книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

ш = 1 f S \N"ieTj+[Mij

~

тСіз7Ѵ")8у,7+

1,1

+ ^ H i j - ± c l i N i ^ a ; j +

(yM-j-^cliNi^

сУ,и+ •

м

і

} -

(7.31)

мт,=

щ

-

Теперь с принятой точностью можно считать, что

Н,

(7. 32)

Действительно,

Лх»2 -|-лл;

^ » ^ Ѵ 3

;

^ »

^ V

s

8

.

(7. 33)

т а к как

\

> % ^

\>\із>

1 1 і > Ѵ з 2 -

(7. 34)

Поэтому пятое уравнение можно принять в виде

дх

ds

(7.35)

Преобразованные уравнения

устойчивости

в

перемещениях

•имеют вид (нуль над щ опускаем)

д?и.\ I 1—v

д-их I 1 + v

д?а2

г

v

dw

•2N *12

д?и

дх?

ds?

2

dxds

R

дх

dxds

_ N

*

( д и і _ _ ± а т ] =

0

(7. 36)

\ds?

R

дх

1 + V Ô2«i

,

0>2(i2

,

1 — V

<92ц2

1 дю

2

dxds

ds2

1

2

dx*

R

ds

п 12Д

Ôs2

1 v

;

dx*

' d x d s /

3

U ^ 3

àx*ds)

- N

«

^-+2N»

№

ds'

+ - L

tf.*

= 0;

(7.37)

«9x2 '

[dx

R

dx

I ' R*

^ 0 ( 1 - V 2 ) . Д Г

У Ѵ 2 0 ( 1 - У 2 ) ,

. _

Eh

2

Eh

'

12"

(7.41)

Уравнения

(7.39) — (7.40)

тождественно

удовлетворяются,

если положить

i -

f ѵ 2 ) х ;

и9=

_Л2

7 а W l _ L ^ ü * І ѵ а ) ф;

I 1

Р

2

(7.42)

•ПіР

â x

Л

" ï l p t f "

-ПіР

as

A

^іРЯ

2 f

V 2 , Л ь Лг — дифференциальные операторы

вида

ѵ= 92

1

,

9 2

,

9x2

'

ös2

(7.43)

Л 1

=

1 —1 — V Л2 / 02

92

\1

9x9s

ß

V9s2

j]

1 — v А2

92

;2

V

9x2

92

л,

1 —

1

_ v

А2 / 92

V Я

V Я

-

9x2

ß \9x2

9s2

П о д с т а в л я я

в уравнения

равновесия

(7.36)—(7.38) функции

X и я|з имеем

9x2

1

9

9s2

1

1

2

dxds

1 + ѵ

* ' і - ^ ѵ ѣ

+

^ + ^ л ѵ Ш і - і ѵ і х - О ;

2

9x9s

V"

ß

" I

Г 1

' V R

'

Я

(7.44)

1 + v 92м,

,

(

92

,

1 — v

92

IN*,12

92

2

9xôs Т

9s2

9x2

9x9 s

9x2

ï ' ( 1

- f ' X (

1 -

T

'

'

]

' +

1 9x2

&A2

9x9s

'

- ^9s2 '

/?2

ß

..'л

12/?

ds

[

V я

1 I — +

( 2 - v ) ^ U

52

92

952

'

^

У 9х2

1 1

1

Я

ô s i

ß

' , x

1

^ 1 2 j<?

dx

V

ß

У

Я

Л ѵ ^ О .

(7.46)

дх

Я

9х

З д е с ь

Ѳ = Л 8 =

Ѳ1

+ 2вя + Ѳ,; 'П1 =Ѳ1 ;

*Па = Ѳ 1 + Ѳя;

j

a

Іііз — 122

ві0 3 — 022 .

Чзіі

(7.47)

Ѳ 1 = ^ [ 1 + 2 ( Ѵ і + у 2 ) - 3 ( Ѵ і - у 2 ) 2 ] ;

ѳ2 =з^ъ Ші+ък)+6Ѵі72^з

Ci+4);

93 =4

( Y A

2

+

V A 2 ) -

3 (3YA -

Y

A ) 2

1 — V

A2

Фі=

1

f

V)t.

Эту систему можно привести к одному р а з р е ш а ю щ е м у

уравне ­

нию двенадцатого

порядка,

что соответствует

числу

граничных

условий,

которых,

как следует

из в ы р а ж е н и я

одинарных

интег­

ралов

(6.60), дл я каждого

к р а я ставится

по шесть.

