книги из ГПНТБ / Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Р е ш е н ие уравнения

(1.6)

из-за

наличия

несимметричного

слагаемого

дхду

\

ß

I

/ л

приходится отыскивать в виде бесконечного

двойного

ряда по

синусам.

Выбрав прогиб панели m форме

\

Ч

мѵ

тлх

пли

(4.25)

. . V U ^ s i n — — s i n — ^

ttZ=l /1=1

д л я xi будем иметь выражение

7л-

4ѵѵ

.

лгл.ѵ

,

нл</

(4.26)

^ ш л sin

—

sin

то

со

• 1 л ~ 1 | л 2 +

? 2

I T H " 2

+

?,2

к а ж д ы й член которого

удовлетворяет

краевым

условиям

(4. 17).

П о д с т а в л я я

(4.26)

в

уравнение (4.15),

найдем, что

(4.26)

и, следовательно,

(4.25)

не являются

точным решением, так как

л е в а я часть уравнения

(4. 15)

не обращается

в нуль.

Р а с к р ы в а я определитель,

найдем

X

А 2 2 А 1 з Л 3 1 Л 3 3

(4. 33)

А,

г д е

А 1 = Л 1

1 Л 1 з ^ 5 Л 3 1

+ ^ Л з з ] + Л 3 1 Лзз ( 4 л 1 1 +Ал 1 з ) .

(4.34)

Д л я

нечетных сумм

/ + / имеем

аналогичную формулу

Л]2А2іА2зА3 2

(4. 35)

Ао

Здесь

А ,

" ö l А

і 2 Л а і

+

_ 8Г А а з А з

в ^~7Ь ( Л і 2 А 2 3 + Л 2 і А 3 2 ) -

(4. 36)

Указанную

задачу

для пологой круговой цилиндрической па­

нели при действии

равномерного

продольного

сжатия

N и внеш­

него равномерного

поперечного

давления q решим

приближен ­

но—-методом

Бубнова

[1, 2]. З а д а в а я

функцию прогиба w в фор­

ме

w = W

(m—1)лх

-

1)(т-\лх-\)лх I

. пли

(4.37)

C OS —

C O S -

—

sin —

и учитывая, что w с %і связаны

I

\

Ь

зависимостью

v2

W Z l

,

(4. 38)

д л я хі получим

в ы р а ж е н и е

W cos

(m

— 1) лх .

пл:у

/

sin :

b

+

("I-

1)2

1 +

k \rfi

+

(и -

I ) 2

X2

X2

, „

(m +

1) лх

.

/my

W cos

I

sin

b

(4.39)

{m

+

1)2

(я»+

I ) 2

1 + k

7l2 +

X2

X2

1 + /г«

л 2 +

(т-іУ-

( я г - l ) 2

X2

Dn*

*2

2 ( m 2 +

1)

(I + 81J +

1 +

А

X2

J

X2

1

( m +

l ) 2

(m+

1)2

X2

л 2 +

X2

(4. 42)

( / И + I ) 2

2 ( я г 2 + 1)

1 +

А Л2 +

X2

N--

Dn2

1 + M ( m —

I ) 2

(да — 1)4

/2

1 1 ) 2

2 ( я г 2 +1 )

1 +

к& {т +

I ) 2

(т+ 1)4

(4.43)

1 + * ! ( m + I ) 2

2 ( « 2 + і ) j

где

Л2Л 2

ß/2

П р и ш = 1 формула

(4.43)

дает значение первого (наимень­

шего) критического усилия

4Dit2

1 +

4 M ,

(4.44)

/2

1 +

4A>!

w= W sin : тлх

cos

< " - 1 ) j

t j /

-

c o s Г ( п +

1

)

я ^ 1

(4.45)

найдем

тлх

лу

W sin

COS (/г— 1) — —

те2

о Г

"г2

M

_ ( п - 1 ) 2 + - _

1 + * ( „ _ ! ) » + _ !

и/

sin

/галл

cos

(л +

Л7(/,

I

1) ——

о

(4.46)

т2 '

т 2

(п + 1)2 +

1 +

/г

(л + 1)2

+

À2

Х2

Используя метод

Бубнова

[1, 2], приходим

к

уравнению'

1 + . ( * - 1 ) 2 +

^

« 2 J

Ѵ

^ ' Х2

(1+8і«) +

1 4- к

( Л - 1 ) 2 +

Х2

1 +

( n +

1)2

+

X2

1 -Ь k

(я +

I ) 2

•

m-

"л-і

(1

+

»яі)

(4.47)

( « - 1)2 + :

(и + I ) 2 +

где

Я.2ЛЭ

12Л-> (1 _

V 2)

ß*2

' '

hWQni

ô l n

= 0

при и ф\\

8 1 я = 1

при n—\. •

И з формулы

(4. 47)

может

быть

определено минимальное

критическое

внешнее равномерное

поперечное давление (N=0),

минимальное

критическое

равномерное осевое-усилие (<7 = 0), ми­

ления q и осевого

усилия N для тонкой

упругой

круговой

ци­

линдрической

панели,

криволинейные

края

которой

свободно

оперты, а прямолинейные — жестко

защемлены .

