Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

то изгибающий

момент

равен

нулю

( М = 0 ) .

докрптическом

состоянии

N<NKp

все

слои

претерпевают

одинаковую

продоль

ную д е ф о р м а ц и ю без изгиба

(у = 0). В послекрнтическом состоя

нии, когда w=£0,

из (1.68) имеем

в ы р а ж е н и е

для

изгибающего

момента

(&'о — прогиб в начале

координат)

(х) =

(х)-W0]

- D

(

—

)

(1 . 167)

к J

0 1

dx2 I dx2

Д и ф ф е р е н ц и р у я

это

уравнение

д в а ж д ы

используя

в ы р а ж е н и я

прогиба через

функцию

перемещений,

приходим

уравнению

устойчивости в форме

Эйлера

для трехслойного стержня

dx2

)

dx* 1

dx2

I •

к которому необходимо присоединить однородные краевые усло

вия, о т р а ж а ю щ и е влияние закрепления						торцов (разд.		7).
Перейдем в (1.129) к безразмерной						координате g и			безраз
мерной	функции перемещений		X	(/ — длина			стержня)
	5 = - і Н _ ;		*	=	J L Z .				(1.169)
Кроме	того, введем безразмерный			параметр			продольной		силы %2
и коэффициент сдвига к
	,	NI	. k	=	l ± _ _			( L	m y
		Dn2			$1
Теперь уравнение (1. 129)		примет вид
	XVi — J—^Lxiv				—Х" = 0.			(1.171)
		k%			/г»			V

Здесь штрих означает дифференцирование по £. Характеристическое уравнение, соответствующее (1.171)

{X=expVSk),

S (S*— l ~ y M S - ~ ) = 0

(1.172)

имеет нулевой и два действительных корня разных знаков . Пусть

S, = — К2,		5 2 = ѵ 2 .	(1.173)
Т о г д а , используя теорему	Виета,	найдем
Г 2= ? 2	Ѵ 2 = = _ І _ 1 ± І ^ 2 _		(1 174),
1 +	kl2 '	kb 1 + k\2

Эти соотношения позволяют принять в качестве искомого па раметра корень К2. Коэффициент Х - 1 имеет привычный физичес -

кий смысл — он является коэффициентом приведения длины. Дей

ствительно,	согласно	в ы р а ж е н и я м		для	х 2 и /г по (1. 174)		крити
ческую силу можем определить			так:
			ал2 я2		1 4	/ і 2 Л 2	(1.175)
	к р	/„2	(»о2	M	1 4	ß/o2	(1.175)
	к р
где / 0 = /А-'.
Остается дл я каждог о конкретного					случая опирания		стержня
определить	минимальное значение			А,	соответствующее		нетри
виальному	решению	уравнения	(1.171).

. 7777,

Х=А:П=ХІГ=0 У=хш=хш-шЩ				Х-кХп=Х!=Хш=0
х=х"=х^о	Х-кХЧ'=Хш=0			Х-кХп=Х'=Хш=0\Х-кХ=Х=Х=0 Х-кх'^Х'-Ш^Х^О
			05		1,Щ1-0,1К)
Рис. 8. Критическая сила NKp				продольного сжатого стержня при пяти видах
краевых условий				на концах стержня ( \| = 0		и \| = з т )
З а п и ш е м	общее решение уравнения ( I . 171)					в	форме
	X	(й =	А, ^		+ Ал cos Х£ 4- Л 3 -	^ І	+
				Л		V
			+	Л 4	с п ѵ 5 + Л 6 е + Д І .			(1.176)
Удовлетворяя		однородным			краевым условиям	при		£ = 0 и \| = я ,
приходим сначала			к однородной системе линейных					уравнений

относительно А-„ для существования нетривиального решения ко

торой требуем д а л е е	равенства нулю ее определителя, в			резуль
тате получаем трансцендентное уравнение относительно				пара
метра А[ѵ2 и у? через	X2 в ы р а ж а ю т с я посредством (1.174)].			Мини
мальное значение А будет соответствовать критической				силе.
В табл. на рис. 8	приведены пять случаев	опирания	стержня .
Д л я к а ж д о г о случая	дан ы краевые условия	и значения	Ат щ- За

метим, что в двух последних случаях формулы для Amin практи чески пригодны при ограничениях / г ^ 1, f><Cl. Кроме того, разни-

ца м е ж д у первым и пятым случаем состоит в наличии у послед него бесконечно жестких д и а ф р а г м

( x r a I n = l + 0 , 6 4 Ä | / [ 1 + 1,43 T/A&U + * ) ] ) .

