книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

X f — + (2 + v) —

Л2

Xx +

V 2

/ X

U s 2 ' V

'

(5x2

(7.81)

Отыскивая решение в форме

ПХ

-

/М

(J. 82)

У =

Уп sin

sin

(/—длина оболочки; R—радиус;

n—число

/волн по

окружности;

Хо— const), получим

формулу дл я

критического

всестороннего

внешнего

давления

! + »*(--

-

£>д2

Х2

Я2

+

12

М

М 2

A3

,' /г2

1

П?_

_1_

J

1_

V Jt2

1 + kl

+

Я2 ~

я2 +

2

~Х2

1

Л 2

Х2

2

\2

+

2п2

Я2~

~Х2~

Я4

_тг2_

1

1_\2

Я2

Я2 " r 2 À 2 J ( Я 2 +

XХ2

_LU£i+

_L^2

(7.83)

Х4

Я2

'

2X2 I I

П2

^

Х2,

в которой

12/?2(1 _

Ѵ 2)

;

Ä=

Л2Я 2

(7.84)

Я4Л20

P/P

Наименьшее значение # при целоисчисленном

п будет критичес­

ким всесторонним

давлением .

Д л я случая пологой оболочки

(л 2 3>1)

формула

(7.83) перехо­

дит в формулу (3. 44)

1 / г 2

1

1

\ 2

Р я 2

^ Я 2

Х2 )

(І

+

Х*~)

+

# з

L

П2

+

1

1

1

Я2

Х2 I

Я2

+

2Х2

+ Х4

I i i

_ L

(7.85)

^2\У

Я 2 +

Х2

я2

Здесь, как и ранее, / — длина оболочки; R — радиус;

п — число

волн по окружности; у\ — параметр, характеризующий

наклон вин­

товых складок, о. и b — постоянные параметры .

П о д с т а в л я я (7.87) в уравнение

ß

/I

^

R2

ds2lds2

X

X

г

д2

d2

Xi

j _ £7г_ d4_ f j

Л2

— + (2 +

v) —

/?2

ÖA-4

ß

ds2

1

v '

dx2

+ 2iV°2 -

f

[

v

¥

1

V

-

1 +

V

02 „

!

(

7 .

8 8 )

• vR2

# 2

< ? * 2 Д

ß

| / a

V

приходим к следующим двум

зависимостям:

'

Ыі2

д

1

- f —

2»2

X

D

£ 2 1

4

R

- l

1

1

1

X

Л

\ 4

Д

2

1

.

1 + v

W\

It

= 0,

• V

# 2

R2

~R

-

T

(7.89)

где введено

обозначение

R

~

l

j

R2

личину сдвигающего усилия N[2°.

Минимальное

значение

Л^іги

и является критическим.

Д л я лоболочек средней длины

п 2 3 > 1 , вследствие

чего уравне­

ние (7. 89) ''существенно упрощается за счет пренебрежения

под­

6

3197

141

Г л а в а

8

УСТОЙЧИВОСТЬ

И КОЛЕБАНИЯ

КРУГОВЫХ

КОНИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

1.

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть

го, г\.—.расстояния

по образующей от

вершины

кону­

са до верхнего и нижнего

основания; а — угол

полураствора

ко­

нуса;

/=/'і — /о — длина

оболочки по

образующей; г — координата,

изме­

ренная от вершины

конуса;

ср — по­

лярный угол (рис. 22).

В этой системе координат урав­

нения

устойчивости (2.99)—(2.100)

примут вид

v

х;

,^

Eh

ctg а

д2

Л

h2

Ѵ 2 Ѵ

дг2

2

(8.1)

Рис. 22. Круговая коническая оболочка

O l l

1

д2

h2

x = 0 .

(8.2)

дг2*

г

дг

r2sin2a

dz2

! - - ^ V 2

1 1

Граничные

условия

для свободно

опертого по

торцам

конуса

будут: Л/'11

= е 2

= ш = Я 1

1 = М п = 0 при г=г0

и г=г\.

В

разрешаю ­

щих функциях

F и % граничные условия

имеют вид

№ u = - N - ^ \

УѴ°2

= 0; №п=0.

(8.5)

Проведем замену

координаты

г,

полагая,

что

г = Гіе«л;

(8.6)

причем

С =

— І п ^ ,

(8.7)

л

гх

поэтому

0 < х < 1 .

(8.8)

З а д а д и м функции w, %, F в форме

w =

7<у0езс"л'5і и тлх

cos іщ\

1

X =

/Cüe 3 c "'v s n

l тях

cos щ\

|

(8.9)

F =

FUе4с~л'

sin иглх cos до .

J

Здесь n—'Число

волн по окружности; m — число

полуволн по

образующей; w0,

Хо,

— константы.

рания оболочки по торцам:

w =

0

при л: =

0, х = \

(8.10)

и, .кроме того, <в пределе

—?-0) соответствует точному

решению

для трехслойного кругового

цилиндра.

Вариационные уравнения задачи в форме Бубнова

имеют

вид (5]:

1

f iѴ,;2 Ѵ/F -

Ehv*w)

bFe^dx

=

0 ;

(8.11)

ô

i

1 - 4 -

V « 2 1 X ~ w

1 *xeKKXdx

=

0;

(8. 12)

о

I

N

d°~

,. d

,

5 г г ) е 2 С я Ѵ л = 0 )

(8. 13)

A

(СЛіЯ)2^дг2

лС —

\w

1

й?дг

,

А2Я 2

.

