книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Полное тангенциальное удельное усилие

Nn

= Nn-\-j\'u-\r

Nn

=

Е/геп

+

^

(5. 19)

Полный

поперечный

удельный

изгибающий

момент

имеет вид

У И 2 2 =

Ж , \ 4 -

Ж І 2 + У И 2 2 = = ^ - [іѲ1 -г -Ѳа )аз я +

(Ѳ1

+ 2 Ѳ 2 + Ѳ 8 ) у 2 2 ] .

(5. 20)

Обобщенный

момент

Я м = М\2

- f cNl

- с / Ѵ и =

[Ѳх а2 2

- f (0, - j - Ѳ2) х 2 2 ],

(5.21)

где

Ѳ і = Ч ( 3 Y i + З ѵ з + Y s ) ;

«2 =

з / 3

+ Y 2 4 ) ;

(5. 22)

в з = = 4 ( ѵ 1 ^ + ѵ Л в ) ; . '

tk=hbh-l.

15. 23)

Заметим,

что введенные

здесь

параметры

О ь

ö 2»

9з

незначи­

тельно

отличаются

от соответствующих

параметров

теории по­

логих оболочек, для оболочек симметричной структуры

они сов­

падают.

Функция перемещений. Уравнение равновесия

(5. 5)

в

пере­

мещениях имеет вид:

~~Г2~

ö s 2 1

v 1 1 - \ ds2

'

ds-i j

R

=

Gh3a2.

(5. 24)

1

£ 0,

(5. 26)

В соответствии с (5. 13) прогиб и

изменение кривизны кольце­

вого сечения через ч|з выразятся в

виде

ß

U

ds2)

(5.27)

2 -

ÖS V

ÖS2 Д

ß

ds2 ' '

äs

(5.

28)

получим

•W •-

1

h 2

д'2

\ .

а, — —

6

h

Л2

д

à4-

,

1

ß

ds

\ ös 2

У?2

<32

1 — L \

/ 1 _

Ü

(5.29)

Л>2

1

#2

[

3

Ö52

22 •

02

*Ä2

02

S

2

1

£2 У l

p

S

Л

\Ô

Ô2 /

Q a = - £ > — ( — + — ) ( 1

9 A2

Jß_

где

ß

ÔS2

/ ; = ^ Ѳ ;

Ѳ = Ѳ і - | - 2 Ѳ 3 +

Ѳ3;.

_ в , В 3 09- В 2 2

(5. 30)

Теперь уравнение (5. 14) запишется в виде

ÖA-2

DR —

(—-\-—)2

( l

- 1*1

Х =

„ .

(5.31)

ÔS2 V ÔS2 ^ /?2 j

\

p

d

s 2 I

'

^

-1

Уравнение совместности. Второе уравнение получим, исклю­

чая

из

первых трех

и шестого

соотношения

(5. 9)

перемещение

и2

d2*22

I

^ С»2

/ 02

:0.

d * 2

ds2

\ ds-

dxds

\

ds'

ds2dx°-

(5.

32)

3197

101

елл

=

Nu

,

h

dß

1 —

(5. 36)

—— А

с,„ • —

O S 2

1 1

Eh

1

2 1 м

<Эл-2

ß

П о д с т а в л я я

(5. 36) в уравнение

(5. 34),

найдем

Eh

д2

Я Л

d 2

1

Л 2

02

(5.37)

ds2

~7Г

дх2

ÖS2

-

ß

U S 2

Р а з р е ш а ю щ е е

уравнение.

Исключая

из

уравнений

(5.31)

и

(5.37) Nu,

придем к

р а з р е ш а ю щ е м у

уравнению

относительно X

DR

ді

(

д2

- ^ ) X 4 -

ds*

R2

\ à s 2

ß

ds2 '

~

Eh

<J4

Rh

д2

_да

_ ô 2 _

Х =

02

(5.38)

R

дх*

ÔS2

ß

Ös2

ітР,

Ö S 2

HO

„

JM_ д°-у.

