книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

ной

деформации,

умноженному

на

(величину

интенсивности q.

П е р в о н а ч а л ь н а я площадь элемента вследствие удлинения

сторон увеличилась до величины

( 1 + е п -f-^âa)

AxA2dxxdx2.

В этой

формуле штрихи при ец

означают,

что

эти

величины

д о л ж н ы вычисляться

при w = 0,

поэтому работа,

произведенная

гидростатическим

давлением,

будет

Ea la

w

A

Q ~

J f <? ( 1 +

е'п + 4>) f (1 +

knz)

(1 - f k22z)

dzAlA2dx1

dx2

Ei

î i

Ô

Ea

l?

Ei

l i

Ea 1»

~ j ^ q (w-\-e'uw-\-e22w4-

-~ knw2-\--^-k22w^

AxA2dxxdx2.

E i

I i

Варьируя интеграл, найдем

Ea la

8Aq » J f [7 ( 1 + e'n + <2

+

+ k22w) bw +

Ei ii

Ea

la

+^(8<?; 1 +S4,)]

л и , < ? ^ =

f

f | ? И Л + А Й 1 Л Т ^ Й Ы +

È,

î ,

+ A

A

+

Л,1«2 + ^11™ +

^22™) S™ — [(^2 ^)д —

— A2aqw]

Ыіл— [\A1qw)t2

— Alt2qw]

8к2 } dxxdx2.

(6.61)

Вариация

работы

внешней нагрузки р,, действующей в на­

правлении оси ХІ([=І,2),

равна

Ea 1а

8 А р

=

j

J (^iSKi+^aSWa) ^Иа <^*і

^2-

Ei

I i

Таким образом, вариация

работы

внешней

поверхностной

нагрузки

ВЛ = 8 Л 9 + 8 Л р = j j ( И И 2 Р і - ( Л ^ ) . і + Л , і ^ ] 8% +

Ei I i

+

[A1A2p2-

(Axqw),2

- f i4l i S 9w] 8 и 2

+ q

[AXAА2иЬ1-\-Au2t2-\-

+

А Л

+

^2,іи і + ^ î i ^ +

k22w\

Ъчю)

dx2.

(6.62)

— Л i«2,2 — Л 1 | 2 И 2

— A 2.1«1

— ^22^)] ^

~Ь ^ 4 & a i ~f~

4- Z.58a2] fiOq d;t2 4- В/3 — I /jflOq — |" I2dx2=

0.

(6. 63)

Учитывая произвольность и независимость вариаций переме­

щений «і, б, ai, бш, приходим

к уравнениям

равновесия

А

+

ЛЛР а — ( Л а ^ ) , і +

Ла > 1 # та =

0;

/-2 +

Л ^ з ^ — (Л^да) 2

+

A12qw

= 0;

AJ — Л і Л а

с / + A2ultlq-\-

AXi2u2q-{-

Aji^q

+

A%1uxq-\-

} (6.64)

-f- ( 7 A U Î U -f- <7£2,до = 0,

из которых линеаризацией

получаем

уравнения

устойчивости

оболочек.

4. УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Линейны е уравнения устойчивости имеют вид

— ( Л 2 ? ™ ) , і + A2Aqw = 0;

Z,2 — {A^qw)t2 4- Ali2qw

— 0;

ю

= 0 ;

СО

Z 4 = 0 ;

Z B = 0 .

Здесь операторы

Г ь

Li,

L% получаются

соответственно из

операторов L b

L 2 , L 3 заменой

в нелинейных

последних

членах

тангенциальных

усилий

Ыц тангенциальными

усилиями

Nip,

имеющими место

в

оболочке

при докрнтическом

безмоментном

состоянии.

Г л а в а

7

КРУГОВАЯ НЕПОЛОГАЯ

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ

ОБОЛОЧКА

1.

ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ

УРАВНЕНИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

Обозначая

продольную

координату

через

Х\=х,

попереч­

н у ю — через

s = xo и учитывая,

что / е ц = 0 , kz2=\IR,

получим вы­

ражения дл я компонентов деформации в виде

daj

âii2

duo .

ди1

;

* 1 1 =

dx

1

^22

ds

/г

>

' ' І З "

~

J егі =

—

т

дх

ds

â2w

1

à2x .

12

1 ди-2

â2w

11 ~

dx2

~~~~R~

ds

R

дх

dx ds

a u

= dax

;

a 2

3 :

da.)

y

= 0;

С м

1

ÔCl-2

~~dx~

ds

;

'^n —

R

ds

r

1

d a 2

d 'C

;

u-2

d:e>

Чіз —

R

dx

'

dx

R

ds

Уравнения устойчивости согласно

(6.65)

будут

àN

д :v

= 0;

(7.2)

dx

äs

ds2

àxds

17

dN-v>

I

âN,->

!

d.Vl2 2

I

2

9^12

12

ds

dx

dx2

> t U ;

"2

1

dv

' У ?

ds

'

Я

dx

1 ^dv = 0 ;

( 7 . 3 )

"

Я1

R

ds

R

ds

dU'h

ds

Vdxds

о /^2 ту

_ J _

_9"2 \

dx2

dx

ds

às2

-f-iV?!

0 -^-

•TV"

4 d s 2

I

Я

d; |

_ Г

Я

1

dx2

duo

, да

=-0;

(7.4)

V dxds

ds

R

Э/?Я ildx /dtf'

M , dxt

(7.5)

dx 1

ds

5 / / r

àH22 , 2c ^ M Ï 2

= Q2

(7.6)

dx

ds

R

dx

R

ds

Пусть

до потери

устойчивости

оболочка

находится

под дей­

ствием

осевых

с ж и м а ю щ и х

усилий № , внешнего

поперечного

давления q и крутящих

концевых

моментов М к р . Д л я этого

слу­

чая

загружения

в уравнениях

(7.2) — (7.6)

следует

положить

Nu-

nR2

yVS =

qR,

вследствие чего уравнения

приобретут вид

dNu

dNn

i

dw

=

0;

(7.7)

дх

ds

dxds

" \ ds2

R

дх

dNy

dN22

2

dM]2

i

1

dM22

N о

â2iio

aï

« 2

+

дх

ds

R

дх

R

ds

dx2

R2

\dsdx

R

âx )

(7.8)

1

1

дЧ1и

, 2 д2Мі2

i

дШ22

N22

дх2

'

dxds

ds2

R

ол-2

1

[dxôs

R

âx

J

\

ds2

« 2

R

дх !

dH

il

<?Я1 2

Qi3 ;

(7.9)

àx

ds

dtfoo

,

2с

дМ^

=

Q2

3 -

(7. 10)

dx

Л

дх

R

ds

Тангенциальные

удельные

усилия

и

удельные

моменты че­

рез перемещения

в ы р а ж а ю т с я следующим

образом:

c 1 2

(1 — v)

2

,

i daoui \

2

ïi:

J _

d«2

+

X

//dcuoa

/i • \ f d

2

[дх

ds

/?

dx

I r ( l — v) C C J 4

da 2

'

Я

dx~

M

Ek2ca

Ідщ I

ѵд02

, ѵѵ\_,

Elu

ѵ

1 1

2(1 — ѵі)\дх 1

ds 1

R ) '

1 2 ( 1 — ѵ 2 )

X

' С7СІ1 I

dü9

d2:w

V Ö«2

V C C 3 4

ö a 2

дх

'

ds

- з з

ds 2

~~R Ts

R

ds

0 X 2

