ино
му) :
	/ 1	Л2	V				(2.80)
	w = M		V				(2.80)
f	( Ѵ « х ) , -				Л2	ѵ2 х).2	(2.81)
					Р '
Тангенциальные удельные усилия через функцию F опреде
ляются по формулам
vV,,=/\2 2-l-l F; Nl3 = —		Fils; N22		= FM	+ 4'.		(2.82)
Полные удельные	изгибающие	и крутящий			моменты		имеют ви д
Ж,	•о Эл-,2
Ж,
_ L Ü ( 1 _ V ) ( 1 - 9 )		ô 2 t ?

^22	=	D 7^1 +		1		Ш
^22	=	D 7^1 +	v б)л-,2	1 —	Г	"	V 2	X
— D ( l — v ) ( l — &, <?29 .
A f u	= -	D ( l - v )	(92	1	ô / i	2 r - 2 \		l
			,	i		^	У +
, +	4 D ( l - v ) ( l - ö ' )			Q2y		02?
, +	4 D ( l - v ) ( l - ö ' )			ÖXo2		âX]2,
				ÖXo2		âX]2,

Обобщенные изгибающие и крутящий моменты, ющие параметра м а,-, записываются в форме

Н.и -	. Z > Y ( J l + v J l ) 7 + a Y ( i _ v ) _ * L _
	• D Y ( 1 -	д°-<?	_
	• D Y ( 1 -	дхідх2 '
		дхідх2 '
		Ô2a	Ö2B
Я и = _ £ ) ѵ ( 1 - ѵ ) - ^ - + - і1- £ > ѵ ( 1 - . , и 2 .			2 .

(2. 83)

соответству

(2.84)

Теперь	сформулируем несколько случаев граничных условий.
П р е ж д е	всего отметим, что граничные условия относительно

тангенциальных перемещений и тангенциальных усилий форму

лируются	точно та к	же , ка к и дл я однородных оболочек.					Так ,
например, если на крае x.f=x?				потребовать	выполнения		усло
вий Nu =	^22 = 0, то для функции			F получим	следующие	краевые
условия:	F+	4=0;	V2(F	+ W)=0.		(2.85)

Поэтому	рассмотрим	граничные		условия, касающиеся		функций
X и ф, характеризующих изгиб оболочки.
1. Край Хі = Хі° свободно			оперт:

а) диафрагма , препятствующая относительному сдвигу несу

щих

слоев вдоль

края,

отсутствует

( ® = . М ц = # , ,

= # , 2

= 0)

{

1 — — Ѵ 2 Ѵ / = 0 ; - ^ - ( 1

Ѵ а Ь = 0;

дх?\

дх?

, V

W — (1 — ѵ)

1 — = 0;

(2. 86)

dxS-r*

dxrfxo

ч-

д°-

(32

(92

= 0;

дх\дх2

х — -

б)

имеется

д и а ф р а г м а

бесконечной

жесткости,

препятствую

щ а я относительному сдвигу

несущих

слоев

вдоль

края

оболоч

ки (аи=Міі = Яіі = а 2 = 0),

1 =

І 1

*Р_= 0 .

(2.87)

дх?

дх^

дхі

Край Хі=х\°

защемлен:

а)

диафрагма ,

препятствующая

относительному

сдвигу не

сущих

слоев

вдоль

края

оболочки,

отсутствует

(w = w \ = сц =

= Я,2 =

( і -

V 8 ) z = Z . 1

= ( V 2 x ) , i = « P = 0 ;

(2.88)

б)

имеется

д и а ф р а г м а

бесконечной

жесткости,

препятствую

щ а я

относительному

сдвигу несущих слоев вдоль

кра я

оболочки

(w = w:i

= аі =

а 2

0),

Л2 Ѵ 2

Ь = 0 ;

д<?

d-j

(2.89)

= 0.

дхі

дхъ

дх-2

дх\

Край хі = Хі° свободен

от

связей. Имее м {Mn — Hn

= Qi

Н-Мі2,2=Яі2 = 0)

д х ? ^

дх22){

Г ѵ

Х— 0

—

ѵ )

—

_а_

(92

M 2

(2.

90)

( 2 - v ) - p -

V 2

_ ( l _ v ) ( l - ô ) - ^ - < p = 0 ;

дх23

(92

J 2

(9Л-1(9А-2

1,<9Л-2

дл-!

