Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
5.46 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

dH - Q 3 = 0;

 

 

 

(1.60)

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dVA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d.v-2 " -g=Q.

 

 

 

 

; i . 6 i )

Эти уравнения не представляют собой полной системы, по­

скольку

содержат

четыре неизвестных функции

N,

H,

M, Qz.

Однако

эти

функции

не независимы,

так

как они

выражен ы

посредством соотношений (1.24),

(1.29)

и (1.47)

через три

функции

перемещений

ѵ,

а, ш. Д л я з а м ы к а н и я системы

нужно

либо присоединить

к

ней

уравнение

совместности

моментов H

и М, либо записать ее в перемещениях.

 

 

 

 

В данной

з а д а ч е

последний путь

предпочтительнее

в силу

простоты соотношений, а главным образом, из-за краевых усло­ вий, которые в большинстве случаев удобно формулировать от­

носительно

перемещений.

 

 

 

 

 

Переходя

в уравнениях

равновесия к перемещениям,

имеем

 

 

 

 

 

dïv =

0;

 

(1.62)

 

 

 

 

 

dfi

 

 

 

Dt

d-a

,,

•ft)

d3w

•(1 —&)ОЛ/З уа = 0;

 

(1.63)

Y - T 7 -

I"

dx3

 

 

 

dx-

 

 

 

 

 

 

 

 

D

Y tf3a

«Я-». I + q = 0.

 

1.64)

 

 

 

 

dx*

dx-\

 

 

Таким

образом,

система

уравнений равновесия

распалась

на две независимые системы, на

уравнение относительно

ѵ и

систему уравнений относительно функций ау и w.

Последние

уравнения

удобно

свести

к одному р а з р е ш а ю щ е м у

уравнению,

вводя нужное число раз дифференцируемую функцию переме­ щений %(х)

w

=

1-

S dx*

 

 

 

 

 

 

(1.65)

 

 

 

 

af3x

a Y

= - ( l

 

 

ß

dx*

 

 

 

 

 

и подбирая п а р а м е т р

ß

так,

чтобы

уравнение (1.63) тождест­

венно удовлетворялось

 

 

 

 

 

 

0 _

120(1 — »)

(1.66)

 

 

 

Е\2

 

 

 

 

 

 

Вводя (1.65) в (1.64),

приходим

к уравнению относительно

функции перемещений %(х)

 

 

 

D

1 -

Л.

 

(1.67)

 

 

 

dx* dx*

 

20

оно описывает

поперечный

изгиб

трехслойного

стержня .

По­

скольку

через

функцию

% в ы р а ж а ю т с я

перемещения,

а

следова­

тельно,

моменты

и поперечные силы, будем называть

уравнение

(1. 67) р а з р е ш а ю щ и м

уравнением .

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол поворота і|з нормали в заполнителе, моменты и попереч­

ные силы через функцию перемещений

% в ы р а ж а ю т с я

так: '

 

<і = а —

dw

 

 

 

/г2 I _ Y — ;

d-2

 

 

 

 

 

dx =

- 1 + 4 -

 

 

 

 

dxn-

dx

 

 

 

 

H-.

— Dy——

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M--

-D(l

 

_9Л2

d?_

d4

 

 

 

 

 

 

( І . 6 8 )

 

 

 

S

dxt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q 3 =

 

=-Dy^L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q=

dM

 

D

 

 

JUL

d^i

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx°- dx*

 

 

 

 

 

Теперь

легко

получаем

условие

совместности

моментов

M и Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H-

 

 

d2H

 

 

-.уA4,

 

 

 

 

; і . 6 9 )

 

 

 

 

 

 

 

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое будет использовано

в § 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

ПАРАМЕТРЫ

 

 

 

 

 

 

В р а з р е ш а ю щ е м

уравнении (1.67)

и

соотношениях

(1.65),

(1.68) естественным образом выделились

три безразмерных па­

раметра

Ѳ,

ß;

у,

полностью х а р а к т е р и з у ю щ и е

структуру

трех­

слойного стержня

с точки зрения

 

его сопротивления изгибу. Д а ­

дим им механическую интерпретацию и определим пределы их изменения.