Eh2

ö « !

I ÖU'2 - да

\ I

£ A 3

X

^ 2 2

=

2 ( 1 _ V 2 )

1 3 ^ V dx*

~äs ' ~ £ "

J ^ ~

1 2 ( 1 — v 2 )

Л j

dx

£ Л 2

/

d,'^ !

àu-2 I

ДА

\

I

я2 2 = 2(1 — ѵ 2 ) C l 2

V

â7

"ôT

X

j

1 2 ( 1 — У 2 ) ^

I

(1 —

v)

C C 2 4

daäa2.

'

R

dx .

Eh2

àii\

I

du2

1

£ A 3

X

2 ( l - v 2 ) - 1 4

dx

1

12 (1 — v2)

da,

г da

à2

v

I

d 2

v "da)\ I

V C C 4 4 dct2

d x 2

' V

ds 2 ~ Ä ~ _ d 7 J _ t ~ Я d 7

AI

£ A 2

da 2

- f — ] +

£ A 3

X

5 T c

« ( v — 4- —

2(1 — v 2 )

~d7

12(1 — v2)

ö2w

1

da9\

I C C 4 4

dct2

d s 2

Ä

ds /

~~R~ ~ds~

Elfi

c w ( l

— V)

u u \

I

Elu

X

2 (1 — V2)

dx

1 2 ( 1 — v 2 )

х'

ds

dx

ds

R

dx

+

\ I Ö2W

i—(

с 2 4

(1 — V )

гл

1

du.2

Q i 3

• Qht3a^

Q 2 3

= GA/3 a2 .

Подставляя

значения

Na, Мц, Нц, Мц~ в уравнения (7.7) —

(7.10),

найдем

уравнения

устойчивости

в

перемещениях

1

I 1 _

у

<? И

2

с и Х

2

j

âx2

'

2

ös2

" Г

V

2

2Ä

oxôs

2

X

Ô2tti

.

1

с 1 3

с с 1 4

^ô2a 2

дх2

R

àxds

he 13

—

V twH

-4-2Nn

--

JR

• ^ ) = 0 ;

dx

R dx

dx ds

dx

Ô S 2 /

(7.15)

1 + У I

c\zh\

d2ux

-, j

_ С13Л

, £ззЛ2_\

dßU2

2

^

àxds'

"Г

Л

'

12/?2 J

ôs2 "

Л 2 С 3 3

\ д 2 Ц 2

.

A

1

+

V

c _ | _ £ 2 3 Ä \

^2g;

2

1

Ä

"

3/?2

ОДГ2

I

2

2

1 2 _

Г 6 Д j

dxds

I

I

ftg23 I

СД14 I

А с с 3

Л

d 2 a 2

/г

1 —

•X

k

u 1 _ 1 "

+

Л +

ds 2

2

2

~R ~dx~~

2

dx

1 4

^

25 /

R

ds

2~~ "is

12Д

" О3и2

1

â3u2

"

I

AÇ12V.

âai

A2fi 23

ds3

( 2 - v )

ds

J

'

+

dx

12 dx

1

Ôx2 1

2R

+ 2Т(С12-

R

)

ds

12

ds

2

A2<7c,34

d 3

« 2

d s d x 2 + Я 2

12/?

ôs3

/? U s 2

d x 2 , ) " 1 -

12

-1

0*2

" \а*г ds

R

дх

flC 12 / 0 2 « !

j

_

l —

V d 2 «! \ ,

hl

1 +

V ,

c 2 3 A\

d 2 u 2

2 V

' 2

ô s 2 j

'

T T "

С12

2

' 6 Д У

ds '

' 2

V "

/ г 2 е 2 2

^ 2 а ! ,

1 — ѵ а9-аЛ

^ Ifl і

1 + ѵ ,

с с 2

4

<Э20о

12

'ѵ адг2

'

2

Ös2 /

1

12

l

2 2

2

1

Я

dxds

,vhc12dw

c23fe2

ö

2 ^ ^ G ( l - v 2 ) ^ 3

a

-

•

ÔJt

12

E

v

V

'

;

2

1

2

1 2

+

У? j

dxds

+

2

( C l 3

R

+

6^2 J

ö

s 2

+

i

h

1 — у /

,

2cc 1 4

,

С93Л.

i 2 с 3 4 с Л

\

<92uo

i

I

/г2

/1

+ У

i

CC24 \

d"-ax

,

Д2 /

, 2co4 c

,

c ^ c 2

^ 2 а

,

|

1

12

