книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

И с п о л ь з уя дл я заполнителя

гипотезу прямых сечениіі, полу­

чаем в ы р а ж е н и е дл я продольных перемещении

его точек

u3=u

+ z\p,

( — c ^ z s £ c ) .

(1-12)

М а т е р и а л

несущих

слоев

предполагается

абсолютно жест­

ким на сдвиг,

поэтому углы сдвига в первом и втором несущих

слоях равны нулю

дііі

, дм

= 0,

( г < г < г + А1 );

dz

дх

(1.13)

duo

dw

Gt,:

= 0,

(•

dz

дх

и + сі> — (г — с)

4 ^ - ,

(с < z <<?-)-//!);

дх

и (z, X, t) = \u-\-z4)

( — с ' < г < г ) ;

(1.14)

\a-cb-

: + с)

— ,

•А, < г < - с ) .

дх

(1.15)

теперь (см. рис. 5)

dio

и-{-ra­

•z

,

[г <

2 < г + Л1 );

—

дх

и (z, л, t) = u-j-za-

•z

dw

,

,

, .

(1.16)

—

( —

c ^ z < c ) ;

дх

dw

z ,

^

дх

du J-r

да

g

d?w

( с < 2 < с + Ах );

дх~

дх~

дх°-

в (z, X, і)-.

du

да

— z

d°-w

' — с < г < с ) ;

дх~

дх~

ол-2

du

р

да

дх

Is дх

g

а і

=

а 2 = ° .

( с < 2 < с

+ Л1 ;

— с — / z a < z <

— с);

; і . 18)

а 3

=

а 3 (л-,

jfj = а (х, t),

( — с < 2

< г).

И м е я деформации н пользуясь

законом

Гука,

найдем

н о р ­

м а л ь н ы е * н а п р я ж е н и я в слоях:

для первого слоя

{c^z^Lc

+ li\)

с-

(да

,

да

d*w \

(1.19)

\дх

дх

дх2}

д л я заполнителя

( — c ^ z ^ c )

/ ди .

да

d2w \

(1.20)

д л я второго слоя

( — с — Л г ^ г ^ — с )

a9

— h„l

с

дх

z

.

(1.21)

2

- \дх

дх"- )

Значение касательного

н а п р я ж е н и я

на

этом

этапе

м о ж н о

найти только для заполнителя

T = G a , (—cs^zs^c).

(1.22)

К а к

у ж е отмечалось,

касательные

н а п р я ж е н и я в

несущих

слоях могут быть найдены при наличии нормальных

н а п р я ж е ­

ний

из условий равновесия малого

элемента

стержня .

3. СИЛЫ И МОМЕНТЫ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Из выражений дл я нормальных

напряжений

следует,

что в-

пределах к а ж д о г о слоя они в зависимости

от поперечной

коор­

динаты

изменяются

по линейному

закону.

Это обстоятельство

позволяет введением

послойных

продольных

сил Nu и

изгибаю­

щих

моментов

Ми исключить

из дальнейших

формул

коорди­

нату

z.

Назначим

линии

приведения

д л я к а ж д о г о

слоя. Д л я

запол­

нителя естественно принять его центральную

ось ( z = 0 ) .

Для.

несущих

слоев удобны

линии

сопряжения

их с

заполнителем;

Д л я

первого

несущего

слоя

( с ^ г ^ с + Лі)

N,=b

J

\ а г =

В У

і ^ +

КУі

р з | - - ( ^

+

с

c+hi

du+

\ (1.23)

Mx

=

b

\

o1(z-c)dz^-cN1

+ Ky1t1^-

3 /

Ê L - ^ + a g ^ - " 1

3

ÔU

^ 1 1

3'

dx°-

Д л я

заполнителя

( — c ^ z ^ c )

с

du

N3

=

b

.)

[o3dz=By™;

dx

—c

с

öa

d2w

M3

= b

\ o3zdz=Dy3t32

Ѳ - 1

(1.24)

dx

dx2

J

I

Q9=à=b

'

Gadz=Ghb(4a.

Здесь

Q3 — поперечная

сила,

воспринимаемая

заполнителем.

Д л я второго несущего слоя ( — с — / г г ^ г ^ — с )

N2

= b

j

a2dz=By2^-

— Ky2

. 3àx

V

2 П

з ;

<Элг2 .

—с—hi

M2

= b

du

(1.25)

- c - ft .

з/3 j ^ - ( 4 / 2 + 3 / 3 ;

^2вд

"I

ох

ÔX2

J "

Здесь введены

обозначения

B=Ehb\

K = — Eh4\

£> = —

Ѳ

(1.26)

2

12

( D — минимальная

изгибная

жесткость

с т е р ж н я ) ,

при этом па­

раметр

Ѳ пока

ие определен. Введем

д а л е е

полную

продольную

з

силу

N' — ^ N k

и, проводя

суммирование

в этом

выражении .

находим

âa_

--12

— С13 дх2

(1.27)

дх

dx

1 / /

dw \

(1.28)

то выражение дл я полной продольной

силы примет вид

N = В

дѵ

(1.29)

дх

H—

— c,nN4-Dy

—1

.

