книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

dH - Q 3 = 0;

(1.60)

dx

dVA

d.v-2 " -g=Q.

; i . 6 i )

Эти уравнения не представляют собой полной системы, по­

скольку

содержат

четыре неизвестных функции

N,

H,

M, Qz.

Однако

эти

функции

не независимы,

так

как они

выражен ы

посредством соотношений (1.24),

(1.29)

и (1.47)

через три

функции

перемещений

ѵ,

а, ш. Д л я з а м ы к а н и я системы

нужно

либо присоединить

к

ней

уравнение

совместности

моментов H

и М, либо записать ее в перемещениях.

В данной

з а д а ч е

последний путь

предпочтительнее

в силу

носительно

перемещений.

Переходя

в уравнениях

равновесия к перемещениям,

имеем

dïv =

0;

(1.62)

dfi

Dt

d-a

,,

•ft)

d3w

•(1 —&)ОЛ/З уа = 0;

(1.63)

Y - T 7 -

I"

dx3

dx-

D

Y tf3a

«Я-». I + q = 0.

1.64)

dx*

dx-\

Таким

образом,

система

уравнений равновесия

распалась

на две независимые системы, на

уравнение относительно

ѵ и

систему уравнений относительно функций ау и w.

Последние

уравнения

удобно

свести

к одному р а з р е ш а ю щ е м у

уравнению,

w

=

1-

S dx*

(1.65)

af3x

a Y

= - ( l

ß

dx*

и подбирая п а р а м е т р

ß

так,

чтобы

уравнение (1.63) тождест­

венно удовлетворялось

0 _

120*з(1 — »)

(1.66)

Е\2

Вводя (1.65) в (1.64),

приходим

к уравнению относительно

функции перемещений %(х)

D

1 -

Л.

(1.67)

dx* dx*

оно описывает

поперечный

изгиб

трехслойного

стержня .

По­

скольку

через

функцию

% в ы р а ж а ю т с я

перемещения,

а

следова­

тельно,

моменты

и поперечные силы, будем называть

уравнение

(1. 67) р а з р е ш а ю щ и м

уравнением .

Угол поворота і|з нормали в заполнителе, моменты и попереч­

ные силы через функцию перемещений

% в ы р а ж а ю т с я

так: '

<і = а —

dw

/г2 I _ Y — ;

d-2

dx =

- 1 + 4 -

dxn-

dx

H-.

— Dy——

dx*

M--

-D(l

_9Л2

d?_

d4

( І . 6 8 )

S

dxt

dx*

dH

Q 3 =

—

=-Dy^L

dx

dx5

Q=

dM

D

JUL

d^i

dx

dx°- dx*

Теперь

легко

получаем

условие

совместности

моментов

M и Я

H-

d2H

-.уA4,

; і . 6 9 )

dx*

которое будет использовано

в § 9.

6.

ПАРАМЕТРЫ

В р а з р е ш а ю щ е м

уравнении (1.67)

и

соотношениях

(1.65),

(1.68) естественным образом выделились

три безразмерных па­

раметра

Ѳ,

ß;

у,

полностью х а р а к т е р и з у ю щ и е

структуру

трех­

слойного стержня

с точки зрения

его сопротивления изгибу. Д а ­

П а р а м е т р Ѳ, входящий в в ы р а ж е н и е для изгибной

жесткости

стержня

12

К

:Ekllk

УЕЛ

= м - 1

(1.71)

п а р а м е т р Ѳ может быть записан в форме

Ѳ =

ylt* +

y2t*

+ Y s

t f +

3 Y l

[t, + / 3

-

Yi Ci + h) -h Ya (4 + g ] 8 +

- I -

3va [4 +

*3

+ Yi (4 +

4) -

Ya (4. + ^з)]2

+

+

3Y3lYi(fx +

^ - Y a ^ + ^ ] a -

(1-72)

У м н о ж а я это выражение

на Eli3bf 12

и переходя к

модулям

упругости материалов слоев,

получаем

з

+ E2h2b

h, - f - I _ / / 8 - | — L hc13J

+

E3h3b

-L //.V'3 .

( 1. 73)

Теперь

видно, что D есть

нзгпбная

жесткость стержня,

вычис­

л е н н а я

относительно оси, отстоящей па расстоянии

е 0 = 4 - A

f "

=

T

A [Vi ft +

*3 ) - Y2

& + *3)1

( 1 • 74)

от средней

линии

заполнителя, — линии

приведения дл я

полной

продольной

силы

N. Именно

относительно этой линии

пзгпбная

жесткость стержня является наименьшей. В последнем

легко

убедиться,

приравнивая

нулю

производную от D по Сіз и перехо­

д я к

безразмерным

п а р а м е т р а м уи, 4;

в результате дл я с ] 3 по­

лучится выражение (1. 74).