Д л я

этого достаточно

ввести новую

функцию %\, положив

Ѵ2 ѵ3

1 — у д2

\ ,

2N2*

д2

I — V

dx2

\àx2

ds2j

'

1 — V V Л2

дх2

1 — V à2

04

1 — у â* \

+ 47V

д2

V 2

-

2R2

ds2

ds*

2

dx2ds2)

1

2 1 — V

dxds

2N\*2

2NX*N2*

д*

8ЛГ*2

ô 4

Ä 2 ( l — V )

ds2 1

1 — y dx2ds2

1 —У äx2ds2

d2

h2

1

dxds \R2

ds^

àx3âs

(7.48)

1

d3

V

d3

R

dxds2

~R

dx3'

1 2 R [dx2ds

2N2*

1

v

,

d2

1 — У Ô2_

4JV*2 ;V2 *

i

аз

1 — y R dx \R2

2 dx2

1 — y R âx2ds

ds2

2Ni*N2* d3

2 N :

1

Ä 2

і-гА2

[R(l — У)

Э х 3

# 3 ( i

_

v) ô x

1 — ^ - v 2

Xi-

h2& 1 + v d 3

1

» A 2

A2

12/?

1 — v

dxds2

(7.49)

(2 + v)

Ô3

1

d 3

2 Л У

/1 +

v

дз

,

оз

(?A-2(3S

8Jv:12

0 * 2 ^

1 d S 3

12

/3 — v

<?3

03

03

+

(l — v)R\

2

&efo2

д*з/

(1 — y ) / ?

dx2ds

d2

,

о2

â2

(1 — v)R

dxds2

dx2

ds2

'

1 — v

à * ô s

2N2*

à2 \ h2

1 — y

ds2j\2R

(7.50)

С в о д я систему уравнений к одному,

найдем

р а з р е ш а ю щ е е урав ­

нение

устойчивости

D l

»Ä2 ѵ

з \ (

f

v .

v W +

A

ü

/ ü +

( 2 _ v ) ü ^

( * - +

Л2

+ < 2 + * > £ ) ] (

EhR2

ös2 V

+

02 \2 / 02

A _ ü ) U 1 +

^ . ^ f l _ ^ v

2 ) 2

X l +

( 2 - v ) 0x2/

Vös2

1

1 — v u W J

&

dx*\

ß

У

я

1

_ö2__ 2 (1 +

v)2

â

^

1

dx2

2

d s 2

R2

ал-2

• - £ * ) ' * +

-fiva °

I — L 2

2

l _2 v

Я 2

djfl~R*

)

{

ß

I

A1T^

о2

v

+— v

9

)

dxds

1 _

v R2

^

R2

дхУ {

(7.51)

компактное

уравнение

О I 1 _

) Г

02 \ / 02

р

ѵ Ѵ

+

І

+

— )(•

'

^

vѴ 2д ѵ Ѵ

2 VѴ 2 V V - г Ад 2

ÔІS 2/ ^^ SІ2 ~( V2 _ ѵ )

dxij\ds2

+ ( 2 +

ѵ ) ^

) ]

Ь

+ /?2

0X4^

Р

/

d * 2

ѵ 2 ѵ

/522 - d^s 2 -

Ä 2

дхЦ\

ß

2

^ S 2

^R2

^

^

± £ н 4 Ѵ ( і - £ Ѵ ) ь + ^ ,

^ f v v -

î — v Ä 2

a^2

'

я*

ß

1 — V '

X ^ v

'

R2

- ^ v

2

k

= û .

-X

+ ^ ^ ) f i

2

(7.52)

^

R2

дх2)

\

ß

У ^

on-if-

V ) v = v W . „ + t £ L ( . _ |

+

+

äs2

(7. 56)

вследствие чего

V 2 X i ~ ^ 7 a -

(7.57)

äs2

Поэтому имеем уравнение

о 11 — — —\ — I ^ L _ L _ L V I E H

D I

( 1

H°- 0 2

ß d ^ J ^ s [ d s 2

1

#2 j ^

1

m

дх*у

p d.52

1 ds2[ 1 [dx*

R2

j 1

1 2

Vdxds 1

/?2 j

1

Щ^- 1 -Ц

(7 59)

ds2[âs2~T

R2 j '

1

тогда как в (5. 41) фигурирует

сомножитель

— + — V .

(7.60)

Ô S 2 ^ JR2 J

^

'

Отличие, как видим, несущественное. Однако

предпочтение

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ

СЖАТИИ

Пусть свободно опертая цилиндрическая оболочка

находится

под действием осевых с ж и м а ю щ и х усилий N.

Введем в уравнение

(7.52)

N°

= N; N2° = 0; i V ° 2

= 0 .