В предыдущих

формулах

были

введены

обозначения

Ѳ — г 3 3

— З с і 3 ;

У =

(сі3~3с12гіа)

Ѳ _ 1 ;

ft — 1 _ л >

С23— Зсіосіз

I

C-22 —

о 2

'

oCn

где в свою очередь коэффициент Сц, имеет

вид

см=к

(Yi — Y2); ^ и = Y i ik+к)—Ys

(к+к);

C 2 2 = 4 2 ( 3 Y I + 3 Y 2 + Y 3 ) ;

= 3

YA (к+к)+Зѵг^з

(4 - г

к)+Y3^32;

Сзз =

Yi W

+

бѴз +

3/3

2 ) +

Y2

(4/3 2 + 6^8 + 3/3

2 ) + ѵ Л 8 -

В заключение

отметим,

что

из

в ы р а ж е н и я

для

M (1.30)

м о ж н о не только найти значение параметра 6,

определяющего

минимальную

изгибную

жесткость

стержня, но

и

положение

используя принцип Д а л а м б е р а ,

который д л я

упругих

систем

формулируется

следующим

образом: с у м м а р н а я .виртуальная

работа внешних

активных

сил

6Ae,

внутренних

сил

упругости

àA{ и сил инерции о/ равна нулю д л я всех обратимых

виртуаль­

ных перемещений, совместных с заданными

кинематическими

условиями

à(Ae+Ai

+ J)=0.

(1.36)

З а м е т и м , что введение у п р о щ а ю щ и х

гипотез равносильно

нало­

сг/, хі при х=1.

(1.37)

Мгновенное равновесие стержня

обеспечивается

внутренни­

ми н а п р я ж е н и я м и в слоях

сг 1 ; оу,

сгз", т ь Тг",Тз

(1.38)

и силами

инерции.

Д а д и м

слоям виртуальные

перемещения:

нормальные

ÔMJ ( — с — / і г ^ г ^ с

+ Л-і)

(1.39)

(Ъи + сЪа-гЪр-

,

( c < z < c +

A1 );

дх

(1.40)

S« = ( & t i 4 - z & a —zB —

;

( — c < z < c ) ;

Л -II

8н — сЬа. — zb—,

( — с — f t 2

< z < — с ) .

8 е г = 0 ,

— с —Л а < 2 < с +

А1 );

(1.41)

дЬи

1 с ^ а

— % d4w

,

( ^ < 2 < с

+ А

1 );

дх

дх

дх°-

дЬи

,

дЬа

дЧт

,

( — с < г < с ) ;

(1.42)

дх

•у

дх

— z

дх2

дЬи

— с

доа

— z дЧш

,

( — С — Л а

< 2 <

—

( дх

дх

дх*

О,

( с < г < с + / г і ) ;

8а,

( — с < г < с ) ;

(1.43)

О,

( — с — / 7 2 < z < — с).

З д е сь

через Np,

Мр,

Qp

обозначены

внешние силы

и момен­

ты, приложенные

к торцам

стержня,

с+/»,

с +

Л,

N

P

=

b

j

.°pdz;

г - / г а

(1.49)

А/ p = ô

—С—fta

j

z o p r f « — - h c w N p ,

C + fti

—с—Ht

при л:=0

(Тр =

сго; при

я = /

а р

= 0;.

Виртуальная работа сил инерции равна (обозначения приве­

дены в конце

раздела)

8 / =

— ^

dx\bv

dß

dß

о

-К*

{с*-с

J(9x 0^2

AT*

(c]o—

r 1 2 ) <92ü(9/2

- f D*Y*

7*

<92a

Ô^ÎO

ОТІУ

AT* ( о з — f i 3

)

Ô3u

1

—Э* ~ôÏ2~

дГдх

dt°-

(9л- dt2

дхі dß

!

• 8 « ;

•К(с*з—

Г ц )0/2

•D* Y

(9/2

d/2 ,

x-l

(1.50)

,ѵ=0

П р и р а в н и в а я

нулю

сумму

выражений

(1.46), (1.48),

(1.50), а

в ней приравнивая нулю множители при вариациях

независи­

мых перемещений,

приходим к

уравнениям

колебании

Если на торце

имеются такие

связи,

что справедлива

неко­

т о р а я совокупность

из группы четырех

равенств

5 и = 0 ;

уЬа-

дЬг

-0;

\оа

=

0;

aw = 0,

(1.55)

дх

то эти ж е

равенства д о л ж н ы

иметь место

и д л я истинных

пере­

мещений,

так как,

з а д а в а я виртуальные

перемещения,

мы не

указанная

совокупность из группы

равенств

и =

0:

va —

-—0;

уа =

0;

w--

= 0

(1.56)

дх

заменяет

соответствующее

граничное

условие из группы

(1.54),

H в любом случае имеем четыре

граничных

усло.вия на

к а ж д о м

из торцов

стержня . Граничные условия, соответствующие

(1.56),

называются кинематическими краевыми условиями.

Н и ж е

приводятся выражения

параметров,

введенных при

вычислении

виртуальной работы сил инерции,

Qh.4

Ѳ*;

1

12

Ѳ* = <?зз — 6г1 3 Гіз + ЗгІ3 ;

(1.57)

Y* = ( < 3 - 3 f i 2 f і з - 3fM c*3 - j - З е ц г ц ) Ѳ - 1 :

ft<.

,

« с о 3 — Зс*,Сіз— ЗСі2 Сіз

+ Зс 1 2 с 1 3

9 - = 1 - у

5

<2='s

( yî -

y:)

;

< з = y ;

( Л + 1 3 )

-

УІ

&

+ * з

) ;

^ 2 = ' 8 2 ( 3 Y

; + 3 y ; + y ; ) ;

(1.58)

+ З у 2 Ш Н М 3 Ж ' & 2 ;

< 3 = y ;

+ 6 / A + з / 3 2 ) + Y : ( 4 / 2

2 + 6 / ^ + з ^ з

2 ) + y %

3"3

Д л я статического загружения

стержня

уравнения движения

(1.51) — (1.53),

полученные

в предыдущей

главе, теряют дина­

мические члены

и п р е в р а щ а ю т с я

в уравнения равновесия

^

= 0;

(1.59)

dx