П а р а м е т р Ѳ, входящий в в ы р а ж е н и е для изгибной

жесткости

стержня

 

12

К

характеризует взаимное расположение слоев, поскольку приве­ денный модуль упругости Е зависит только от суммарной жест­ кости слоев на продольное растяжение ( с ж а т и е ) . И з двух трех­ слойных стержней с одинаковым набором слоев тот составлен рациональнее, у которого больше п а р а м е т р Ѳ. Через безразмер ­ ные жесткости у,- и безразмерные толщины 4

:Ekllk

УЕЛ

= м - 1

(1.71)

21

п а р а м е т р Ѳ может быть записан в форме

 

 

 

 

 

Ѳ =

ylt* +

y2t*

+ Y s

t f +

3 Y l

[t, + / 3

-

Yi Ci + h) -h Ya (4 + g ] 8 +

 

 

 

 

- I -

3va [4 +

*3

+ Yi (4 +

4) -

Ya (4. + ^з)]2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+

3Y3lYi(fx +

^ - Y a ^ + ^ ] a -

 

 

(1-72)

У м н о ж а я это выражение

на Eli3bf 12

и переходя к

модулям

упругости материалов слоев,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ E2h2b

 

h, - f - I _ / / 8 - | — L hc13J

+

 

E3h3b

-L //.V'3 .

 

( 1. 73)

Теперь

видно, что D есть

нзгпбная

жесткость стержня,

 

вычис­

л е н н а я

относительно оси, отстоящей па расстоянии

 

 

 

 

 

 

 

е 0 = 4 - A

f "

=

T

 

A [Vi ft +

*3 ) - Y2

& + *3)1

 

( 1 • 74)

от средней

линии

заполнителя, — линии

приведения дл я

полной

продольной

 

силы

N. Именно

 

относительно этой линии

пзгпбная

жесткость стержня является наименьшей. В последнем

легко

убедиться,

приравнивая

нулю

 

производную от D по Сіз и перехо­

д я к

безразмерным

п а р а м е т р а м уи, 4;

в результате дл я с ] 3 по­

лучится выражение (1. 74).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наиболее простая форма записи для Ѳ такова:

 

 

 

 

Ѳ = V ( 3 - 2 Ѵ з ) +

6/3

(уА +

 

у 2 У + 4 (YA2 +

Ya'a') -

Зг?8 .

 

(1.75)

Д л я

стержня симметричной

структуры

 

( л і = г ] 2 , ti—k)

 

в ы р а ж е ­

нию

(1.75)

можно придать вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ = *,* + ( 1 - ѵ 3 ) ( 1 + * з ) .

 

 

 

(1-76)

И з

этого

равенства

легко

 

получаем

 

границы

изменения Ѳ

 

 

 

 

 

 

 

 

І ^ Ѳ ^ З .

 

 

 

 

 

 

 

(1.77)

Верхняя

 

граница

достигается для стержня, у которого несу­

щ и е

слон

не сопротивляются

изгибу,

 

а

заполнитель — про­

дольным

н а п р я ж е н и я м

 

(

 

 

=Y 2 =1/2

 

(/"1 = 4 = 0,

у 3 = 0,

/ з = 1 ) ' .

н и ж н я я граница

реализуется

 

для однородного стержня

( y i = Y 2 ~

 

 

 

 

 

Y I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0, /, = 4 = 0, ѵ з = 1 , / з = 1 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим,

что Ѳ наибольших значений достигает для стерж­

ней

симметричной

структуры,

что согласуется с

интуитивным

представлением

о характере

работы

трехслойного

стержня при

поперечном

изгибе, однако не всегда

вопросы жесткости

имеют

решающее

значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

П е р е й д ем к рассмотрению параметра ft

ft_Vl'l2

+ У2^22

,

Зуз 4уіу 2

(^2 - <,f2 +

+ уз ( Y l f t a +

у ^ )

 

Ѳ

^

Ѳ

12YVY2+ Y 3

( 4 - 3 y 3 )

'

Если заполнитель считать легким ( у з = 0 ) , то параметр

ft ра­

вен отношению суммы собственных изгибных жесткостей несущих

слоев к полной изгнбной жесткости стержня

 

 

12D

ѵ

7

Но при узфО в (1.78) имеется второе слагаемое,

обусловлен­

ное тем, что заполнитель сопротивляется продольным

д е ф о р м а ц и ­

ям. Обычно Y3<^Yb У2 и второе слагаемое мало по сравнению с первым, поэтому можно считать, что ft характеризует собствен­ ную изгибную жесткость несущих слоев. В частности дл я несу­

щих с л о е в — мембран (^ = ^ = 0 ) из

(1.78)

имеем

^ = 0.

