книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

q*

Н а рис. 29—33 приведены графики

зависимости

п а р а м е т р а

критического

всестороннего давления от п а р а м е т р а сдвига

д л я

конической

оболочки

с наклоном

образующей

под углом

а = 5, 25, 45, 75° для ряда

комбинаций

параметров #

и £.

О 0,1 0,2 0,3 Ofi 0,50,60,70,8 0,9/<

о

4/

0,2 0,3 Ofi 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 к

Рис. 32. Зависимость

парамет-

Рис. 33.

Зависимость

парамет­

ра Ц* критического

всесторон-

ра

<7*

критического

всесторон­

него

давления

от

параметра

него

давления

от

параметра

сдвига k для круговой коннче-

сдвига

k для круговой

кониче­

ской

оболочки

при а = 4 5 ° ; û =

ской

оболочки

при

а = 7 5 ° ;

=0,05; |=0, 8

#=0,05;

£ = 0 , 6

4. СВОБОДНЫЕ

ПОПЕРЕЧНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

Система уравнений

малых

собственных поперечных колеба­

ний трехслойной конической оболочки

такова:

Vss

^ ^ ^ c t

g «

Ü

\M

_ i l ѵ з ^х ;

( 8 . 2 9 )

г

дг2

ß У

D h - ^ ) ^ +

^ J

£

+ t

k

£

t

i - f

v - )ï - 0 ; (8.30)

(8.31)

(все обозначения

остались

п р е ж н и м и ) .

•ay =

te;0 e'a > / + 3 C 'r -t 'sin

тхп cos щ\

j

Х = Х 0 е 'ш/+зс-.ѵ s j n

irizix cos /гср:

(8- 32)

/ r =

/7 0 e'ü > '+ 4 c 'I -l 'sinm.ujc cos дер. J

r = r1eItC-1'; С = — 1п- г ° ; 0 < л - < 1.

(8.33)

(8.34)

л 2

„ -Л

<

bxe^dx

= 0;

(8. 35)

у

ѵ

ф -

It D

l

S Л2

а г 2 х с . ѵ д г х = = 0

,

(8.36)

5 д

где,

как и ранее,

ѵ Л ) =

,-2-Сл-

rf2()

П 2 ^ 2 Я 2

(С ЯГ,)2

\

rfx2

(8.

37)

»-3C-.V

ѵ Д ) =

(Сягі)з

\

dx2

Провод я интегрирование, приходим к следующей

форме

для

определения

частот

собственных

колебаний

конической

трех­

слойной оболочки:

_2_ 1_-

,4я -С

Ш

2

+ 16 С

2

„*2 .

е '-

X

Х4

,

А

4

1

(Л4 +

9Ç2) ( И 2 _і_

16^2)

1+

т?тт

/л2 + %2

X

(Л-1 — 9Ç2) (/Vi — Ç2)+

J6Ç2 (Д4 _ 3С 2) _

12С2/Д2

m 2 +

4Ç2

1 — е 2 с "

2*8

( М — 2 і 2 ) [(М — К2)2

+

4тК2}

1 _ е 4 ^

* 2

m2 + Ç2

- ( - [ A 2 cos2

a

1

_

о 6 ^

А

(m2

+ 9Ç2)

{т2

+ 161?)

1 — е8

3

(М — 16Ç2) ( М _

4£2) _

32С2да2 + 36С2(.<И — 8Ç2 )

(8.33)

\2Щ(\

— ѵ2)

X.2 =

—

;

/г =

;

M = m2-\

À2 .

(8. 39)

sin 2 a

?^[2

1 я2

Д л я цилиндрической

оболочки

(8.40)

a—»0; С—>0; V^P/R2;

RX=R.

Д л я оболочки,

целе ­

у

которой параметр

£ 2 > 1 , формулу (8.38)

сообразно записать так:

О ) * - =

2

m2Y]2+16

-•;

Xj4

1

4

/г

(/И,!