Таким образом, для рассматриваемых				случаев	оппрания на
крае существуют	по 4 граничных условия			относительно		функций
X и ф и два граничных условия для			функции F, что		соответству
ет двенадцатому	порядку	уравнений (2.77) — (2.79).
Заметим, что	уравнение	(2. 79)	имеет	решение	типа	краево

го эффекта, т. е. решение, быстро затухающее при удалении от края.' Очевидно различие решений, соответствующих краевым условиям а) и б), не должно быть существенным при определе


нии таких интегральных характеристик оболочки, как					крити
ческая	сила и частота колебаний. Это позволяет			во всех	случаях
приближенно положить ср = 0 и таким		образом		снизить	порядок
уравнении па два. Не имея возможности			останавливаться			на
этом подробно, отметим лишь, что расчеты подтверждают						это
предположение. Значительно сложнее		обстоит		дело с	третьим
типом	граничных условий. Д л я совершенно свободного				от	свя
зей края, по-видимому, можно считать		ф = 0 и игнорировать				пос
леднее	граничное условие, но при наличии		д и а ф р а г м ,		связыва
ющих	несущие слои в продольном, а особенно			поперечном		на

правлении, следует использовать полную систему уравнений. Во всяком случае этот вопрос нуждается в детальном исследовании.

	В заключение	распорядимся	постоянной, которая		появилась
в	процессе интегрирования функции f			(z). Очевидно,	что одной
из	пяти величин	À, Т2, Тз, /+,	можно	придать совершенно про

извольное значение, тогда остальные будут однозначно опреде лены. В дальнейшем примем Х=0.

6. ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Когда нагрузка, действующая па оболочку, достигает неко торой определенной величины, первоначальная форма равнове

сия перестает быть единственно возможной.	Математически это
означает, что уравнения равновесия в этом	случае могут иметь
не единственное решение. Соответствующая	нагрузка называет

ся критической, она может быть определена из линеаризирован ных уравнений устойчивости, поскольку волнообразование про исходит при малом отклонении от первоначальной формы рав новесия. Критические нагрузки, найденные из линеаризирован ных уравнений устойчивости, называются верхними критически

ми нагрузками . Итак, линеаризируем уравнения			(2.77) — (2.78).
Пусть первоначальная	форма равновесия		характеризуется
перемещениями
и Д	а Д	ш°;	(2.91)
удельными усилиями и удельными		моментами
№.., /У1?., М°...			(2.92)

Поскольку

все эти компоненты

выражены

через

функции

ср, найдем, что функциями

Х°. Ф°. F0

(2. 93)

определяется первоначальная форма равновесия.

Пусть нагрузка ри

р2, q такова,

что уравнениям

равновесия

и граничным условиям наряду с функциями

(2. 93)

удовлетво

ряют другие, отличающиеся на произвольно малую

величину,

функции

Х° + ех, ф° + £Ф, F° + eF,

(2.94)

где е — малый параметр .

Подставляя функции (2.94) в уравнения

(2.77) — (2.79)

учитывая, что функции

(2. 93)

являются

решением этих

уравне

ний, после пренебрежения в этих

уравнениях

слагаемыми с е-

приходим к уравнениям относительно %, ф и F

V2V2F=Eh

[knwiW

— 2k12wil2

+ kww<n

-f-

+ 2wij3w°12

— nfiuwM

— iafimw<u\;

(2.95)

D ( i _

v 2 ) V 2 V 2

X + F M

(ku-w°u)

2F, 1 2

(k12-w°i2)

F,n

(k„ - w%) -

№n

w,n

2 i V > , 1 2 -

W 2 > , a

ѴРі 1 зді1 +

¥ > я в д д ;

(2.96)

Ѵ г

;

(2.97)

™ = f 1

— T - V a W .

(2-98)

или, предполагая первоначальное

состояние

безмоментным

Р і = / ° 2 = 0, получим

V*V2F = Eh [knWi22

— 2/г1 2 даі 1 а + k22wtll]

;

(2. 99)

D ( \ V * ) v * V \ + F , 2 2 k n - 2 F , 1 2 k 1 2

+ F,nk22+N°nwîU-2NQnw,12

+ N°2wt22

= 0;

(2. 100)

у у Ѵ \ = т .

(2.101)

Эти уравнения пригодны дл я исследования потери устойчи

вости при малых перемещениях пологих трехслойных

оболочек

и непологих

трехслойных

оболочек

в том случае, когда потеря

устойчивости

происходит с образованием, по крайней

мере в од

ном направлении, большего числа

волн.