 

Теоретически пределы изменения

п а р а м е т р а ft

весьма

широ­

ки

 

 

 

 

0 < « < 1 .

 

 

(1.80)

Верхняя граница -0 = 1 достигается, когда

трехслойный

стер­

жень вырождается в однослойный, состоящий из одного несу­

щего слоя, например, первого

 

(у2 = Уз = 0; 4 = ^ з = 0; y: = ti =

l).

Д л я

стержней

симметричной

по толщине

структуры

 

форму ­

ле (1. 78) можно придать вид (у\=у2,

t\ =

t2)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ = № ( 1

+ _ * Ь _ \

 

 

 

( 1 . 8 1 )

в случае легкого

заполнителя

 

(\ч =

Ѵ2=1/2;

уз = 0) она

сущест­

венно упрощается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

= т т ^ -

 

 

 

 

< ' - 8 2 >

Отсюда

 

 

0 < t f s £ 0 , 2 5 ;

 

 

 

 

 

(1.83)

практически

 

 

 

 

 

 

 

 

Ü < 0 , 1 ,

 

 

 

 

 

(1.84)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

это обстоятельство, позволяет в

ряде

случаев

полагать,

не т е р я я

точности, ft=0

и производить

расчет

по

более

простым

 

форму­

л а м .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П а р а м е т р у имеет пределы

изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < у < 1 ,

 

 

 

 

 

(1.85)

причем у—0, когда отсутствует

заполнитель

(уз = ^з = 0),

и

у=1,

когда несущие слои суть мембраны

(t\ = 4 = 0 ;

iî> = 0).

В ы р а ж е ­

ние дл я параметра

у таково:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y _

Ѵз<я2 +

Зуз^з [Ѵі*і +

\2h +

(Vi + V2) h] + б у ^ з (1 + t3)

 

^

щ

23

в случае

стержней

симметричной

структуры

(y,i = Y2;

U — ti)

 

 

 

 

 

2 / 3 з + ( 1 - у з ) ta(3 + ta)

 

 

 

 

п

 

8 7

 

 

 

 

 

3*32 + 2 ( 1 - у 3 ) ( 1 - М з ) '

 

 

 

 

 

 

 

П а р а м е т р

у равен отношению поперечной силы,

.воспринимае­

мой заполнителем, к полной поперечной силе

(QdQ)-

 

 

 

Как будет видно из дальнейшего,

в з а д а ч а х

поперечного из­

гиба и устойчивости стержня параметр у в явном виде

не фи­

гурирует,

однако он появляется при определении

сдвигающих

напряжений .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л я ориентировки в порядках

введенных

параметров

 

приве­

дем

их

значения

для

конкретного

случая

71 = 0,6;

Y2 = 0,3;

Ѵз = 0,1;

Л = 0,2;

/ 2

= 0,1;

/ 3

= 0,7;

с 1 3 = 0 , 3 0 ; Ѳ = 1,840; у =

0,8150;

іЭ=0,0163. И з

приведенного

примера

видно,

что

 

д а ж е для

стержня

с

достаточно

мощными

несущими

слоями

 

вели­

чина

параметра

Ф весьма

мала .

Тем

не менее

было

бы

гру­

бой

ошибкой

рассматривать

 

только

упрощенную

теорию,

поло­

ж и в

іЭ =

0. Д е л о

в том, что п а р а м е т р

(!• фигурирует

при старших

производных, поэтому, полагая О'-^О,

мы приходим к

 

качествен­

но новой

задаче, что ,в свою очередь может привести к качествен­

но отличным

результатам .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

 

 

 

 

 

 

 

Д л я полной формулировки

задачи о деформациях

трехслойно­

го стержня необходимо к уравнениям

равновесия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d ' v

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.88)

 

 

 

 

 

 

dA-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D \

ß rfA-2 /

rf.v1

'

 

 

 

 

K

 

'

присоединить граничные

условия,

о т р а ж а ю щ и е

влияние

закреп ­

ления краев

стержня и действия

краевых нагрузок.

