книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

cp = ay

dx

dx

ay= —

d x 3

'

ß

(1.121)

5 =

0.

И в этом случае число

кинематических

(w, ф)

и

статических

(Q,

М)

факторов соответствует

порядку уравнения

(1. 120). По­

л а г а я в

(1 . 104) и (1 . 113)

ô - = 0 ,

приходим

к краевым условиям

для

упруго-проседающих

и упруго - вращающихся

опор:

при Л ' = 0

D

3

= 0;

dx3

rfA-2

(1.

122)

при

х =

/

Л2_

_rf2_ 7 =

0;

Э

rfA-2

;

i .

123)

d.v-2

1

rf.v

обеспечивающих единственность

решения уравнения

(1.120).

К р а е в ы е

условия,

связанные

с

торцевой

д и а ф р а г м о й , в

дан­

ном

случае

выполняются

автоматически, поэтому

теперь

д и а ф ­

угол

ф, не деформируясь и, следовательно,

не препятствуя попе­

речному сдвигу.

Исходя

из (1 . 122) — (1. 123)

получаем

краевые условия

для

идеальных

опор:

(w = M =

0)

а)

торец свободно оперт

d4

-0;

( 1 .

124)

dxï

б)

торец жестко заделан

(оу = ф = 0 )

3

dxn-

dx

(1 .

125)

к

в) торец свободен от связей

( M = Q = 0)

d 2 l _ d 3 i

_ n

(1.126)

d.v-з

жет

оказаться

достаточно утомительной процедурой, особенно

для

нагрузок,

терпящих р а з р ы в ы

на пролете.

Н а и б о л е е эффективным методом решения подобного рода за­

дач

является

метод начальных

параметров, разработанный

Суть

метода начальных параметров

состоит в том, что произ­

вольные

постоянные общего решения

в ы р а ж а ю т с я через значе­

ров

известна заранее, поэтому объем вычислений при определе­

нии

произвольных постоянных существенно сокращается . Н о для

*

Крылов А. Н. О расчете балок,

л е ж а щ и х на упругом основании. Л . А Н

СССР, 1931 (Справочная техническая

литература) .

нородного

уравнения,

которое

бы для произвольной

нагрузки

q(x)

само

вместе со

своими

последовательными производны­

ми

вплоть до m— 1-го порядка

(т — наивысший порядок

произ­

водной в

уравнении)

в выбранной точке о б р а щ а л о с ь

в

нуль.

переменным верхним пределом, используя

в качестве ядра фун­

даментальную функцию Кошп, к которой предъявляются

следую­

щие требования:

1. Она д о л ж н а

удовлетворять

однородному

уравнению.

2. В выбранной

точке вместе

со своими последовательными

производными вплоть до m—2 функция

д о л ж н а быть

равна

нулю.

3. m—1 производная функции

в выбранной

точке равна об­

ратному значению

коэффициента

при старшей

производной в

Вводя безразмерную величину

п2=?—

,

(1.128)

приведем р а з р е ш а ю щ е е уравнение

(1. 127) к виду

, dx* Г- ) dx*

DP-

Используя

его, находим

функцию

Коши

(в качестве

началь ­

ной принята точка х = 0 )

0

W = 4 ( s h ^ - - f ^ - ! ! f ) .

(1.131)

Л 5

\

/

6

I3

I

)

Теперь, учитывая

коэффициент

при q в (1.129),

запишем

иско­

мое частное

решение в

виде

X

j

K{x-xQ)q(x0)

dx0,

(1.132)

о

где

V

I \

пх .

\

Фх^

,

пх

, ,

, 0 0 ,

К

(х) =

l

6

/з

s h — .

1.133)

v

1

/

v

'

В качестве

начальных

параметров

примем

при л' = 0

значения

следующих

величин:

dx°-

ъ

dw

dx

if-

dx'i J

dx

1

-

if-

dx°-

j

dx*

'

i l .

134)

\

„

НУП

!

//i-3

/?2

dx"-

!

dx'i

S:

rf

rf.vl

7- = Q _ Y - i Q , = ü 4 ^

имеетI

dx°

Отметим, что при ö - > 0 S =n-7 = 0 , a для ya(x)

место со­

отношение

уа

[л)

( l — %) Р-( Q - 7 ) .

(\.

135)

£>3/г2

Используя общее решение (1. 130), получаем

в ы р а ж е н и е

для

функции %(х)

-£(X)

=

W0—

ср„А'

—

_

QQI3

/

хз

. X

^ L _

V 6/3

п2/

Л Ѵ

'

0

,

0

D

\2P

1

if-bj

D

7n/3 s h , 1 J C

5 0

/ 2 ( l _ S ) Л

^ С Ь ^ ) + У ( Л ' ) .