3197

Относительно граничных условий заметим, что,	поскольку
они формулируются относительно %, ц> п F с помощью	линейных
выражений, пх вид не изменится.

В дальнейшем будет рассмотрена потеря устойчивости сво бодно-опертых цилиндрических и конических оболочек. Поэто му, на основании замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа, полагаем ц>=0.

7. ДВА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ ПО ТОЛЩИНЕ ЗАПОЛНИТЕЛЯ

Д о	сих	пор функция Г (z)		считалась совершенно произволь
ной, но	для	практического	использования		полученных	уравне
ний необходимо придать ей конкретный вид.
Здесь мы сравним два вида распределения поперечных сдви
гов по	толщине заполнителя,			определяемых	функциями
		Л ' ( * ) = 1	и	/ 2 ' ( г ) = ( і - - ^ ) .		(2.102)

Первый закон распределения вытекает из уравнений равно весия сплошного тела с легким заполнителем (ѵз = 0). Действи тельно, из условия у з = 0 следует, что нормальные и касательные напряжения of,, о^, з3 ^ равны нулю, поэтому, решая уравнения равновесия, получим

— ^ - = 0 ; — ^ - = 0 ,

dz dz

т. е. касательные напряжения и, следовательно, деформации по перечного сдвига распределения равномерно по толщине запол нителя. По существу этот закон использовался в подавляющем большинстве работ, посвященных трехслойным пластинам и обо лочкам . Ему соответствует кинематическая гипотеза, которая формулируется следующим образом . Н о р м а л ь к исходной по верхности в заполнителе в процессе деформации оболочки по ворачивается, не искривляясь, не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярной к деформи рованной исходной поверхности [10, 11]. Отсюда следует, что аг- являются углами поворота нормали в заполнителе, дополни тельными к углам поворота нормали в несущих слоях, т. е. угла ми сдвига несущих слоев относительно друг друга.

Обобщенные моменты Нц оказываются просто частью пол

ных моментов	Mij, которая при деформации совершает работу
и на углах а,-.
Из формулы	(2. 6) —(2.9)
	/ ( z ) = z ; т о = - Г і = т 2 = Т з = ^ + = = ^ - = 1 .

Ь6

поэтому согласно		(2. 55) получим
г ) і = Ѳ ь іІ 2 = Ѳ, + Ѳ2 , г)з = Ѳ , + 2 Ѳ 2 + Ѳэ ,								(2. 103)
где
Ѳ х = t * { 1 + 2 ( Y l + y 2 ) - 3 ( Y l - v 2 ) 2 I ;						I
е 2 = з / 8 ѵ 8 ( ѵ А + ѵ . ^ ) + б ѵ і Ѵ Л ( ' і + / а ) ;								(2. Ю4)
ö 3	= 4 ( Y A a		+ V A 2 ) - 3 (yA ~ y2t2f.			J
Рассмотрим,	в каких		пределах		изменяются	параметры щ,
у.
Легко видеть,		что т ) 3 = Ѳ		принимает максимальное				значение
при Yi=Y2 . і\ = І2,		т. е. дл я оболочки симметричной структуры.
Вычисляя, имеем
		Ѳ = ^ + 4ѵ1 (^ + 3 ^ з + 2^2 ),
или, принимая у\ = 1/2 (легкий				заполнитель),
			Ѳ = 1 + Ѵ И і
Наибольшее значение этого				выражения при условиях				2([ + із =
= 1, 1^=4^3=0 равно 3, наименьшее					— 1 . Вычисления		показыва
ют, что Ѳ ^ І , поэтому оно изменяется в пределах
			1 < Ѳ < 3 .					(2.105)
Нетрудно показать, что в ы р а ж е н и е
			D =		Ѳ		(2.106)
				12(1 — ѵ2)			^	;

является цилиндрической жесткостью составной оболочки отно

сительно	поверхности,	расположенной			на расстоянии 1І2^с\з—
= 1І2^(у\і	+ уА~у2і2—уг^з)	от	срединной		поверхности	заполни
теля, т. е. относительно поверхности приведения.
Теперь получим оценку			Согласно (2. 69)
Д л я оболочки симметричной				структуры с легким		заполните
лем
		1 + 3 1 + f				(2.108)
Отсюда		0 ^ * ^ 0 , 2 5 .				(2.109)

В случае	легкого заполнителя			Ф представляет собой		отношение

суммы собственных цилиндрических жесткостей несущих слоев к цилиндрической жесткости всего сечения, вычисленной отно

сительно поверхности	приведения. Д л я жесткого заполнителя $
3*	67

претерпевает незначительные

изменения

за

счет собственной

жесткости заполнителя

на

изгиб,

однако

пределы

изменения О

не

меняются, так как і Э = 0

только

в том случае, когда

несущие

слои

являются

мембранами

(Л = ^2 = 0), а

й = 0 , 2 5 ,

когда толщи

на заполнителя

равна

нулю

(f3

= 0) . Практически

& < 0 , І .