Критическая сила, приведенная на рис. 8, равна

hP	и?	\	^ w ! [
	и?	\	^ w ! [
В случае ефе0		на	торцах
			M = N(e—е0)	(1. 177)

и уравнение (1.168) при неоднородных краевых условиях (1.177) имеет единственное решение для произвольных N за исключени ем N=NKp. Так, дл я свободно опертого стержня прогиб в сере дине пролета равен

+	( 1 - ^ ) ^ 1 Л _ ( 1 . 1 7 8 )
cos — Хл	с h - ^ - ѵл

при стремлении À—-1 он интенсивно возрастает, становясь не ограниченным. В частности при іЭ=0 наибольший момент и наи больший прогиб равны (х = 1/2)

cos —^-Хл

(1 . 179)

W„ с= (*-«о)

cos-^- Хд

Формально в ы р а ж е н и я (1.179) совпадают с соответствующи ми в ы р а ж е н и я м и дл я однородных стержней, однако в силу со отношения

Х.2 =-

; і . 180)

1 — А%2

эти формулы учитывают влияние поперечного сдвига и свиде тельствуют о том, что при приближении ./V к своему критическо му значению прогибы в трехслойном стержне нарастают менееинтенсивно, чем в однородном. Действительно, пусть

2 _ N _	*2(1 + ft)	• < l .	(1.181)
	î -s- ш	• < l .	(1.181)
	î -s- ш
отсюда
1 +	Ä(1 —(i)2		(1.182*)
1 +	Ä(1 —(i)2

что и д о к а з ы в а е т предыдущее утверждение, поскольку в случае однородного стержня в (1. 179) будет фигурировать не А, а и,.

Аналогичная ситуация складывается и при наличии попереч ной нагрузки q(x), только теперь отлична от нуля п р а в а я часть уравнения (1.132)

А ' ѵ і _	1 — kr?	ѵ.2	• X" -	qß	(1.183)

Поскольку это обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, его интегрирование не представ ляет труда il мы не будем здесь на этом останавливаться . При ведем только в ы р а ж е н и я для максимального прогиба и макси мального момента свободно опертого стержня, загруженного со средоточенной сплои Р в середине пролета.

IJ_		/7/3(1+ k\2)			(1 + кЩ ig и — и
w —- =		16D(1 +	2/гѵл2	+
\	2	16D(1 +	2/гѵл2	+
	(1 _ / г ѵ 2 ) thv — v
		t/3					; i .	184)
M					( 1 + Ш Я )		; i .	184)
M		4(1 + 2 Ш 2 +		ЬкЧі)	( 1 + Ш Я )
		4(1 + 2 Ш 2 +		ЬкЧі)
		V	J
поэтому	t g U-+00 при А,->-1			{и = л%/2; ѵ =		лѵ/2).
П о л а г а я	іУ=0	и \ = оо, из (1 . 145)			находим
		_Pß	(1 + кЩ		(1 + kW) ig и —и
			16D				[I.	185)
		_ pl{\+		k)fi)	ig и		[I.	185)
	M	_ pl{\+		k)fi)	ig и
	M
Формулы, соответствующие однородному стержню, получим,
•положив	в (1. 185) k = 0.
		11. КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ
Вернемся к рассмотрению динамических уравнений							(1.51)-—
(1.53). Эти уравнения			в рамках		принятых	гипотез, учитывают
полную инерционную силу и представляют						собой довольно слож
ную систему параболического типа. Заметим, что если							считать
несущие	слон	мембранами		(А = / 2 = 0 ) , то система становится ги
перболической. В общем случае					эта система уравнений		может

быть сведена к одному уравнению восьмого порядка с четными производными, коэффициенты которого могут быть проанализи

рованы. Однако здесь мы	ограничимся учетом	только главного
инерционного члена, имея	в виду, что влияние	остальных инер-

4 3

ционных членов на первые

частоты

незначительно. Д л я

этого в

(1.51) — (1.53) следует

положить

/ ё = 0 , D = 0 , в

результате при

ходим к следующей системе

уравнений:

J ^ L _ B

¥ L

(1.186)

дх

dt2

д Н

, Q 3 = 0 ;

J ^ _ ß *

^ +

( 7 =

(1.187)

дх

дх2

dß

Вводя функцию у и в соответствии с

(1.65)

функцию

перемеще

ний %, приходим к двум

независимым

динамическим

уравнениям-

^ Ü _ _ L . ^ L =

;

(1.188)

дх*

а*

dß

D (

l -

JL)»1

1± JL(l-JLJL)x=g.

J A

(1.189)

дх* J dx* ~

cfi

dß

Здесь

введена

скорость

распространения

продольных

волн

а = |

у .

(1.190)

Рассмотрим свободные поперечные

колебания

стержня .

П р е о б р а з у е м уравнение (1.190), используя безразмерную ко

ординату

1 = лх/1

и записывая

функцию yv (£, t)

ф о р м е

г{\,і)=±-Х{\)ысШ.