(1.136)

Отсюда, используя (1. 134), получаем

•Ш(Л') =

7ІУ0

— ( ? 0 X

+

50/2 (l - «)

ch /г*

A

7 - 0 f 3 ( i - f t )

_ м

1

J

(x);

D%1&

S«2

rfx2'

V >'

û(2 N d/(Jc)

rfA-2

dx

ya (x) =

. (1 — fl) /2

'

„

,

ял-

I

c

и

, /гx

d3J

(x)

00

D9/z2

Q0-T0

ch— + S0

—

s h - — ß — V

5 W = 5 0 c h ^ - — ^ s h ^ - D - ^ - - ^ ^ .

/

/г

/

/і2

dx4

2

3197

33

силы Р, приложенной в сечении

х = а (рис. 7). Здесь

начальные

параметры

таковы: w0

= 0, сро = 0, М 0

= — р а , ш = 0 пли Qo=T0

= P.

Вводя

ô — функцию Д и р а к а ,

предста.вим

внешнюю

нагрузку

в виде

q{x)=à{x—a)P,

(1.138)

,Р

Рис. 7. К

определению

функции

пере­

f-

мещении

для

консольного

стержня,

нагруженного

сосредоточенной

силон

а

Р

1

тогда частное решение

будет

Р / 3

г

о

0

х<Са;

(Р/з

К{х

— а)

л >

а.

(1 . 139)

\Dii3

Д л я

функции перемещений получаем в ы р а ж е н и е

/Г-'ö

X*

\

Pß

[ хЗ .

пх

1— sh —

Л

Dn°-Ü

1

/ 2

2

D

\ /з

ІФ

/г 3

/

Dim

l - & + »ch-

P/s

in

(Л - — а)

6

п 3

(JC — а ) 3

•sh п (х — а)

( 1 . 140)

ОпЗ

(

/

Здесь фигурными

скобками

обозначены

скобки

Клебша,

обла ­

д а ю щ и е свойством

\/(х-а))-

0

х<С.а\

(1.141)

f{x

— a),

х>а,

которое

сохраняется при дифференцировании

и

интегрировании.

В выражении дл я % остался неопределенным один

п а р а м е т р

S0 , его величина зависит

от условий

закрепления

торца

х =

1.

1. Н а торце

стоит

бесконечно ж е с т к а я

д и а ф р а г м а

а(/ ) = 0 ,

или а3%1с1х3 = 0

S0=Pl

с.Іі п — ch п (/ — а)

(1.142)

п sh п

2. На

торце

д и а ф р а г м а отсутствует

S(l) = 0,

пли

d*x/dxi=0

п (/ - а)

sli п — s h

l

S0 =

Pl-

(1.143)

n ch n

Д л я

определенности

рассмотрим подробнее

второй

случай,

считая, что сила

расположена на торце

консоли

а=1. Учитывая,

что теперь / (.ѵ) = 0 , находим

Как видим, в данном случае в заделке упругая линия

стержня

претерпевает перелом, но угол поворота нормали

яр равен нулю,

следовательно, в случае заделки жестко закреплен вертикаль­

ный элемент торца .

В теории однородных стержней и стержневых

систем

для оп­

ределения отдельных перемещений и раскрытия

статической

ваясь на принципе возможны х

перемещений, получим аналогич­

ную формулу дл я трехслойного

стержня .

Виртуальные перемещения,

фигурирующие

в общей форму­

лировке принципа возможных

перемещений,

отсчитываются от

2*

35

чину. Д л я линейных упругих

систем

оба указанных ограничения

излишни: первое—вследствие

независимости действия

сил, вто­

р о е — из-за линейности выражения

виртуальной работы

относи­

тельных

перемещений

могут быть

приняты вызванные произ­

вольной

нагрузкой

действительные

перемещения,

отсчитывае­

мые от положения

системы в недеформированном состоянии си­

стемы. Такой принцип

возможных

перемещений

называется

А==~І

i f f £ - M

i S - + b a

) d x '

(

1 - 1 4 7 )

то имеем

равенство

о

~PU

+ A = Q.

(1.148)

Вводя в в ы р а ж е н и е дл я А вместо момента Й момент S,

запи ­

шем предыдущее равенство в форме

I

pD = P(J=~

j "

MM +

SS - f l l 2

°o~

& ) Q 3 Q 3 "

dx.

(1 . 149)

0

Интеграл Мора

в форме

(1. 149) неудобен, так как

необходи­

мо иметь 5 и Q 3 для обоих

состояний.