(7.61)

D l

» А2

ѵ 2

ѵ 2 ѵ 2 ѵ 2 •

! д х 2 ) ^

Я2 d s 2 \ d s 2 ' ѵ

(2m,

n — число іволн

в продольном

и поперечном направлении;

R, I — радиус и длина

оболочки; %0 — const),

получим выражение

д л я

N:

„ , Ш2

« 2

N--

О Я 2

1 + Щ —• + —

X

Я2'

1

X2

^ Я 2

m 2

« 2

І 2 ~

+ 1 * 2

Л 2 \ 4

2 Л2

2m2 \ 2

у2/и4

X

[ X2

Я2

Я4

\ Я 2 f l 2 "

Х4

m 2

я г 2

л 2

\2

/г2

2 (1 +

У )

т2

"х2"

Х 2 " +

я 2 ,

Я4 +

Х2 я2

~~X2"

(7.64)

/

m2

ifi

\ 2

n2

2(1

+

V)OT2

Х2я2

— ; , 2 =

i 2 * 2 ( i - v 2 ) . , _

Я 2 А 2

/ ?

Я4А2Ѳ

~ ~

ß ^ 2

В том случае, когда оболочка теряет устойчивость с образова ­

нием длинных продольных

волн,

• < 1 ;

' г 2

» ! -

(7.65)

Тогда уравнение (7. 64)

можно представить в виде

Л2

1 + Ыг —

„

#

ц

2

Я4

N--

£ > я 2

^

Л 2

( „ 2 _ 2 ) 7 2 2

^

Х2

(7.66)

Я2

п2

т2

л 2 ( ; г 2 - ) - 1)

— Я 4 ( П 2 + 1 )

136

я 2

X2

•2)

R2 '

(7.67)

1

+k-

(«2 + О2

при /1=2 значение N будет

KP"

(7.68)

Эта формула

дает несколько

меньшее

значение критического

с ж и м а ю щ е г о

усилия, чем

соответствующая

формула полубезмо-

ментной теории (5.49),

там

вместо

2 ] / 2

стоит коэффициент 3.

ной теории помимо предположений

(7.65) использовалось условие

неизменяемости поперечного сечения

оболочки

(5. 12), что делает

ее более жесткой.

Р а с к р ы в а я р., перепишем

формулу

(7. 68) в

виде

дг

__ZEh2

, f

66 ( Я 2 + •4 AU)

(7.69)

" Р

~

\5R

V

( 1 — Ѵ 22)((яЯ2 + 4А)

Д л я случая, когда оболочка теряет устойчивость с образовани ­

ем коротких продольных

волн

И з общего в ы р а ж е н и я

(7.64)

получим

1 +

/

/л2

и2

m 2

«2 \ 2

Ря2

U 1 Х2

+ ^ 2 "

"x2~+

^2

R2

1 +

*

/ И 2

m2

Х2 +

Я 2

)

X2

m2

+

m2

n2

\ 2

(7.70)

M =

J^\x{2

— \xk),

при i * f t < V r ö ; '

(7.71)

N = -^~

j^2u. y Й -r~)

, при a * » ] / » .

(7.72)

Проводя сравнение

формул

(7. /1) — (7.72) с формулой

(7.68),

ПОПЕРЕЧНОМ

ДАВЛЕНИИ

Д л я цилиндрической оболочки,

находящейся под действием

X

_

_

2л2

X

Я 2

+ " Х 2

+ Я4

Я4

Л2" ~

Л 2 ) [

л°- +

Г-

я2(І — V)

_2_

+

х -

Я2

Х2

1

1

Я 2 ~ я2

J 1 я2

Х2

(1 — ѵ ) Х 2 л 2

Я4

Я2 ^ Х2

)

+ -

(.2

Я2 ~ ~ Я 2 Д Я 2 + À2 j ~ [ (I — V) Х2Я^

Д2

1

Я4 Я2

+

Х2

R ; Г

П4А20

(7.76)

л 2

J _

f x

Я 2 +

À2

R3

1 +

/

/ I 2

+

1

\

kl

J

л 2

V Я2

Х2

X

« 2

/ « 2

1

\ 2

(7. 77)

Я 2

V ЯЗ+

Х2

Д л я весьма длинной

цилиндрической

оболочки (Х^>1) из выра­

жения (7. 77)

после пренебрежения

малыми членами найдем

— R.

1 +

- т " " 2

(7.78)

1 +

Я 2

П4 — 2 н 2

q ~

R3

^"2

« 2 _ 1

k

„

П о л а г а я я = 2 ,

получим

<7кр

8 Û

1 +

Ш

(7.79)

3/?з

1 +

4k

Традиционное точное решение дало бы в этом случае

в ы р а ж е ­

ние (см. 7. 78)

q"p~

R3 1 + 4 / г

Расхождение

равно

— 3 = 1 / 9 ,

это

дает 1 1 % .