(1.191)

Вводя в

полученное уравнение

безразмерные

п а р а м е т р ы

k =

]*!L.

tt«

^ ,

(1.192)

получаем

обыкновенное

дифференциальное

уравнение

относи

тельно Х(%)

(штрих означает дифференцирование

по g)

X*1

— X™ —?s-X"

4--^-Х

(1.193)

П о л о ж и в д а л е е

X®

= expVst,

(1.194)

приходим к кубическому характеристическому уравнению, соот ветствующему (1. 193)

		0.	(1.195)
A»	ft	' Aft	^

Оно имеет, по крайней

мере,

один

действительный

отрица

тельный корень. Введем обозначения для корней

s x =

— X2; s2 =

p.2; S g = v 2 .

(1 . 196)

Теперь

Р-2 +

l +

9 о

1. 197)

ц.2, ѵ2

Х2/г»

дл я определения

корней

имеем

квадратное

уравнениее

1 + Щ 2

- = 0 .

(1. 198)

Если учесть, что

(1.199)

Х* 1 + /гХ2

то

по (1.198)

2/с»

1 +

£ Х 2 (1 +

8) +

*2&Х4

(1.200)

ѵ2 =

1 +

2(1

— 39) +

№\4

№ (

1 +

kl2 (! +

») +

/г2»Х4

Таким

образом

и здесь

корень

X можно

принять

качестве

искомого

параметра, причем

его по-прежнему

можно

трактовать

как коэффициент приведения длины, так как круговую

частоту

можно определить

формулой

£>я4

Ш я 2

\ Л

/;2я2

(1.201)

ß/5

где /о — приведенная длина

стержня,

р а в н а я

1.202)

Согласно (1. 181) при : #<0,25,

ц . 2 >0,

ѵ 2 > 0 поэтому

общее

решение

уравнения (1 . 173)

можно

записать

форме

X (6) =

Л . і Ц М . + Л

cos XI +

А,

Д,спѵ6 + А , - ^ _ +

Л 4 с М .

(1.203)

Остается, удовлетворив однородным краевым условиям, сос тавить характеристическое уравнение дл я параметра К. Краевые условия остаются теми же , что и в случае устойчивости стержня, но, кроме свободно опертого стержня Я = 1 , значение параметра X существенным образом зависит от значений k и в меньшей сте-

пени от 9, при этом приходится отыскивать корни весьма гро моздких трансцендентных уравнений.

В заключение заметим, что при •&—О

F - > — -

, л-'2

>оо,

( 1. 204)

и в общем решении (1.204) следует положить Л б = Л б = 0 . Здесь трансцендентные уравнения значительно проще и их первые кор ни могут служить хорошим приближением к корням более об щих уравнений.

12. ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

При действии продольной силы, превосходящей по величине критическую силу, прогиб стержня интенсивно растет, поэтому приближенное уравнение изгиба, основанное на предположении о імалостп нормальных перемещений w, непригодно для исследо вания закрптпческой деформации . Кроме того, в случае больших прогибов при выводе уравнений равновесия нельзя отождеств лять равновесную деформированную форму стержня с докрити-

ческой прямолинейной формой.
Пусть 5 натуральный параметр нейтральной					линии	изогнуто
го стержня, отстоящей на расстоянии				Л/2 сі 3 от	средней		линии
заполнителя, тогда уравнения		изгиба		стержня	будут	(1.60) —
(1.61)
ds							(1.205)
d?M		— W =					(1.205)
d?M	N			Q.
ds?	N			Q.
ds?		ds?
		ds?
П р е д п о л а г а я деформации стержня				малыми,	согласно		(1.47)
имеем
H =	Dy		da
H =	Dy	•%	dx
		•%	dx
Af =	Ö '	da					(1.206)
Af =	Ö '	dx	*
	У	dx	*
Q3 = Qhby.				j
Здесь у . — кривизна	стержня, вычисленная по точной						формуле
	(ß'Sl						(1.207)
							(1.207)

ds°-

Из уравнения, связывающего H и Q3 ,

имеем

1 — а Ш

hЬР-

d'd°-

dt.

, ^

а.

; 1.208)

ds2

Это

уравнение будет

тождественно

удовлетворено,

если поло

жить

ds2

(1.209)

1 — ft h2

rf'F

Отсюда

1 _

ds2

(1.210)

ds )

теперь дл я полного момента

M имеем (выражение через Ѵ Р

M =

D(\

вЛ2

(1.211)

ds2

Используя

второе

уравнение

равновесия

(1.206),

получим

уравнение, с в я з ы в а ю щ е е ХУ и w,

%h2

jß\

йГ21І.