I

2

2

2 -

Г

/?

j

âJCÔ*

'

12

Г22

^

R

1

&

J

às2^

i

А2

1 — У /

i

4cc 2 4

,

4 ç 2 ç 4 4

^ d 2 a 2

,

Л

/

С

,

ссц\

1

R

) R ds

+

12

2

\2 2 І "

Ä+

dl 1 дх2

Г

і

а І

A 2 / с с 3 4 \

/оЗа-

, /

0

.

азда

\

А2

2

„

120(1 — ѵ2) ^

( ^ Ч

r ( 2 — v)

, — ѵ

да == i

— a » .

- 3сds

"

2

E"

12 V R J

[ds3

1

v

;

dsdxi]

12

Т І

2

(7. 19)

Т ак им образом,

получена

симметричная,

но весьма

громозд­

кая система уравнений устойчивости. Пренебрежение

м а л ы м и

членами (они подчеркнуты)

по существу

ничего не меняет, так

как

оно приводит

лишь

к

некоторому

упрощению

коэффициен­

тов

перед

дифференциальными

операторами .

Помимо

этого,

тупим точно

так же, как мы поступали

при

преобразовании

системы

уравнений

устойчивости пологих

оболочек,

а именно:

введем

новые тангенциальные перемещения

и Д и2°,

соответст­

вующие

некоторой

новой

поверхности

приведения

такой,

что

тангенциальные удельные

усилия 7Ѵ,-;

в ы р а ж а ю т с я только

через

компоненты

деформации

е°* (6. 29). Нуль

у ец* означает,

что

компоненты

деформации

е0.* и в линейной

и нелинейной частях

в ы р а ж а ю т с я

через

перемещения « Д w. Очевидно, от такой

за­

мены величина

и вид уравнений (7. 2) — (7 . 6) не

изменяют­

ся, но удельные моменты

Мц, Нц, М~ д о л ж н ы претерпеть из-

менения,

так как изменилась поверхность приведения. Ііх мож­

но найти

из в а р и а ц и и потенциальной

энергии

деформации .

В соответствии со сказанным

полагаем:

с 1 Ч

а

h

à :е

(7. 20)

Т

Сіздх~

--1Ч

с В Т Т )

2 + 2

1 3 l ö s

Я " 2

2

г,

Подставляя

эти выражения

в формулы

для компонентов

Nn--

ЕІі

/дщо

f-V

duo0

I

w

' ]

_ v2 \

дх

=

r-V

Nm--

Eh

/ç>a2 °

'

o

s

1

R

(7. 22)

" 1 — v2

V ds

Eh

f

дщ°

Ä

•

ал- У

^

2(1 +

V)

\

ds

dx

a удельные моменты запишутся в форме

7Ип -

13^ѵ 11

12 (1 — v2)

112

Ur+V*r

"

fdai

:

да<Л

Я

" э2

71

/dx У

'

c»s<Г

-

П

,

(

â x 2

~ds2

+

6~6

ci]5

da-2

(7. 23)

Ös2

Я

ÖS

~R~

~дТ

M

= i - c

TV

1

1 — y /

oat I

àa2

E

k 3

1 2

2

1 3

1 2 1

12 (l _ V 2 )

-

^ (

l

-

v

)

(jPw_

1

da->o

dx

12(1 — ѵ2)

dx

ds

à2w

V

ди2о \ J ѵс

da2 ~l .

ÖS2

Ä

ds

J + T ^

4 ôs

1J

'

"