поэтому

(5. 38)

приводится к следующему

виду:

D

04

02

ЭА2

f?2

<9s4

\ds'<

R2

ß

d s 2

Eh

Ji_

да_

_Ö2_

(5.

39)

+" Ж Эх4 ~

ß

G>S2

' ~

Я

Ô S 2

^

X

где функция

р,

определяемая

поверхностными

нагрузками

на

оболочку, находится из (5.16).

Уравнение устойчивости

найдем,

принимая

в

качестве

по­

верхностной

нагрузки

дх2

dx2

dsdx

L

du2\

I

4

R

дх

j

+

№i2

f d 2

w

(5.40)

,ds2

'

R2

П о д с т а в л я я

(5.40)

в

уравнение

(5.39),

получим

д2

,

1_\2

_d*_ ^

Eh

94

\

ß

ds2

Ö S 2

~ ^ Ä 2 j

as*

X"

Я 2

<3xi

ß

ds2)*-

Mi

04

0 x 2

ÔS2

\

f 3 s 2

Я

2

/

ds^dx \ds

2

'

Я

2

/

â s 2

1

1

да_

_ â 2 _ ) х = о .

(5.41)

<?S4 ( f)S 2

Я 2

У

ÔS2

Перейдем к рассмотрению частных

задач .

2.

УСТОЙЧИВОСТЬ

УДЛИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

ПРИ

ОСЕВОМ СЖАТИИ

П о л а г а я в уравнении

(5.41)

7V?

N;

ЛГ°2 =

0;

N°u =

ù

(5.42)

' и

у =

y n

. ѵ ткх

•

ns

(5.43)

snl

Sin

—

(R—

радиус;

/ — длина

оболочки;

m — число

продольных

полу­

волн;

п — число окружных

волн), найдем критическое равномер ­

ное удельное

с ж и м а ю щ е е

усилие трехслойной круговой цилинд­

рической оболочки

,

п2

N--

Du2

^

П2

( н 2 — 1)2

„2X2

fj.2/n2JT4

,

(5.44)

R2

II*

( « 2 + 1 )

m?Ki

X 2 ( « 2 + 1 ) л 2

1 +

k

Я2

Ni2=—gR.

(5. 50)

Остальные усилия равны нулю

Nu = Ni2 = Q.

(5.51)

Принимая в (5.41) функцию

% в виде

(2т, п — соответственно

число продольных и окружных

волн; %о = const)

1 +

.Т[2

« 2 _ 1

(5.

53)

А«2

Л2

Х'1

7Z'l(/î2— 1)

где

Я2Л2

12/?2

I

1=

(5. 54)

ß#2

Д2Л 40

'

%

И з (5.53)

следует, что минимум достигается при m = ' l ,

формула

для q приобретает вид

Д л 2 1 + •_ J t 2 ^

, м-2

дб

(5. 55)

An.2

X

Х4

И 4 ( н 2 _ 1 )

1

Минимизируя это выражение

при

целонсчисленных

значениях

параметра

волнообразования

п, найдем величину критического

давления

q*.

при пф 1

Д л я весьма длинных оболочек

.второе

слагаемое

пренебрежимо мало, поэтому

0- =

£ > я2

я 2 + »/гл2 / г 2 — 1

_

.

,

(5.56)

откуда следует,

что минимальное значение критического давле­

ния достигается

при п=2, а

значение

3D

я 2 +

Ш

(5.57)

q- =

- 9?

я 2 +

4/г

Оя2

я<>

(5.58)

я-

Л''

(«2 — 1 )

д*

3D

(5.59)

-qR- №1S

=

0.

(5. 60)

Принимая, как и ранее, функцию % в форме

mux .

ns

(5.61)

у =

-/

sill

Sin

L

/ 0

l

R

(m — число

продольных

полуволн, n — число

окружных волн;

Xo= = oonst) и вводя ее в уравнение (5.41), найдем

выражение дл я

критического

внешнего

.всестороннего

равномерного

давления

трехслойной

круговой

цилиндрической

оболочки

Un2

£>я2

( » 2 - 1 ) 2

ft/j2

/_лг2_ |

д2 —

я4

,2X2 +

Л 2

Х4

(5.62)

1

н4

2X2

из

которого

следует,

что

минимального значения q

достигает

при

т—\

Г

Ш2

Ря?