При 9 = ц 2

= 0 из (4.47) найдем

в ы р а ж е н и е критического

уси­

лия

плоской

прямоугольной

пластины с двумя противоположны­

ми

свободно

опертыми

краями

и двумя

жестко

защемленными

равномерно сжатыми силами N краями .

6. УСТОЙЧИВОСТЬ

ПАНЕЛИ,

ЗАЩЕМЛЕННОЙ

ПО ВСЕМУ

КОНТУРУ

[СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ)

Наконец,

получим

формулу

для критической

комбинации

равномерного

осевого

усилия

N и внешнего

равномерного

попе­

речного давления

q для круговой

пологой

цилиндрической па­

нели, жестко защемленной на всех

кромках .

Принимая прогиб панели w в виде

w = W

cos

(m — 1)

лх

cos

(m

+

1) пх

X

I

X

(n

— 1) ny

(n +

1 )

ли

(4.48)

cos-b

' — ^

cos - 4

;

J

b

b

для

функции %ь используя

(4.38),

находим

выражение

(/72- • 1 ) лх

(я -

1) лу

W cos

—

cos

Zi =

( m - l ) 2

(m— I ) 2

( « - 1 ) 2

1 + k ^(n—

1)2

X2

+

X2

W cos

( m —

1)

лх

cos

Г

„

{m — 1)2 12 Г

/

(щ

1)2

( я +

1 ) 2 +

X 2

[ l +

к \{n+

\ ) 2

+

~

X2

cos

(m

+ 1) ял-

(Л —

1)

пу

W

—

cos

Г

„

(m

+

1)2

1 + Ä (И - 1)2 +

(т+

1)2

[ ^ ( « - 1 ) 2 +

Х2

Х2

и/ cos

( « + 1 ) я л -

( л + 1 ) Я ( /

cos

;

т

(4.49)

( r t + l ) 2 +

—

1 + А I (n + 1)2 + •

J

Х2

L

V

Х

2

П о д с т а в л я я (4.49)

в

уравнение

(4.15)

и

ортогонализнруя ре­

зультат к функции (4.48),

т. е. используя

метод

Бубнова i[l, 2],

имеем

262

N (2 +

8Я 1 ) - ^ ± 1

- f

qR (2 +

Ка) № + 1 ) ] =

£>я2

Х2

1 +

и

( Л - 1 ) 2

( m - 1 ) 2

+

( r t . - l ) 2 + ( Ш - 1)2 ' ( 1 + 8 я й ) ( 1 + 8 я 1 ) +

1 + k ( л - 1 ) 2 + ( m - 1 ) 2

*2

1 + 8/г

1)2

( m +

1)2

_

+

Х2

( / л +

1)2

(

Я -

I ) 2 -

+ (т+

1)2

1 + / г

( л - 1 ) 2

1 + U ( л + 1)2 + ( « - I ) 2

Х2

( l + 8 „ i ) +

1 +

k

, ( m - 1 ) 2

1

1 ' ~

X2

( " +

I ) 2

X2

1 + Ьі

( 1 + 1 ) 2

+

(m +

1)2

+

X2

:« + 1 ) :2 |

(Д + l ) 2

1 + k ( Л + 1)2 +

(m + 1)2

X2

X2

It? f ( m - l ) 4 ( l

+

S m l ) ( l

+

8Д 1 )

,

(И -

1)4 (1

+

»ml)

1

1 Л

(m —

1)2

X4

( Л - 1 ) 2

+

(m — 1)2

12

(л +

l ) 2

+

X2

X2

(m

+

1)4 (1

+

Bn l )

(m +

1)4

(4.50)

(ОТ + 1)2

--12

(m +

1)2

( я - 1 ) 2

+

X2

(Л + I ) 2 +

X2

где

Se2

Л2/?2ѲЛ4

ô

(4.51)

Г

j = 0

при

тфі;

8 l m = l

при

m=l;

, =

0

при

пф\\

8 1 л = 1

при

и = 1 .