Но

прежде

чем переходить к конкретизации краевых условий, остановимся на

вопросе определения

соответствия м е ж д у кинематическими

и си­

л о в ы м и

факторами . Этот вопрос просто и однозначно

решается

д л я перемещений ѵ(х) и w(x).

Непосредственно из внеинтеграль-

ных слагаемых

равенства (1. 46)

 

 

 

' bvN+M

(у8а-—)

- f ( ѵ - 1 H - M) yba + — 8 w

* ~ l

 

(1.90)

 

 

\

dx

I

dx

-ï-0

 

 

следует,

что на перемещении

ôo совершает работу

полная

про­

дольная

сила N, а на перемещении öm> — п о л н а я поперечная

сила

Q = dM[dx.

С л о ж н е е

обстоит

дело с угловыми перемещениями ôa

и dbwjdx,

здесь соответствие

зависит от выбора двух

независи­

мых базисных

факторов .

 

 

 

 

24

По причинам, которые легко помять, в качестве исходных фак ­ торов нами были приняты полный момент M и угол ау, пропорци­ ональный углу сдвига, после чего внепнтегралыіые с л а г а е м ы е виртуальной работы внутренних сил (1-46) однозначно опреде­ лили соответствие между моментами и углами

 

 

M •

 

 

 

dw

 

 

 

 

• ш уа —dx

 

(1.91)

 

 

ay *-*S =

y-iH M,

 

при этом законы связи между

 

кинематическими и силовыми

факторами приобрели вид

 

 

 

 

 

 

M =

D

dv

. о

 

D-

Ь

d (ay)

11-92)

dx

S =

 

b d x

 

 

 

 

\ —

 

Потенциальная энергия

деформации

 

 

 

 

 

П =

f

Ldx,

 

 

;i.93)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

dx

 

dx

 

dx-

(1.94)

 

 

 

 

записывается в виде квадратичной формы, приведенной к глав ­ ным осям,

 

 

 

 

D

df

у .

ft

(day '

 

 

 

(Y a )

 

[dx

)

 

dx)

' \ — $[dx

J

 

Л 2

( 1 _ 8 ) '

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.95)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = _ L

j v 2 - ) - — М 2 -

1 — і

 

 

 

 

 

 

.

(1.96)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ß

 

 

2£>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходя из этих

выражений

плотности

потенциальной

 

энергии

деформации, получаем

формулы Л а г р а н ж а

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

dL

 

 

 

dL

-S;

 

dL

-y-'Qs

(1.97)

1 dv

 

 

 

dj_\

 

 

 

 

à (ay)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 [dx

)

 

"

[dx

j

 

\

 

dx

 

 

 

 

 

 

и формулы Кастилияно в теории

трехслойных стержней

 

dL

dv

 

dL

 

d<p

dL

 

daf

 

dL

:ay.

 

(1.98)

 

âN

dx

 

àM

 

dx

âS

'

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Причина

выбора

в

качестве

обобщенного

перемещения

величи­

ны ау, a

не просто

а

и соответственно

y~lQ3,

a

не Q3 состоит в

25

т о м, что выбранные величины в своих выражениях через функ­ цию перемещений % не содержат п а р а м е т р а у

ау —

8 4л-2/ d.v '

(1.99)

8

ÏW = i l

Л2 rf2 S rfx2

Таким образом, выбором обобщенных перемещений и соот­ ветствующих им силовых факторов удалось исключить один из

параметров .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поставим теперь граничные условия дл я ряда

случаев

за­

крепления стержня .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н а и б о л е е общими

линейными

граничными

условиями

для

уравнения (1.88) будут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ehb

dv

 

-ii0v

 

при

x=0;

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 . 100)

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ehb

 

— ntv

при

x = l.