'

1 +

7Г

( Л 2 _ 1 ) 2

1 + •

я- + п2 — 1 я-

Я1

2X2

+Х4

яб

(5. 63)

/ я-

З д е с ь, как и прежде,

к =

F =

,

Х =

— .

(5.64)

ß#2

Г

Я 4 Д 2 Ѳ

£

Ѵ

Д л я

достаточно

длинных

оболочек эта

формула

переходит

в со­

ответствующую

формулу

предыдущего

раздела,

и дл я

бесконеч­

но длинной оболочки критическое значение внешнего

равномер­

ного всестороннего давления совпадает с критическим

значени­

ем внешнего равномерного поперечного давления

Я

;

•

(5.65

5.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ПРИ

КРУЧЕНИИ

Пусть

по

торцам

цилиндрической оболочки

приложены

кру­

т я щ и е моменты Мир. В докритическом

безмоментном

состоянии

удельные усилия в оболочке

равны

№n = N°,

=

0;

№1,=

- ^ - .

(5.66)

П р и н и м а я

функцию % в виде

.

тлх

п (s — rix)

I

,

п (s— rix)'

(5.67)

у = Sin

I

a sin —-

•—-—k b cos —-

—•

(a,

b,

R

1

R

п подставляя

i-j — параметры, n — число окружных

волн)

е е ,в уравнение

устойчивости

(5.41), приходим к следующим двум

уравнениям:

о

( 1 _

і * і

я

. )

D 3

+ ^ / _ J Î I +

™ L \ V I

+

_ W „ , ) +

V

ߣ2

/

Я8

' Я2

V

Ä -

/ / V

РЯ2

/

+

2ЛГ1 2

(

-

^ j

- f

f )

( l + p

- g - f t ' ) = 0 .

(5.6

И з

этого

уравнения

следует,

что

минимум

Л^іг достигается

при

т = 1 .

Вводя

обозначения

k

=

W

X

e T ' ' = T *

( 5 - 6 9 )

приведем

уравнения

(5.68)

к

виду

Ш

X2

Х2

„

Z J V 12

^20

£2

я;2

3X2

(5.70)

£ А

12

к

Х2

'

Х2

S2

л 2

л 2

Суммируя и вычитая эти уравнения друг из друга,

найдем

лгО

1 +

1 — E 2

Ь

С2-П (7)2+ 3Ç2)

£ Л

24

А

Х

2

1

2

Х2

£2

я2 ?

U

'

я2

«А

1 —

Х2

Х2

3*2)

1 -!-

£2

• £2 (£2 +

£ ! ° ^ J L

l ü »

ü L "

= 0 .

(5.72)

12

Л

X2

о

Х2

ѵ

С помощью

равенства

(5.72)

в ы р а ж е н и е

(5.71)

приводится

к

виду

^

=

2

й

^

т .

(5.73)

'

Я2

/

Х2>

Ѵ

[ 1 - £ 2

—

я

,

Кроме того,

(5. 72)

позволяет

определить

г| при заданном значе­

нии І, т. е. я, и подстановкой

в

(5.73)

найти

минимум

Nn0

U

/

„

Х2 \

2

,

<

_ _

L

^

_

^ _

^

_

^

, =

0 .

(5.74)

1

+ і

2

-

\

^

Пусть

г о

2 £ А 2

4

/ У?А

Я 2 ^

|

/

/2

Поэтому

1 - е 2 —

л 2

Д л я

однородной

оболочки

формула

(5. 76) остается

прежней,

тогда как уравнение

(5.74)

приобретает вид

Г л а в а 6

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ

НЕПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК ПРИ МАЛЫХ И КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

В этой главе получены нелинейные уравнения равновесия и

устойчивости непологих

трехслойных

оболочек,

состоящих из

различных изотропных

несущих слоев

и жесткого

трансверсаль-

будут использованы для оценки границ

применимости

уравнений

локальной потери

устойчивости

и полубезмомеитиой

теории. Так

ж е ,

как и в гл. 5, здесь для

заполнителя приняты

кинематичес­

кие

гипотезы прямых

линии,

для

несущих

слоев — гипотезы

Кирхгоффа — Л я в а .