• N

—

w =

(1.212)

ds2/

ds2

Применяя к этому уравнению оператор

|^1 —

^ d22

исполь-

зуя

(1.211), приходим

к нелинейному

уравнению

относительно w

d2w

ds2

1 +

ds2Jds2

•N

Л2

d2 \

d2W

(1.213)

ß rf«2 y dS2

или,

р а з л а г а я

обратную

величину

радикал а

в степенной

ряд, по

лучим его в форме

л м _ 1*1 —\

D2W

ds2)

ds2

rfs2/

rfS2

(1.214)

Найде м решение уравнения (1.215), считая, что стержень свободно оперт. Если сила N ненамного превосходит критпчес-

кую силу JV,;P, то естественно ожидать, что упругая кривая бу дет иметь вид, близкий к кривой, полученной при исследовании линейной задачи, поэтому положим

		гѵ (s) = f	sin ~	,	(1.215)
и для	отыскания	постоянного	параметра		/ используем	метод
Бубнова. Как известно, метод			Бубнова	решения дифференци
альных	уравнений	состоит в том, что искомая функция				аппрок

симируется рядом координатных функций с произвольными па

раметрами, которые определяются из требования							ортогонально
сти результата подстановки этого ряда						в уравнение			к	каждой
из координатных функций.
При этом получается ровно столько алгебраических уравне
ний, сколько	было у д е р ж а н о		членов		ряда, т. е. столько,					сколько
изменяется неизвестных		параметров .
Ограничиваясь в уравнении (1.214) одним нелинейным чле
ном, после подстановки		в ы р а ж е н и я			дл я ад в форме			(1.215) най
дем
Ü — /	(1 -г — fA(\4-kH)			sin Ü£- + £> — —				/ 3	Х
X ( l + 9 Ä Ö ) s i n - ^ p - J V / - ^ - ( l + Ä ) s i n - j -							=	/ r .		(1.216)
Здесь
		/г = я 2 Л 2 / § / 2 .
Вычисляя	интеграл
	1
	^ F sin -у- ds =					0,
найдем	о
найдем
^ (	l + ^ / j	a	+ W - A 4 1 + * ) / =				0.			(1.217)
Вводя Эйлерову критическую			силу
			I2	\ + к
запишем (1.217) в форме
	Л'	= ( l + ~ f 2			) '					(1.218)
отсюда
	/ = = 2 J Ç L			I / 2	L -	I .				(1.219)
					•кр

Ф о р м у ла (1.219) по

форме

совпадает

соответствующей

формулой

теории

однородных

стержней,

однако

следует

иметь

в виду, что УѴцр зависит

от /г и

т. е. от

сдвига

заполнителя и

структуры

стержня . Эта

формула

дает для

однородных

стерж

ней

достаточно

точные

результаты вплоть

до

/ = 0,2

т. е. до

значения силы N=

1,045

NKÏ>.

Г л а в а

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ ТОНКИХ

УПРУГИХ ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК

ПРИ КОНЕЧНЫХ

ПРОГИБАХ

В этой

главе

вариационным методом

получены

основные

дифференциальные

уравнения

конечного

прогиба тонких

упру

гих

пологих

трехслойных

оболочек

несимметричной

структуры,

состоящих

из

изотропных

несу

щих

слоев

и трансверсалы-ю

изо

тропного заполнителя .

В дальней

шем

на основе

нелинейных

урав

нений

введены

линейные

уравне

ния

местной

потери

устойчиво

сти.

При

построении

уравнений

для

несущих

слоев

используются

гипотезы

Кирхгоффа — Л я в э

прямой

нормали,

дл я

заполни

теля — гипотеза о несжимаемости

материала 'в

поперечном

направ

лении,

il предполагается,

что де

ф о р м а ц и я

поперечного

сдвига

по

толщине

заполнителя

распреде

лена

по

некоторому известному

закону. Кроме того, д л я всех

трех

слоев принят общий

приведенный

коэффициент

Пуассона

ѵ. Теория,

Рис. 9. Малый элемент трехслой

не с о д е р ж а щ а я

последнего

допу

ной оболочки

произвольного

вида:

щения,

при

предпосылках,

ука

/—первый

слой;

2—второй слои;

3—тре

занных выше, изложена в работах

тий

слой

(заполнитель)

[12,

13,

14].

Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кри

визны

слоев

пренебрегаем. П р и н и м а я за

исходную

срединную

поверхность заполнителя, отнесем ее, учитывая пологость обо


лочки, к декартовой системе координат хи				х2.	Положительную
нормальную		координату z	будем отсчитывать в сторону внешней
нормали	к исходной поверхности. Н а з ы в а я			несущий		слой,	рас
положенный со стороны внешней нормали,				первым		слоем,	слой
со стороны		внутренней	н о р м а л и — в т о р ы м ,		а заполнитель —
третьим	(рис. 9), введем		обозначения:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