П о л а г а я в формуле (4.50)

| i 2 = 0,

q = 0, найдем

выражение

для критического сжимающего

усилия

трехслойной

защемлен ­

Г л а в а 5

ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

Уравнения устойчивости, полученные в гл. 2 и использован­

ные для исследования устойчивости

цилиндрических оболочек,

пригодны только в том случае, когда

по крайней мере при поте­

кие оболочки

полубезмоментную теорию,

предложенную для

однослойных

оболочек

В. 3. Власовым [3—5], см. т а к ж е [24, 25,

26]. В этой теории принимаются следующие

гипотезы.

Продольные изгибающие и крутящие

моменты

считаются

равными нулю. Линейные деформации в поперечном

направле­

нии и сдвиг

исходной

поверхности отсутствуют. Коэффициент

Пуассона полагается

равным нулю. Д л я трехслойной

оболочки,

нему, X — координата

вдоль образующей, s — координата

по ду­

ге поперечного круга;

R — радиус исходной

поверхности

оболоч­

ки, Njj — полные удельные тангенциальные

усилия; Q2—

полная

удельная поперечная

сила; Q 2 3 — ; у д е л ь н а я

поперечная

сила,

ющие и крутящие моменты;

— обобщенные изгибающие и

крутящие моменты; ри р2, q—внешние

тангенциальные и нор­

ной выше постановки в

удельных

усилиях и моментах будут

иметь вид

dNl2

(5. 1)

дх

ds =

— л ;

dNl2

dN22

(5.2)

дх

ds

ds

N

— — •

(5. 3)

2 3

/г ~

<Уа = д.\кп

(5.4)

3

дИ-у

(5. 5)

ds

Перемещения. Тангенциальные перемещения точек заполни­

теля в соответствии с принятыми

гипотезами будут

( — с ^ г ^ с )

dw

дх

(5.6)

d'ss

ds

Тангенциальные перемещения точек первого несущего слоя

равны ( с ^ г ^ с + Л))

dw

it\ — ux

— z

дх

(5.7)

dw '

" f

=

«2 +

« 4 Т ~

"ds,

а второго

несущего

слоя

( — с — Л ^ г ^

-с)

имеют

вид

u\ =

ux

dw

из

dw \

(5.8)

щ = и2— ca2 -f-;

( R

ds

В этих

формулах

ai — угол

поперечного

сдвига

заполнителя

в направлении, перпендикулярном к образующей

цилиндричес­

кой оболочки.

Д е ф о р м а ц и я .

Обозначая

составляющие

деформации, углы

поворота и кривизну

через

dui

,

діі'2 j_

w

duidu\

I du2

дх

ds

R

ds

dx

да2

(5.9)

а 22 — "т^ 1 •>'

ds

'•11-

d?w

1 дао d-w

1

du2

âx?

'

"2 2

~R~ äsTs

ds? '

"

R

dx

dxds '

найдем соответственно

линейные

относительные

деформации

для первого, второго несущих

слоев

и

заполнителя

:еП~\~

~/шП'

E22

^22~ЬСа 22~Г~'г '< 22>

е 1!

еп ~T"Z X 11'

S22

^22

C C f 22 ~f"ZyW>

(5. 10)

£11 —eU

\~ ZHli

E22=

^22 ~f"Z(122 ~\~ZV22-

Д е ф о р м а ц и я поперечного сдвига заполнителя

"23-3 =

а„

(5.11)

Условие

нерастяжимости

поперечного

сечения

дает

ет

=—-^--Ь — = и.

(5.12)

âs

R

отсюда

р

âa2 .

Я

J*_+

J _ J L \

(5.13)

А

—— ,

' о , -

dss

1

R

ds I

*

к

'

Уравнение

равновесия. Уравнения

(5. 1) — (5.4)

сведем

к од­

ному уравнению, исключая Л'і2 , N22, Qi,

d*Nn

(5. 14)

дх*

Здесь Q — дифференциальный

оператор

ds*

R

ds* '

(5.15)

1

P — функция,

з а в и с я щ а я от внешней

поверхности

нагрузки,

п

д*

, д

à

(5.16)

Напряжения. Согласно закону Гука

при равных

нулю

коэф­

фициентах Пуассона

н а п р я ж е н и я в слоях

равны

0 і = Е1 (еи + zv.u );

о8 і =

Ег

(са 2 2

- f z-/.22);

о^ = Е2

{еп

+

гхц);

ав» =

£ 2

( -

г а 2 2

- f zx2 2 );

а

і

3

= +

zy-n)

! а г 3

= ( z a w

- f zx2 2 ) ;

j

}

(5- 17)

a 2 3 =

G (

V

J

Удельные усилия. Введем удельные усилия и удельные мо­

менты

слоев:

Nlu--

с+Л,

-с—hi

—с

c+lh

с

—c—hi

—c

I

So

М\2 =

c+ft,