Как

и

ранее,

используем

общий

для

всех

трех

слоев

коэффициент

Пуассона, определяемый

по

формуле

Е\Іі\

, ,

Е21і-2

,

E3h3

ѴЗ

-V,

Ѵо +

1 — ѵг 2

1 _ ѵ 2 2

2

^ 1 _ ѵ 8 2

Е\Іі\

Еф-2

E3h3

1 _

ѵ,2

1 _

ѵ2 2

1 _

ѵ3 2

где

Eh,

ѴА (k=\,

2,

3) — м о д у л ь

Юнга

и коэффициент

Пуассона

первого,

второго несущего

слоя

и

заполнителя

соответственно;

hk

( Ä = 1 , 2,

3) — т о л щ и н а

первого,

второго

несущего слоя

и за­

полнителя соответственно. Помимо введенных

ранее

обозначе­

ний

положим /1], Л о и

/ ѵ ' и ,

/г2 2—параметры

Л а м е и главные кри

визны

поверхности,

эквипотенциальной

к срединной

поверхности

заполнителя .

1.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

И

ДЕФОРМАЦИИ

Так как и гипотезы прямых

линий

и гипотезы Кирхгоффа —

Л я в а предполагают

несжимаемость

материала

слоев в

попереч­

ном направлении, то функция прогиба

точек оболочки

не

зави­

сит от нормальной

координаты z:

w = w(xu

Хо) .

(6-1)

цг

=ui-\-zùl

( — c < z < Ç c ) ,

(6.2)

lit — тангенциальные перемещения т о ч е к ,

исходной

поверх­

ности.

Тангенциальные

перемещения граничных

поверхностей за­

полнителя

ui1 = ui-\-cfi

(z=c);

— щ —

(z= — c).

(6.3)

Теперь, используя гипотезы

Кирхгоффа — Л я в а ,

дл я

танген­

циальных перемещений точек несущих слоев найдем

выражения :

д л я

первого

несущего

слоя

( c ^ z ^ c + /îj)

u';=u, + cy,+{z-c)

[(tii +

cbA k'u-H'-lwtl]

;

(6.4)

дл я второго

несущего

слоя

(—h2 —c<z<—с)

tl* =

Ui—

С<Ь;-{-

(Z-\-C)

[(И, — Clb,-) kit

—

Я;"~Ѵі,;] .

(6.5)

В этих

формулах

;

hu

— ей,-,-

1 +

•

H " -

• oka

\ +

Clt:

Ck;

' n

l

-

причем

ku

и Ai — соответственно

главные

кривизны

и пара­

метры Л а м е срединной поверхности

заполнителя .

Линейна я д е ф о р м а ц и я поперечного сдвига

е,-з через

переме­

щения вычисляется по формулам

e Î 8 = « M - ( l + A H z ) - ^ X + ^ r 1 Œ ' . /

2)

(6.6;

Д л я заполнителя найдем

согласно

(1.2)

из '

i>i — kUU;

+

Ä7lWd

а,-

(6. 7)

1 +

k n z

1 +

kUZ

Вводя

івмессо ар новые

перемещения

«/ =

Фі-

•<М/ +

Л,- V / .

(6.8)

форме:

при

( с ^ г ^ с + Лі)

II,-

\ t

Zk"

cal-\-z(kiiui

— Ai У , ) ;

j

при

(-

4 =

M; + Z

+

—

^,, - ):

(6.9)

при

( — h 2 — c ^ z ^ — c )

u=U;—

1

1 •

скцca^zikiiUi

— Ai V , ) .

+

z k i i

Так

ка к

zck'u <c% 1.

эти

формулы можно

получить в івиде:

5

3197

109