 

 

 

 

 

 

 

dx'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

« o ^ O ; rii^O

— жесткости

упругих

связей,

препятст­

вующих

продольному

перемещению соответственно

левого и

правого торнов. Условия (1 . 100) вытекают из равенства

N—

—Wp = 0, где сила Np

считается

положительной, если она направ ­

лена от торца. Д а в а я

 

положительное

перемещение (вправо)

левому торцу, получаем положительное реактивное

усилие,

рас­

т я г и в а ю щ е е

стержень,

 

No = nav>0,

и,

напротив,

положительное

перемещение

(вправо)

 

правого торца вызывает реактивную си­

лу, с ж и м а ю щ у ю стержень, Ni=щѵ.

Этим

объясняется разли­

чие в з н а к а х краевых условий

(1. 100).

 

 

 

 

 

Когда

жесткость

связи

равна

нулю, т. е. торец

свободен,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv-=0,

или 7 Ѵ = 0 .

 

 

(1.101)

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

Если ж е связь

обладает бесконечной

жесткостью, краевое усло­

вие приобретает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ=0.

 

 

 

 

(1.102)

Перейдем

к

рассмотрению

краевых

условий дл я

уравнения

(1.89).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р а с с у ж д а я

так же,

как

н

ранее,

получаем граничные усло­

вия дл я упруго-проседающих

опор

 

0; J

 

 

 

 

 

Q = r0w

 

при

* =

 

(

 

 

 

•Q——r,w

при

х — І. j

 

 

Здесь

г 0 ^ 0 ;

г ^ О

жесткости

упруго-проседающих

соответ­

ственно левой

и правой

опор.

 

 

 

 

 

 

Условия (1. 103) через функцию

перемещений

в ы р а ж а ю т с я

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D \ -

 

 

d4_

 

 

 

 

7_~0 при x — 0;

 

dxi

 

dx3

 

 

 

 

 

ß

 

 

 

ß

dx'

 

 

 

(1. 104)

 

 

 

 

 

 

ifi

d°-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0 при x =

l.

 

3

dx°-

dx3

 

 

 

— -

 

 

 

ß

dx°-

 

 

 

 

Здесь в о з м о ж н ы два предельных

случая:

а)

опора обладает бесконечной

жесткостью

 

 

Л 2

d-

\

п

 

я =

( 1

Т

^

)

И і

б)

вертикальная опора

отсутствует

 

 

 

 

»Л2

rf2 \ dß-ц

 

 

\

ß

dx°-J

dx*

(1 . 105)

(1.106)

Переходя к постановке граничных условий для моментов, от­

метим, что помимо внешних связей на торцах стержня

могут

быть поставлены

внутренние связи, препятствующие

относи­

тельному сдвигу

внешних слоев. Они осуществляются

в виде

д и а ф р а г м ы или путем связи с опорой. Если эти связи отсутству­ ют, это означает, что торец свободен и граничные условия за­ писываются следующим образом:

 

М = 0;

5 = 0,

(1.107)

или

 

 

 

 

 

 

 

^ L = 0 ;

 

 

= 0.

 

(1. 108)

 

rf,l-2

 

dx-i

 

 

Если д и а ф р а г м а

бесконечно

жесткая,

относительный

сдвиг

слоев на торце невозможен,

поэтому

 

 

a

Y = - (

l -

8

) - ^ g =

0.

(1.109)

27

Вид второго краевого условия зависит от условия прикреп­ ления торца к опоре. Так, если на торец не наложено внешних связей, то

 

 

Л _

_

О

( ,

_ ^

 

^

. \

А

_ 0

,

 

 

(, . ПО)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx?)

dx>-

 

 

 

 

 

а при наличии жесткого прикрепления торца

(учтено

условие

1.109)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dw

=

 

d*/

«

 

 

 

1 1 1 \

 

 

 

 

<р=.ау

 

 

-

= 0.

 

 

 

(1.111)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

В промежуточном

случае,

 

когда

торец

присоединен

к

упру­

г о - в р а щ а ю щ и м с я

опорам, граничные

условия

имеют

вид

 

 

 

 

 

М =

т&

 

 

при

х =

0;

 

 

(1

112)

 

 

 

 

Ж =

—т,ср

при

х =

1.