,

n2 . „

*

T W

(8.16)

.

й =

p/?2

M=m--\

X2

o* =

£ я 2

П

Я2

' '

Переход к цилиндрической

оболочке

осуществляется, когда

а — 0 ; С - > 0 ; X 2 - , / 2 / / ? 2 .

Д л я оболочки, у которой

параметр

£ 2 ^ 1 ,

формула (8.15) мо­

жет быть записана так:

Р-

5

6,25 +

тЦ2

1

9)(16 + /K2i]2) X

41?

6,5

+ ^ 2

4_ _k_

(Afj +

1 + 3 Х^

9 + «2т]2

7Г

T

+

t

[(/ѴІ! — 1)2 + 4

2

)2]

x,2

( M

— 3)

1

+

2 2

W

(9

/H TJ

2

a

(J. A x

•

+ m2-/]2) cos

(8.17)

16)

— 4) +

(Mj _

36 (.Wj — 8) — 32/»2n]2

г д е

5t2

y V l

= m 2 i ï : i + -

Ч 2 ; тіа =

(8.18)

sin-* a

1

Л2

0,1 0,2 0,3 (fr 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 A

О

0,10,2 0,30,4 0,50,60,7 Oß 0,0 К

Рис. 23. Зависимость параметра р*

Рис. 24. Зависимость параметра р*

критического

продольного

сжима ­

критического

продольного

сжима ­

ющего

усилия от параметра

сдви­

ющего

усилия

от параметра

сдви­

га k

для

круговой

комической

га k для круговой конической обо ­

оболочки при а = 2 5 ° ;

• 8 , = 0 , 1 ; і = 1 0

лочки

при а = 2 5 ° ; д = 0 , 1 ;

| = 2

3.

КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА

ПРИ ВНЕШНЕМ

РАВНОМЕРНОМ

ВСЕСТОРОННЕМ

ДАВЛЕНИИ

З д е сь дадим формулу

дл я определения критической

нагруз­

ки тонкой упругой круговой прямой

трехслойной

конической

оболочки при внешнем равномерном

всестороннем

давлении q

[14, 15]. При этом удельные

усилия

безмоментного

состояния

равны

№ --

-qr ig a;

/ Ѵ 2 0 , = ~qr

ig а; №п =

0.

(8. 19)

Представим функции w, %, F в форме

w=w0e3^x

sin ях cos /іср;

Х = Х 0 е

sin лх cos щ\

(8. 20)

F = F0e^x

sjn ял: cos

щ.

рания

оболочки по

торцам: ш = 0 при х = 0 и х=\ и в

пределе

(£ ->0) соответствует

точному

решению

дл я трехслойного кру­

гового

цилиндра .

Вариационные

уравнения

задачи

в

форме Бубнова

имеют

вид

(8.21)

(

A 2

(8. 22)

1

Я

+ лС

- — 2 л К 2

- ^ —

w

bwe2^xdx=0,

(8.23)

dx

s i n 2

a

где

Vn20-

--7.KX

d2()

пЧ2л2

\ .

(Ыгх)2

V dx2

s i n 2 a / '

(8.24)

ѵ Д ) = -

c t g a u № - C ^ .

7

1 — е4т'к

1 2 , 2 5 С 2 + 1

X

Г

= 2X2

! _ е 7 ^ с

2М—

1 2 , 5 с 2 — 1

X

cos

а

X

- І _

—

— е

(1

+

16Ç2)(;M— 9 С2)

1

3

X

2

1

е'

1 +

9,Г2

1 —

X

( M

— Ç2) (У ц

_

QÇ2) +

іб;2

( м — з ; 2 ) —

і2-;г

1 +

4:2

2ЭХ-

1 —

е2тіс

(M

— 3;2)

[(M — Ç2 )2 +

4Ç2]

X2

J _

е 4,С

1 +

С2

I 2

g й

cos

3

а

1 - ef e <

— -

—

и?\

3

1 _

е 4 - с

(M —

16С2 ) (Л'1 —

4С2 ) + 36С2

(Al — 8С2 ) — 32С2

(8.

25)

Здесь

s i n 2

а

1

я 2

ß £ 2

12^2(1 _ Ѵ 2 )

_

^

_

qRz

(8.

26)

Л2Ѳл4

;

<7

£>я2

Переход

к цилиндрической

оболочке

осуществляется,

когда

а — 0 ;

; _ 0 ;

/ . - . — .

R

Д л я

оболочки, у

которой

параметр

£ 2 ^ 1 , формула

(8.25)

мо­

жет быть записана

так:

12,25

+

т)2

_3

9 4- -ц2

2Xj2

2

УИІ — Ï]

—

12,5

1

+

k_

(My

+ "Л2)

X

2

4

+

9) (16

X

(Afi — 1) (Mi — 9)

4-

16 (Л)! —

3) — 12-г]2

+

4

4- I 2

X ,

[(УѴІ

+

2й/г

(yWJ —

3)

! —

1 ) 2 4-

4-/j2]

2

1+712

(9

+

т)2) cos,3

а

(8.27)

3

(Af! — 16)

(/Иі —

4)

+

36 (/И,

— 8) — 32т]2

1

причем

я 2

(8.

28)