книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

х

=ЛГ

(Mi- ЛГда, ),і +

(Л1Л2)-

Л,2(^А-^2 да,

); )

1 1

1

1

1

І

-1

2

-хм= AT1

(Ma — Л і Г Ѵ г Ь +

( АХА2)-1А2Л

(Vi-^r^»,i);

* 1 2 = / г п

[ Л ^ ^ і . з — Л Г М Г М Ц Й І ] - f

(б. 20)

X

[да,і2 — Л ^ Л ^ т а д —

Л ^ Л ^ В У ^ ] ;

с п = л г !

( М і ) . і + ( ^ И 2 ) - 1 ^ і А 2 « 2 ;

j

с 2 2 = л г 1

(Ma)

, 2 + ( л 1

л 2 ) - 1 л 2 і 1 М і ;

(6.21)

+

І4

M j1 і41 і а оті 1 +Л1 1 АГ-А2 ,1да,а ;

t 2 1 = ^2- Л 2 1 ( МІ

і ) , 2 — ~ Л j ! Л 2 ' Л г ^ М і —

% Ѵ и + J

смсм

- j - Л ! 2 Л 2 1 Л 1 , а т а ; , 1 - 1 -

! Л 2

2 Л 2 , 1 Г І У І 2 .

Тогда компоненты деформации запишутся

следующим

об­

разом. Д л я

первого и

второго несущего

слоя

(нижний

знак

от­

носится ко второму несущему слою) :

е*і =

( 1 + M ) - 1

[еи

±

с а п

± с {z

+ с) C u

+ 2 / и ] ;

)

еи =

( 1 + М ) _ 1

[^22

±

^°22

+

c ( z

+

c)CM

+

zxa ! 8 ];

en-

- ( 1 + M ) (1 + M ) [ * M +

e 2i ± ca12 ±

i

} (6.23)

± са21

±2c(z

+

с) С1 2

+ 2 2 х 1 а ] ;

ві2 +

"S « ( 1 +

М ) _

1

[ß12

±

« x „ +

2 t i 2

I ;

егп — Щ ~ ( 1 rf- M ) - 1 [e21 ± ca21 + zt2 1 ] ;

— ßi 3 —<D2:

•[ + » i ± c a j ;

(6.24)

для

заполнителя

eîi =

( l + * l

l Z ) - i

[Сп +

^ К і +

^ і ) ] ;

е\г

=

( 1 - f * 2 2 г ) _ 1

\е-гч +

г

(«22 +

у 2г)] ;

en

=

- 1 - ( 1 -1- k^z)-1

( 1 +

k22z)~i [е1й

-f- е21 + z ( а м + а 2 1 + 2х:

* î s +

о £ Ä

( 1 + knz)~i

[еа

+ г (а 1 3 +

т и ) ] ;

еі2 — wf Ä S

( 1 -f- ^ г а г ) - 1

[<?ai - f г (cta i - f T 2 1 ) ] ;

Чі =

eïj

+ cal}

-

f (г — с) cll} - f г-/.,

второй несущий слой ( — с — Л г ^ г ^ — с )

Ю =

<?;; — сии

— (z - f с) rC,7 + гх, у ;

заполнитель

( — c ^ z ^ c )

Зг

*

,

*

I

З д е сь

*

I

1 2 I 1 ci 9

I

1 2

еи = е ц + — е „ +

— 9

і 2

+ —

віа;

*

I

+

1 2 I 1

+

о о I

-

1 2

2 Ь

^22 = ^22

—

Ѵ

^

е

° и = а

Л +

а і 2 ^ і 2 +

Оц в іі +

Оц;

« И =

° 2 & 2 +

«21^21 +

«22^22 +

^ІѴ

аП

= \

ttA

+

у

O A + " J " «12^22 +

,

1

I

1

, 1

I

у

а 1 1 % Т " у а 21е 11 "Т" y " а 22е 12-

Е

Ч

1 - ѵ 2 [(1

_ Ѵ )

sfy +

v f y e f j ,

(6.31)

(&Zkk=Bu + 4v

П

Р И

і =

к

при

іфі).

Н а п р я ж е н и я

в слоях

вычисляются

по

следующим

ф о р м у л а м :

первый

несущий

слой

( с ^ г ^ с + / м )

а Ь =

! _ f v 2

К 1 -

ѵ) [е*; -

га

-у -

(z -

с) сС,у + г%,j\

+

+ ѵ 8 у

[e»

+

« 4

+

( * - c

K * +

* * « ] ) :

(6.32)

второй несущий

слой

( — с — / і г ^ з ^ — с )

у - ^ - К і - ѵ ) [ в ? ; —

СО/*/ —(z-fcJcCy +

zx,;] +

+ v8,j [eU -

со** -

(z -f- с) с С А Й + z * J } ;

(6.