Наиболее простая форма записи для Ѳ такова:

Ѳ = V ( 3 - 2 Ѵ з ) +

6/3

(уА +

у 2 У + 4 (YA2 +

Ya'a') -

Зг?8 .

(1.75)

Д л я

стержня симметричной

структуры

( л і = г ] 2 , ti—k)

в ы р а ж е ­

нию

(1.75)

можно придать вид

Ѳ = *,* + ( 1 - ѵ 3 ) ( 1 + * з ) .

(1-76)

И з

этого

равенства

легко

получаем

границы

изменения Ѳ

І ^ Ѳ ^ З .

(1.77)

Верхняя

граница

достигается для стержня, у которого несу­

щ и е

слон

не сопротивляются

изгибу,

а

заполнитель — про­

дольным

н а п р я ж е н и я м

(

=Y 2 =1/2

(/"1 = 4 = 0,

у 3 = 0,

/ з = 1 ) ' .

н и ж н я я граница

реализуется

для однородного стержня

( y i = Y 2 ~

Y I

= 0, /, = 4 = 0, ѵ з = 1 , / з = 1 ) .

Отметим,

что Ѳ наибольших значений достигает для стерж­

ней

симметричной

структуры,

что согласуется с

интуитивным

представлением

о характере

работы

трехслойного

стержня при

поперечном

изгибе, однако не всегда

вопросы жесткости

имеют

решающее

значение.

ft_Vl'l2

+ У2^22

,

Зуз 4уіу 2

(^2 - <,f2 +

+ уз ( Y l f t a +

у ^ )

Ѳ

^

Ѳ

12YVY2+ Y 3

( 4 - 3 y 3 )

'

Если заполнитель считать легким ( у з = 0 ) , то параметр

ft ра­

вен отношению суммы собственных изгибных жесткостей несущих

слоев к полной изгнбной жесткости стержня

12D

ѵ

7

Но при узфО в (1.78) имеется второе слагаемое,

обусловлен­

ное тем, что заполнитель сопротивляется продольным

д е ф о р м а ц и ­

щих с л о е в — мембран (^ = ^ = 0 ) из

(1.78)

имеем

^ = 0.

Теоретически пределы изменения

п а р а м е т р а ft

весьма

широ­

ки

0 < « < 1 .

(1.80)

Верхняя граница -0 = 1 достигается, когда

трехслойный

стер­

щего слоя, например, первого

(у2 = Уз = 0; 4 = ^ з = 0; y: = ti =

l).

Д л я

стержней

симметричной

по толщине

структуры

форму ­

ле (1. 78) можно придать вид (у\=у2,

t\ =

t2)

Ъ = № ( 1

+ _ * Ь _ \

( 1 . 8 1 )

в случае легкого

заполнителя

(\ч =

Ѵ2=1/2;

уз = 0) она

сущест­

венно упрощается

8

= т т ^ -

< ' - 8 2 >

Отсюда

0 < t f s £ 0 , 2 5 ;

(1.83)

практически

Ü < 0 , 1 ,

(1.84)

это обстоятельство, позволяет в

ряде

случаев

полагать,

не т е р я я

точности, ft=0

и производить

расчет

по

более

простым

форму­

л а м .

П а р а м е т р у имеет пределы

изменения

0 < у < 1 ,

(1.85)

причем у—0, когда отсутствует

заполнитель

(уз = ^з = 0),

и

у=1,

когда несущие слои суть мембраны

(t\ = 4 = 0 ;

iî> = 0).

В ы р а ж е ­

ние дл я параметра

у таково:

Y _

Ѵз<я2 +

Зуз^з [Ѵі*і +

\2h +

(Vi + V2) h] + б у ^ з (1 + t3)

^

щ

в случае

стержней

симметричной

структуры

(y,i = Y2;

U — ti)

2 / 3 з + ( 1 - у з ) ta(3 + ta)

п

8 7

3*32 + 2 ( 1 - у 3 ) ( 1 - М з ) '

П а р а м е т р

у равен отношению поперечной силы,

.воспринимае­

мой заполнителем, к полной поперечной силе

(QdQ)-

Как будет видно из дальнейшего,

в з а д а ч а х

поперечного из­

гиба и устойчивости стержня параметр у в явном виде

не фи­

гурирует,

однако он появляется при определении

сдвигающих

напряжений .

Д л я ориентировки в порядках

введенных

параметров

приве­

дем

их

значения

для

конкретного

случая

71 = 0,6;

Y2 = 0,3;

Ѵз = 0,1;

Л = 0,2;

/ 2

= 0,1;

/ 3

= 0,7;

с 1 3 = 0 , 3 0 ; Ѳ = 1,840; у =

0,8150;

іЭ=0,0163. И з

приведенного

примера

видно,

что

д а ж е для

стержня

с

достаточно

мощными

несущими

слоями

вели­

чина

параметра

Ф весьма

мала .