+ 9)(/п2г)2+16)

X

х;^

3

X;

те2т)2 -)- 9

+

( 8. 4 1)

m2ï)2 +

4

(Мі — 9)(,И( — 1)

+ 1 б < Л<Га — 3) — 12да2т)2

, 2 И

(М, — 3) [(.'И, — 1)2 +

4m2-r]2]

m2ï]2 + 1

4+

+

cos2

a

^

+ ) W + 1 6 )

^ Х І

при этом

( Ж , — 16) (Mx —94) — 32^2^2 +

36 (Mi — 8) j

sin2a

'

Я2

(8.42)

Из выражений (8.38),

(8.39) следует, что

минимальной

круго ­

вой частоте соответствует одна полуволна в направлении

обра ­

зующей (т = 1).

Г л а в а

9

V

W =

- ^ V * ( 1 _ - ^ V S ) X ;

(9.1)

fl(l-^V2)vVx

+ |

v 2 f 4 - ^ V 2 ( l - | v j ^ 0 ,

(9.2)

где R—

радиус срединной поверхности

сферы;

V 2 — оператор

Л а п л а с а

в сферической или полярной

системе

координат; пос­

П о к а ж е м , что

значение

критического давления

не зависит

от краевых условий для функции тангенциальных усилий F.

Действительно,

выполняя

операцию Л а п л а с а

над

уравнени­

ем (9.2) и используя уравнение

(9. 1), получим

уравнение

толь­

ко относительно функции %

D(l-f

V 2 ) VW *

+ ~

V ( l - f V 2 ) X 4"

+ ^ ѵ Ѵ ( і - ^ - Ѵ 2 Ь = 0 .

(9.3)

Введя

произвольную гармоническую функцию

/,

запишем

урав­

нение

(9. 3) в виде системы двух

уравнений

я(і -*£ v-jv v x 4 - f ( i v j х + ^ v2 (i

(9.4)

V 7 =

0.

(9.5)

Используем д а л е е

новую функцию

%і согласно

равенству

x = z i + - ^ - / ;

(9.6)

v W = i £ . v « ( i - - ^ v » ) x x ;

(9.7)

+ - Т

^ Ѵ * ) х і = 0 .

(9.8)

Если

дл я функций % можно

сформулировать три

независимых

от F

краевых условия, а это

так в подавляющем

большинстве

лю.

Д л я

доказательства

достаточно

сформулировать эти крае ­

вые

условия относительно %\, тогда

вследствие

единственности

решения

краевой задачи

дл я уравнения Л а п л а с а

(9. 5)

получим

/ = 0

и система (9.7) — (9.8) будет эквивалентна

системе

(9.1) —

(9.

2) .

лочки. Пѵсть

Ѵ 3 Х і = - ^ / і -

(9-9)

И з (9. 8) находим в ы р а ж е н и е интенсивности (внешнего

давления

q в зависимости от параметра X2

1 + —

X2

Я*- = й)?

9-

+ —

(9.10)

•

À-'

ß

Вводя безразмерные параметры

_

А2Л 2 _

1 2 Я 2 ( 1 _ Ѵ 2 )

2Dn2

ß/?2

ѲА2л'і

/ П і = Х 2

- ^ - ,

(9.11)

Я-

перепишем (9. 10) в форме,

полностью совпадающей с

в ы р а ж е ­

диуса

R

q . =

\±£*L

/ П і

+ Л .

(9.12)

1 +

Ігпц

nii

Повторяя

рассуждения

разд.

2 гл. 3,

получим

следующие зна­

чения параметра критического

давления:

п р и

•

'•

«

1

1 — R'.J.

П р и

[J-ft У~ѵ

1

m,

-^; g'mla

= V.V'o+—

.

(9-14)

О д н а к о должно еще существовать решение уравнения

V ! X i + - | m l X l

= 0

(9.15)

темы координат,

вследствие чего

формулы

(9.13) — (9.14) будут

д а в а т ь несколько

заниженные

значения критического

давления .