 

 

 

 

Здесь

іщ^О,

іпС^О—жесткость

'соответственно левой

и пра­

вой опор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а п и ш е м

условия

(1.112)

 

через

функцию

перемещений %.

Т а к же , как

и в

случае

(1 . 111),

учтем условие

(1 . 109)

 

 

п

Л

SA2

rf2

\

d2t

 

 

dy

 

 

 

 

 

Dil

 

 

 

 

^.4-171,-^

=

0 при X = l.

 

(1.113)

 

В

dx"-

)

 

 

 

 

\

 

dx*-

1

 

dx

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако

л ю б а я д и а ф р а г м а

имеет

ограниченную

жесткость,

поэтому условие (1 . 109), строго говоря, не выполняется. Фор ­

мально можно ввести коэффициенты

жесткости д и а ф р а г м ы ho,

hi

 

 

 

 

S = h0ay

при

Л ' = 0 ; J

(1.114)

5 — — Ііру

при

х

= 1 .

\

Н о в л и я н и е д и а ф р а г м ы будет зависеть не

только от ее собст­

венной жесткости, но и от изгибной жесткости несущих слоев и

заполнителя .

Кроме того,

и это

главное, влияние торцевой

ди­

а ф р а г м ы носит локальный

характер и быстро

затухает

при

уда­

лении от торца. Учитывая приближенный характер

излагаемой

теории

будем

предполагать, что

на торцах

стержня

а 5 - у = 0 .

Когда

5 = 0 — д и а ф р а г м а

отсутствует,

если ж е ау=0

— имеется

бесконечно ж е с т к а я д и а ф р а г м а .

Это

позволит

рассмотреть

два

крайних случая и тем самым в

случае необходимости

оценить

влияние упругой д и а ф р а г м ы на

напряженно - деформированное

состояние стержня .

 

 

 

 

 

 

 

В заключение сформулируем однородные граничные условия для пяти типичных случаев опнрания стержня:

28

а)

торец

свободно

оперт,

д и а ф р а г м а

отсутствует

(w — M =

= S =

0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1

1 4

 

 

• ,0;

 

 

 

 

 

(1.115)

 

 

 

 

 

 

d-x

 

 

d*x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

торец

свободно оперт,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я

диа­

ф р а г м а (w = M = ay = 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l -

^

. ^

- U

=

f

l

_

i

* l

^

^

L

= ^

L =

0;

(1.116)

 

 

ß

dx*

}

\

 

 

ß rfA-2 /

dxï

 

dx3

 

 

 

'

в)

торец жестко заделан

(ш = ф = і г у = 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л2

(і2 \

 

dx

 

rf3X

 

 

 

 

 

 

г)

торец свободен от связей

(M = S=Q

= 0)

 

 

 

 

 

 

 

^ L = Ä = M

 

~

 

- * L ) ^ = 0 ;

 

(1.118)

 

 

гіл-2

dxi

 

\

 

 

ß

 

dx*

I

dx3

 

 

 

к

 

'

д)

торец

свободен

от

внешней

связи,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я д и а ф р а г м а

(M=Q

= ау — 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 _ M . ^ J \ £ L =

^ L =

= £ L =

=

0 .

 

(

К 1

1 9 )

 

 

 

\

. ß

rfA'2

j

гід-2

dx*

 

dxS

 

 

 

 

 

'

Н а л и ч и е

у уравнений

 

(1.88) — (1.89)

восьми

линейно

не­

зависимых решений обеспечивает условие существования реше­ ния задачи, однако не гарантирует его единственность. Методом от противного легко показать, что введенные краевые условия обеспечивают единственность решения при условии, что в случае недостатка внешних связей активная нагрузка соответствующим

образом

самоуравновешивается .

 

 

 

 

 

8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

РАВНОВЕСИЯ

 

К а к

у ж е

отмечалось, п а р а м е т р f>

(1.78) обычно очень

мал .

Если

формально положить # = 0 и у=?М, то р а з р е ш а ю щ е е

урав ­

нение

(1.89)

потеряет два порядка

 

 

 

 

 

dx*

( 1 . 120)

 

 

 

 

 

29

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