Приведем

его к

более

удобному виду. Интегрируя по частям и используя

уравнение

равновесия, представим работу

внутренних

сил так:

I

Л = - / ? а | 5 + | ' M-j^-dx.

(1.150)

Используя

д а л е е равенство

6

— Y = - — - + Y — -

1.151

dx*-

D

dx

и проводя

в (1 . 150)

еще одно

интегрирование по частям, имеем

I

і 4

=

- 7 а

5

|

о — +

(1.152)

о

П р и

отсутствии

торцевой д и а ф р а г м ы

( S = 0 )

или при

наличии

д и а ф р а г м ы бесконечной

жесткости

(сс = 0)

неинтегральное

сла­

гаемое

в (1.152)

исчезает,

,в

результате

вместо

(1.149)

имеем

равенство

(1.153)

о

Преимущество

этой

формулы

по

сравнению

с

формулой

(1.149)

состоит

в том, что угол сдвига

а

необходимо

вычислять

только дл я одного случая

загружения .

Значение

угла

сдвига

м о ж н о

определить, интегрируя

уравнение совместности

моментов

П2\

1

(1 .

154)

dx2

i2 j

у

/2

Ѵ

1

с учетом соотношений

1 — а р-

d i x

г,

va =

•

( — H

(1.155)

Db

n2

dx

\

Y

n2

dx2

V У

I

где, как и ранее,

ß/2

Р а з р е ш а я

уравнение

(1.154),

находим

в ы р а ж е н и я

для

•ya(x) и Sx через их начальные

значения

Y a ( J C ) = Y a 0 c h ^ + - ^ ^ - ( 5 0

+ A f 0 ) s h ^ ~

і —а

ch

M(x0)dx0;

да

S(x)=ya0^JLsh!l£.+iSQ

+

M0)ch'f

-М{х)-

sh

"(*-•*(>)-

M(x0)dx0;

\

(1.156)

- L / / ( J C ) = Y a 0 / 1 ^ s h

f

+

(M0+S0)chf-

~ f \ s h

П І Х ~ і Х 0 )

M

№ »

P U = P U :

И

ММ •

QQ)dx

; i . 157)

а (х)~-

(1.158)

мещений такова

же, как и для однородных стержней.

Силовой фактор соответствует перемещению, если в процессе

деформации стержня он совершает работу на данном

перемеще­

нии. Н о р м а л ь н а я

сосредоточенная сила совершает

работу на

нии прогиба

считаем, что M и Q возникают от действия

нормаль ­

ной единичной сосредоточенной силы. Сосредоточенный

момент

совершает

работу

на обобщенном

перемещении

о = у а —

dx

а в случае

Ф = 0 и \ = 1 — на перемещении

-ф. Рассмотрим

этот

вопрос подробнее. Пусть в сечении

х = а

приложен

единичный

сосредоточенный

момент, тогда при е—-О

<р(а-\-г)

— <о {а, — s) =

0;

[М(а)\

= М(а + ъ)-М(а

— ъ)=Ь,

(1.159)

Q = const.

Р а з б и в а я

интервал

интегрирования

О ^ . ѵ ^ /

на

два подын­

т е р в а л а

0^.х<а

и а<х^1

и учитывая

зависимости

M =

D-^-;

Q =

D-

(1.

160).

dx

dx*

з а п и ш ем интеграл

(1 . 153) в ф о р м е

J

=

DJLL

ÉL)-D(û^L

+

yaQ dx •

4.

dx

у

dx I

'

dx2

+

D f [ ^ ) - D ^ ^ y a Q \ d x -

dx

\

dx J

dx2

=

—[M {a)] cp (a) + M (/) cp (/) -

M (0) ?(0) +

Î Q —

dx

V

dx

ванный сосредоточенной

силой

Р, приложенной на этом торце.

В данном

случае

фиктивная

сила

совпадает

с активной

(для

•уа(х)

воспользуемся

(1. 144)].

М{х)

=

р{х

— 1);

уа

(х)

=

— ch

\-т il sh

(1.162)

D

8л 2

M{x)=x—l\

Q{x)=L

Используя

интеграл

(1. 153), имеем

I

I

w{l)

= —

Г L Ï

- / )

2

^

+ —

—

\

Г1 — ch —

- f t h / i s h —

\dx=

û

J 1

'

~

D

H

/

I I

что

совпадает с ранее вычисленным значением прогиба

(1.145).

Н а й д е м теперь

угол

ц>(а) того ж е стержня . Д л я этого в

сечении

х—а

прикладываем

сосредоточенный единичный момент, в ре­

зультате имеем

1

« о = - у Л с і з = \ h [Vi Vi + 'в) - У* (4 + *8 )1.

(1.166)