Уравнение

(9. 15)

будет иметь нетривиальное решение при зна­

чениях

m i ,

удовлетворяющих

следующему

условию:

я 2 т 1 = т

(m-j- 1),

(9.16)

из этого

уравнения может быть

определен

параметр

волнообра­

З а д а ч а устойчивости пологого сферического сегмента

с радиу ­

сом основания а, свободно опертого по контуру,

решается

ана­

логично, так как краевые

условия для % приближенно

м о ж н о

принять в форме

Z = V 2 z = V 2

V ï z = 0

при г = а ,

( 9 . 1 7 )

где г — полярная координата .

Параметр %, фигурирующий в уравнении

( 9 . 9 ) ,

определяется иа

характеристического

уравнения

І„(Ы)=0,

( 9 . 1 8 )

где Jn(x) — функция

Бесселя первого

рода

п-то порядка;

п —

число волн

по окружности

основания

сегмента,

образовавшихся

в результате потери

устойчивости. Числа

Ха и п определяются

так, чтобы

параметр

был (в зависимости

от

характеристик

оболочки)

ка к можно ближе к одной из величин

Я 2

и.

Я 2

( 9 . 1 9 )

R2

ф

соответствующих минимуму

правой

части

( 9 . 1 0 ) . Здесь R— ра­

диус оболочки; ц., k — безразмерные

параметры .

Краевые условия

( 9 . 17)

соответствуют

свободному

опира-

пользовано

и для других

случаев закрепления,

если

минимум

праівой

части

( 9 . 10) реализуется

не на первом корне

уравнения

( 9 . 1 8 ) ,

т. е. если

при потере устойчивости

основная

вмятина

охватывает

только

часть

сегмента,

что обычно

имеет

место.

В противном

случае

следует

составлять

характеристическое

уравнение с учетом

действительных условий

закрепления .

2.

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОГО

СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА

П о л а г а я

<в ( 9 . 2 ) <7 =0

и д о б а в л я я

поперечную

инерционную

силу, приходим

к

уравнениям

малых поперечных

колебаний

трехслойной

сферической

оболочки:

V V F = - ^ v ! ( l - ^ V s ) x ;

( 9 . 2 0 )

D { 1

V2)^+TV'2F+Qhu{1

- Y V ' 2 ) X = 0 ,

( 9 ' 2 1 )

Полагая, что функции

F и % являются гармоническими

функци­

ями времени

F — Fn

cos«/;

получим систему уравнений для определения собственных

час­

тот

(9. 23)

° {1

-

Т

Ѵ 2 )

^ Х О

+ ^

" Ѵ ^ „ -

Q//-2

( l - Y V

J XO = 0 .

( 9 . 2 4 )

I I

здесь легко

доказывается,

что

собственная частота не за­

висит от вида краевых условий для F0 и определяется только из

уравнения

D

(

L -

J

V 2 ) v 2

V 2 X O - ( Q / ^ +

^)

( l - Y

Ѵ а )хо = 0 .

( 9 . 2 5 )

Однако

на первую

собственную

частоту

вид краевых

усло­

вий

функции

%о влияет

более существенно, чем на величину

кри­

рень характеристического

уравнения.

Действительно,

пусть

Ѵ 2 Х о = - Х 2 хо ,

( 9 . 2 6 )

из уравнения ( 9 . 2 5 )

получим

ѴІІ2

1 Ч- —

Х2

Eh

(9. 27)

QACÜ2 =

D X 4 -

1

+

у Х »

отсюда следует, что наименьшему

значению

со соответствует

наименьшее значение л.

Положим

V - X O = ^ - z x 0 ,

(9.28)

после подстановки

(9.28)

в уравнение

(9.25)

приходим к куби

ческому уравнению для параметра

z

( 1 — Ш)г2—%2{\

— кг) = 0 .

(9.29)

Здесь

,

Л 2 я 2

9

/ ? '

/ ,

о

Ell

(9. 30)

k =

; V-

о/хог —

Н2

Dn4

\

R2

Используя теорему

Виета,

имеем

соотношения

Zi +

z2 +

z3

=

I

\

«1*2 +

22*8+«8*1 =

(9.31)

Здесь

2 ] , z2,

Zi — корни уравнения (9.29). Пусть

z\ действитель­

ный

отрицательный

корень

(9. 32)

тогда

из (9. 29)

имеем

у.2

= Х*

1 +

кѵі?