33)

заполнитель

(—c<z<c)

4

l _ v 3

2 {(1 — V )

( a ? ; +

y - « 7 )]+v8 / 7

[ e » + z (c4+ - / . É f t )] );

(6.

34)

(6.

35)

Введем удельные усилия и удельные

моменты

N]j=

JoJ^z ;

N)j=

j

ttj/z;

W ? y

=

j " a ^ z ;

С

_

—С—ha

—с

c+hi

—с

M]j=

j

a)j(z-c)dz]

M],=

j

oJy (z +

c)ûf«;

}

(6.36)

Вычисляя,

найдем

JV,1

Я

Л

1 —

V2

Л ( ' і +

<в).

2

•

l'3

^ < 4

+

T

*ftft

N

и~-

Eh

У2

( 1 - V )

A (<2+'s)

2

1

— v 2 -

1

3

+

8,y v

'Aft

A

to+

<з)

(6. 38)

'У

'•Äft

TV3 ,

£

/ г

Ys [(1 — ѵ) eîy +

8 //vé?«];

(6. 39)

1 — V2

A2J!^

м і

;

_

£А2- v 2

u

{i ( 1 - V )

*

+,

ht3

au*

,

'

2 (

l

Y )A

l

2

*

i A<3

*

A2<1 <3 r

ft*

+ { T + T )

' • ' » } + * »

£Л2

(6.40}

УA

( i - v )

^ > 9

'7

'

2 ( l - v 2 ) ' - - l

V 3

1

2 .

Л2/2г?3

Cftft +

( 2^2

/zx*ft 1

(6.41)

£Л2

12 (1 — v2)

Q i 3 = GhtzQ.i.

(6.42)

Уравнения равновесия и граничные условия удобно записы ­

вать, используя

следующие

удельные

усилия

и

моменты:

/ ѵ і 7 = / ѵ Ь - + / ѵ ? ; - + / ѵ 3 , ;

м

(6.43)

Hl}=Mu+cN},-cNu;

MT)=

M)}-

Mu.

Через

компоненты

деформации

они

в ы р а ж а ю т с я

так:

N,,

= - Eh

[(1 — ѵ )

еі}-\-\Ъ1}епк[-\-

Е№

( с а а , j + c u x , y - f с с 1 4 С и )

+

2(1 — v2)•К 1 - v )

+

8,/v(cu aÄ f t +

+

cc1 4 Cf t f t )];

(6.44)

12

• [( 1 — v) ( с ю а ; у

+ cc84C,y +

c33v.,,)

+

(1 — v2)

+

v5, 7 (c 3 2 a^ +

cc3 4 Cf t ft

+

(6.46)

C334Aft)] \

Eh?

( 1 - V 2 )

12 (l _

(1 - v) (c 4 2 a? y + c c 4 / „ 7 + c 4 3 y . , ; . ) -

v2)

(6.47)

Здесь

C i 2 = 4 ( Yi -

Y2 ) = c3 1 ;

c 1 8 = Y i A 4" 's) -

Y2

А +

4») =

с зі;

См =

YA +

Ya*s = c 4u

Cas = /32(37!+ 3 y2

+

Y3 );

^ 2 3 = c 3 2 = 33

2 YA

A + -

fx2

3 Ya's ( ' 22

+ * 8 ) + Y8 s ^ 2 ;

22

)

+

2

| (6. 48)

^33 =

Yi (3i

+ 6^3 + 4/

) +

Ya (%

+ 6 V

+

4/

Y3'3

;

c24 = C42 =

3*в (YA — Ya'a);

c 34 = 4 ( YA 2

-

Ya'a2) +

& 3 (YA

~

Ya<a)î

C44 = 4 Y A 2

+

4Ya*a2:

c44 = с зз — 2

с 2 з

+

c 2

2 ;

£-=

l

^ !

y

^

^ _

;

(6.49)

* - l

£ A ( l - v 2 )

,

A*. " ( Ä = 1 > 2 , 3).

k

Eh (I — v f t 2)

Л

v

•

6П—ö A — 6 В = 0,

(6.50)

где 6 П — вариация

потенциальной

энергии деформации;

àA— вариация

работы

внешней

поверхностной

нагрузки;

6В — вариация

работы

внешних

контурных сил.

Вариация

потенциальной

энергии

деформации

в ы р а ж а е т с я

следующим

образом:

Е2

'Чг tc + h,

с

Éi

î i

У с !,}

—с

i

(6.51)

-c—fta

/

которое на

основании

(6. 26) —(6.28) и (6.36),

(6.43)

приво­

дится к виду

Ь

I s

s n = f

Èi

І і

-т-2№/П

Л ^ з ^ х ^ л г з ,

(6.52)

где I i , I2 п т]і, ii2 — координаты

краев оболочки

в

направлении

осей координат л'і и х2.