Тем

не менее

было

бы

гру­

бой

ошибкой

рассматривать

только

упрощенную

теорию,

поло­

ж и в

іЭ =

0. Д е л о

в том, что п а р а м е т р

(!• фигурирует

при старших

производных, поэтому, полагая О'-^О,

мы приходим к

качествен­

но новой

задаче, что ,в свою очередь может привести к качествен­

но отличным

результатам .

7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Д л я полной формулировки

задачи о деформациях

трехслойно­

го стержня необходимо к уравнениям

равновесия

d ' v

0;

(1.88)

dA-2

D \

ß rfA-2 /

rf.v1

'

K

'

присоединить граничные

условия,

о т р а ж а ю щ и е

влияние

закреп ­

ления краев

стержня и действия

краевых нагрузок.

Но

прежде

вопросе определения

соответствия м е ж д у кинематическими

и си­

л о в ы м и

факторами . Этот вопрос просто и однозначно

решается

д л я перемещений ѵ(х) и w(x).

Непосредственно из внеинтеграль-

ных слагаемых

равенства (1. 46)

' bvN+M

(у8а-—)

- f ( ѵ - 1 H - M) yba + — 8 w

* ~ l

(1.90)

\

dx

I

dx

-ï-0

следует,

что на перемещении

ôo совершает работу

полная

про­

дольная

сила N, а на перемещении öm> — п о л н а я поперечная

сила

Q = dM[dx.

С л о ж н е е

обстоит

дело с угловыми перемещениями ôa

и dbwjdx,

здесь соответствие

зависит от выбора двух

независи­

мых базисных

факторов .

M •

dw

• ш — уа —dx

(1.91)

ay *-*S =

y-iH — M,

при этом законы связи между

кинематическими и силовыми

факторами приобрели вид

M =

D

dv

. о

D-

Ь

d (ay)

11-92)

dx

S =

b d x

\ —

Потенциальная энергия

деформации

П =

f

Ldx,

;i.93)

где

2

dx

dx

dx-

(1.94)

D

df

у .

ft

(day '

(Y a )

[dx

)

dx)

' \ — $[dx

J

Л 2

( 1 _ 8 ) '

1

2

1

(1.95)

или

i = _ L

j v 2 - ) - — М 2 -

1 — і

.

(1.96)

2 ß

2£>

Исходя из этих

выражений

плотности

потенциальной

энергии

деформации, получаем

формулы Л а г р а н ж а

dL

dL

dL

-S;

dL

-y-'Qs

(1.97)

1 dv

dj_\

à (ay)

9 [dx

)

"

[dx

j

\

dx

и формулы Кастилияно в теории

трехслойных стержней

dL

dv

dL

d<p

dL

daf

dL

:ay.

(1.98)

âN

dx

àM

dx

âS

'

dx

Причина

выбора

в

качестве

обобщенного

перемещения

величи­

ны ау, a

не просто

а

и соответственно

y~lQ3,

a

не Q3 состоит в

параметров .

Поставим теперь граничные условия дл я ряда

случаев

за­

крепления стержня .

Н а и б о л е е общими

линейными

граничными

условиями

для

уравнения (1.88) будут

Ehb

dv

-ii0v

при

x=0;

dx

(1 . 100)

dv

Ehb

— ntv

при

x = l.

dx'

Здесь

« o ^ O ; rii^O

— жесткости

упругих

связей,

препятст­

вующих

продольному

перемещению соответственно

левого и

правого торнов. Условия (1 . 100) вытекают из равенства

N—

—Wp = 0, где сила Np

считается

положительной, если она направ ­

лена от торца. Д а в а я

положительное

перемещение (вправо)

левому торцу, получаем положительное реактивное

усилие,

рас­

т я г и в а ю щ е е

стержень,

No = nav>0,

и,

напротив,

положительное

перемещение

(вправо)

правого торца вызывает реактивную си­

лу, с ж и м а ю щ у ю стержень, Ni=—щѵ.

Этим

объясняется разли­

чие в з н а к а х краевых условий

(1. 100).

Когда

жесткость

связи

равна

нулю, т. е. торец

свободен,

имеем

dv-=0,

или 7 Ѵ = 0 .

(1.101)

dx

Если ж е связь

обладает бесконечной

жесткостью, краевое усло­

вие приобретает вид

ѵ=0.

(1.102)

Перейдем

к

рассмотрению

краевых

условий дл я

уравнения

(1.89).