(9. 33)

1 +

№

Остается

выразить

z2

и г 3

через

К2, они являются

корнями

квад­

ратного

уравнения

и- —2 — :

и-\

kv

•—— =

0,

(9. 34)

2кѵ

1 + k\?

решая которое

получим

1 + kv),?

1

(9.35)

2кѵ

(1

+ ftX2)(l +

кѵЩ

z = if

=

1 +

кѵі?

Akvl?

Как

правило,

2kv

1+1V1

(1 + к\2) (1 +

kv\?)

4kvK2<^\,

поэтому

a =

t

X2

(9. 36)

1 4- AX2

1 +

kvl*

2toX2

(1 + Я 2 ) ( 1

4-toX2)

Если изгнбной жесткостью несущих слоев можно пренебречь

(у<СІ),

а при определении

низших

частот

это допустимо

в по­

д а в л я ю щ е м большинстве

случаев,

то следует

положить

г| = оо.

Теперь для %о в случае

замкнутого

в вершине

сегмента

имеем

общее

решение

А / л ( ^ - г )

+

£ / л ( - ^ г) +

С / , ( ^ г ) ] cos я* .

(9.37)

Здесь

Jn(x),

Іп{х)

—соответственно

функция

Бесселя

и

моди­

фицированная

функция Бесселя

первого

рода

порядка

n; г —

полярная координата

(0<г<а);

п — число волн

по окружности.

Если приближенно принять дл я свободно опертого

сегмента

краевые условия в виде

Хо =

Ѵ2Хо =

ѵ Ѵ х о = 0, при

г=а,

(9. 38)

то из

общего

решения

(9.37)

получаем

характеристическое

уравнение

Jn(h)=0,

(9.39)

где

ѵ = х Х

:

( 9 , 4 0 )

а — радиус основания сегмента.

П р и

этом частота

свободных

колебаний

определяется

по фор­

муле

№

D

, 4

1 + k\vli2

I

Eh

(9.41)

—

Aj

1 +

— -

R?Qh

a-iQh

АіХ^

Здесь

h°-

(9.42)

Рд2

Д л я

жестко

защемленного

сегмента краевые

условия

будут

1 - 7 - Ѵ а ) х о = - ^ -

=

| : Ѵ 2 Х о =

0,

при г=а.

(9.43)

Используя общее решение (9.37), получаем

характеристическое

уравнение

( 1 +

k^Vn

W ;

( 1 - V i ) Л, Ы ;

( 1 -

/„ ( \ ) ;

V / W ;

Ѵ Л ъ ) ;

= 0

(9.44)

г д е

,

и

,

яа

„

па

„

л і = - ^ - л ;

^ І = - ^ - ! А ;

, І І = - ^ - 1 І ;

А1

А2

(9.45)

=

ß a 2

Д л я осесимметричных

колебаний

в случае, когда

изгибной

жесткостью

можно

пренебречь,

уравнение

(9.44)

приобретает

вид

( 1 + А/г)З/У0 (ХХ ) І

Х (

Н )

+

У, (X,) / 0

(ix,) =

0,

(9.46)

при

этом

(9.47)

/ 1

+

krf

с

/

cos CD;

Х-

1 — т) cos Ѳ

С / 1

_

TJ2

(10.2)

y = ~

T T

s i n t

p ;

1 — i\ cos Ѳ

ei) sin Ѳ

1 — 7) cos Ѳ

( 0 < < р < 2 і г ;

_ я < Ѳ < л ) .

Здесь с — размерная

величина,

связанная

с

радиусами

а и R

равенствами

Л — Т)2

/ 1 -

7)2

;ю. 3)

П а р а м е т р ы

Л а м е

и

радиусы

главных

кривизн для координат

Ф = .ѵі, Ѳ =х2

соответственно

равны

А =

с

CT)

1 — f] cos

0

А = - 1 — т| cos Ѳ

(10.4)

СУ]

cos Ѳ — ті

л 1

В докритическом

безмоментном

состоянии

в

оболочке

возник­

dQ

1 dQ

(10.5)

— q.

Ri

R2