(2. ІІО)

Наконец, для у непосредственно из формулы

(2. 70) след^ •

ют пределы изменения

0 < Y =

Ѳі +

Ѳ 2

( 2 . 1 П )

0! + 2Ѳ2 + Ѳ 3

Как следует из (2.83) и (2.84)

с точностью до членов,

содержа

щих

г}, коэффициент

I—Y определяет ту долю

общего

момента

M;J,

которая воспринимается несущими слоями

за

счет их

жест

кости на изгиб.

Второй закон распределения фигурирует в

уточненной

тео

рии

однородных

пластин (уз=1)>

согласно которой [16] сдвига

ющие напряжения

деформации

поперечного

сдвига

оказыва

ются

распределенными

по

закону

квадратной

параболы .

Используя формулы

(2.6) — (2 . 9), при

Х = 0

найдем

т 0

= -204

— ; U

315

Д л я ііь т)2, т]з имеем

выражения

[ п

, 1 6

(2.112)

Л 3 = Ѳ 1 + 2 Ѳ а + Ѳ 3 .

Из этих формул следует, что щ,

как и в первом случае, рав

но Ѳ. Это вытекает

из физического

смысла

коэффициента

D--

Eh?

12(1 — ѵ2)

не

зависящего

от

способности

заполнителя

сопротивлению

сдвигу.

Д л я •& имеем

выражение

Ѵз'з22

Ѳ + 7 (Ѳ 2 + Ѳ3 )

Ѳ і Ѳ з — Ѳ 2 2

10 ^з2Ѵа

ѲѲ,

350!

(2.

113)

Р а з л и ч ие между коэффициентами 0 для первого и второго случаев распределения сдвигов незначительное, следовательно,, различие в коэффициентах уравнения определяется величиной, ß. Значения коэффициента ß для первого и второго случаев со ответственно будут

1 2 G / 3 ( l - v 2 ) . -

Gt3(\

— v 2 )

£ 0 !

. 1

1 + - т т - Ѵз'з2

Зо

Отношение ßi/ß 2

вычисляется по формуле

Рі

/ ,

1б/з2у3

(2.115)

- = —

І + ^ і і ^ .

иг

35Ѳ:

;

Исходя из физического смысла и структуры

уравнений

рав

новесия

можно утверждать, что способность оболочки сопротив

ляться

нагрузке

будет тем меньше, чем меньше

коэффициент ß.

Тогда используя формулу (2.115), можно

сделать

вывод,

что

при уз=£^2/3 следует отдать предпочтение равномерному

распре

делению поперечных сдвигов по толщине

заполнителя,

тогда

как

при ѵ з > 2 / 3 — распределению

по квадратной

параболе .

8. УЧЕТ НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА ОБОЛОЧКИ

Форма

недеформированной

оболочки

обычно

более

или ме

нее

отличается от той идеальной

формы,

к которой

стремились

при ее изготовлении. Учет несовершенства

оболочки, начальных

неправильностей

при решении

задачи

может изменить

характер

работы оболочки и в ряде случаев приблизить результаты

рас

четов к экспериментальным . В этом

п а р а г р а ф е

приводятся не

линейные уравнения пологих трехслойных

оболочек с учетом на

чального

прогиба

и при отсутствии начальных

напряжений .

Пусть

функция

координат

w°(xi,

х2)

характеризует

от

клонение оболочки от идеальной формы

(начальный

прогиб),

тогда компоненты деформации е,7 будут вычисляться

по

ф о р

мулам

eij = 4"

(%,; Т

+ k,/W + 4

Wlt W.j + 4

(WjW.j

ЗДіЗДу)..

(2. IT 6)

а уравнения

равновесия

(2.77) — (2.79) запишутся

ів форме-

V 2 V 2 F +

(l _ V)ѵщг =

_ L E h [ { 2 k n - w , n - w ° n ) w i M

(2hw -

w,m

w%) wiU +

2w*12+2w,12

(2г»°s -

2k12)] ;

(2. 117)

3197

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