Р а с с у ж д а я

так же,

как

н

ранее,

получаем граничные усло­

вия дл я упруго-проседающих

опор

0; J

Q = r0w

при

* =

(

•Q——r,w

при

х — І. j

Здесь

г 0 ^ 0 ;

г ^ О

жесткости

упруго-проседающих

соответ­

ственно левой

и правой

опор.

Условия (1. 103) через функцию

перемещений

в ы р а ж а ю т с я

так:

D \ -

d4_

7_~0 при x — 0;

dxi

dx3

ß

ß

dx'

(1. 104)

ifi

d°-

x = 0 при x =

l.

3

dx°-

dx3

— -

ß

dx°-

метим, что помимо внешних связей на торцах стержня

могут

быть поставлены

внутренние связи, препятствующие

относи­

тельному сдвигу

внешних слоев. Они осуществляются

в виде

М = 0;

5 = 0,

(1.107)

или

^ L = 0 ;

= 0.

(1. 108)

rf,l-2

dx-i

Если д и а ф р а г м а

бесконечно

жесткая,

относительный

сдвиг

слоев на торце невозможен,

поэтому

a

Y = - (

l -

8

) - ^ g =

0.

(1.109)

Л _

_

О

( ,

_ ^

^

. \

А

_ 0

,

(, . ПО)

dx?)

dx>-

а при наличии жесткого прикрепления торца

(учтено

условие

1.109)

dw

=

d*/

«

/л

1 1 1 \

<р=.ау

-

= 0.

(1.111)

dx

dx

В промежуточном

случае,

когда

торец

присоединен

к

упру­

г о - в р а щ а ю щ и м с я

опорам, граничные

условия

имеют

вид

М =

т&

при

х =

0;

(1

112)

Ж =

—т,ср

при

х =

1.

Здесь

іщ^О,

іпС^О—жесткость

'соответственно левой

и пра­

вой опор.

З а п и ш е м

условия

(1.112)

через

функцию

перемещений %.

Т а к же , как

и в

случае

(1 . 111),

учтем условие

(1 . 109)

п

Л

SA2

rf2

\

d2t

dy

„

„

Dil

^.4-171,-^

=

0 при X = l.

(1.113)

В

dx"-

)

\

dx*-

1

dx

*

Однако

л ю б а я д и а ф р а г м а

имеет

ограниченную

жесткость,

мально можно ввести коэффициенты

жесткости д и а ф р а г м ы ho,

hi

S = h0ay

при

Л ' = 0 ; J

(1.114)

5 — — Ііру

при

х

= 1 .

\

Н о в л и я н и е д и а ф р а г м ы будет зависеть не

только от ее собст­

заполнителя .

Кроме того,

и это

главное, влияние торцевой

ди­

а ф р а г м ы носит локальный

характер и быстро

затухает

при

уда­

лении от торца. Учитывая приближенный характер

излагаемой

теории

будем

предполагать, что

на торцах

стержня

а 5 - у = 0 .

Когда

5 = 0 — д и а ф р а г м а

отсутствует,

если ж е ау=0

— имеется

бесконечно ж е с т к а я д и а ф р а г м а .

Это

позволит

рассмотреть

два

крайних случая и тем самым в

случае необходимости

оценить

влияние упругой д и а ф р а г м ы на

напряженно - деформированное

состояние стержня .

а)

торец

свободно

оперт,

д и а ф р а г м а

отсутствует

(w — M =

= S =

0)

-

1

1 4

•

• ,0;

(1.115)

d-x

d*x

б)

торец

свободно оперт,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я

диа­

ф р а г м а (w = M = ay = 0)

l -

^

. ^

- U

=

f

l

_

i

* l

^

^

L

= ^

L =

0;

(1.116)

ß

dx*

}

\

ß rfA-2 /

dxï

dx3

'

в)

торец жестко заделан

(ш = ф = і г у = 0 )

Л2

(і2 \

dx

rf3X

г)

торец свободен от связей

(M = S=Q

= 0)

^ L = Ä = M

~

—

- * L ) ^ = 0 ;

(1.118)

гіл-2

dxi

\

ß

dx*

I

dx3

к

'

д)

торец

свободен

от

внешней

связи,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я д и а ф р а г м а

(M=Q

= ау — 0)

( 1 _ M . ^ J \ £ L =

^ L =

= £ L =

=

0 .

(

К 1

1 9 )

\

. ß

rfA'2

j

гід-2

dx*

dxS

'

Н а л и ч и е

у уравнений

(1.88) — (1.89)

восьми

линейно

не­

образом

самоуравновешивается .

8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

РАВНОВЕСИЯ

К а к

у ж е

отмечалось, п а р а м е т р f>

(1.78) обычно очень

мал .

Если

формально положить # = 0 и у=?М, то р а з р е ш а ю щ е е

урав ­

нение

(1.89)

потеряет два порядка

dx*

( 1 . 120)