Учитывая, что

Ъе*и

= Ьеп

+

- f <?128é?12;

8<?*2

= 8e81-J- &2 8&2 -f é?218<?21;

(6. 53)

llu t -21'

после подстановки

(6.53)

и

(6. 52) и интегрирования по

частям

представим

6П в виде

Еі "42

8П: : ' П — L^,ux — L2bu2

— L3lw

—

L^^—L^a^]dxxdx2-\-

Ei Пі

ça

'1 =

(6.54)

- f j

/1dx1-\-

j

/a ûfx2 ,

Ei

I i

£ i = ( A ^ i i ) , i - AatlNn

+

Л Г 1 ( Л 2 Л Г М ) , Я

+

А Ц ( Л 2 / И п ) а

-

- А ц Л а ^ Л Г м + г А Г 1 ( W y V

/ i 3 ) , 2 + (А,2<?і2 - МіИИа )

+

+ ( A % ^ 3 3 ) , 2 + (Л 3 е 2 1 У Ѵ 1 3 ) , г + ( Л А і т Ѵ 1 2 ) , 2 -(-

+ I A A

— ^Иг.і — Л ^ а * ц & 2

)

7 Ѵ 1 2 ;

(6. 55)

4 = - Л , Д ц + ( Л Л ) , 2 + Л Г 1 ( Л 2 2 У Ѵ 1 3

) а

+ А 2 2 ( Л 3 М 2 3 ) , 2 -

- £ 2 3 Л 1 , 2 Ж 1 1 + 2 Л , 7 1 ( £ 3 3 Л 2 2 / И 1 2 ) , 1 + ( Л 2 е 1 2 7 Ѵ 1 1 ) , 1 - | -

+ ( е и А 2 л — М И з * а з - ^ И і , 2 ) ^ 1 2 ;

(6. 56 )

і 3 =(лг 1 (л 2 /и и ), 1 ) і 1 - (л 2 - І л 1 , 2 . /и и ), 2 +(лг 2 (л 3 ѵ и 1 3 ), 1 ), 2 +

+ ( Л Г ' ( Л ^ / И ^ ) , , ) , ! ^

(ЛоГ 1 ( Л Г

М 2 2 ) 1 3

) , 3 _

( Л Г Ч А а ) . ! -

- Л И 2 {kuNn+k22N22)

- ( Л Д Л ^ Ь - ( Л А 7 Ѵ 2 3 ) , 3 - ( Л Д У Ѵ 1 2 ) , 2 -

- {A2§2N12)iX

- ( Л И а ^ А г + ^ И а ^ ц ) W M ;

(6. 57 )

U = (Аг Нгі)л - Л 2 і І / / 3 3 + Л Г 1

W / / B ) | S

+ kuc

і 6 = ( Л Л ) . а - Л . а ^ і і + ^ Г І ( ^ і а \ і + А і а С ( Ѵ М . а -

- £ 2 2 с Л ь 2

М Ц +

2 С Л Г 1

( £ 2 2 Л 2 2

/ И 1 2 ) а -

Л Х

Л А 3

;

(6. 59)

К =

( (^22 + *ва/И22)5«2 + ( W u

+ 2knM12)

oih

+

+ ( Я 2 3 -f k22cM^)

8а2 -f (Н12

-j- 2£11c/WI~2") 8ах — / Ѵ / ^ Л Г ^ Т О . З

+

+ ( V U ) -

1

[( Л ^ / a a ) , , -

Л 1 і 3

/ И и -f 2 ( Л а / И ^ А

Д^аОв]8 ^ +

+

ваі-^аа8 «і +

віі^'іа8 Кі+еіа^'іа8Иа— ѴѴаа8*» -

^ Y V ^ S Ï O } Л х ; (6. 60)

'а =

( №

+ £Х 1 Мц) 8 %

+

( Л А 1 2

+ 2 £ а з / W 1 3 )

8и2

+

+ ( Я и +

А ц С Ж П ) 8а1

+ ( Я 1

а +

2 £ 3 3 сЖІі ) В а 2 — Л f 1 1 Л Г 1 8 и > , 1 - f

+ ( Л 1 Л 2 ) - 1

[ И 2 / И 1 1 ) , 1

- Л 2 , 1 М 2 2

+ 2 ( Л 1

/ И 1 2 ) , а

+

^HaQa]

+

+ e21N11bu2+e22N22bu2-\-euN11bu1

— ^N^w—

b2N12bw)

Аг.

Вычислим

теперь работу,

произведенную

внешней

поверх­

ностной нагрузкой, при .варьировании перемещений

точек обо­

лочки. Пусть

q — интенсивность

гидростатического

давления,

направленного

в сторону внешней нормали элемента

оболочки

со

сторонами

A\dx{

и A2dx2.

Работа,

произведенная

нагрузкой,