книги из ГПНТБ / Арутюнян А.Г. Применение математических методов и ЭВМ в народном хозяйстве
.pdfгде область 0 ,д ( /? п+т определяется условиями:
пк
X «и х, (А ) + x„+i (Л) = |
+ |
V Ьл кк, |
1^=1, 2..... т, |
(14.2') |
J -i |
|
k -i |
|
|
* ,( Л )> 0 ; у = |
1* |
2..... я + |
да. |
(14.3') |
При сделанных выше предположениях относительно величин 5ik и Ьх для достаточно удаленных от начала коор динат (хотя бы вдоль одной оси) точек задача (14 .Г )— (М .З')имеет исходный базис. Действительно, выбором век
тора X (Л) = (х г (Л), x i (.\)..... |
JCn+m(A), с компонентами |
|
! 0, |
при _/«= 1, 2..... |
п, |
* |
|
|
1. |
8ik'k + 6j, при y = « -f-l, л +2,..., п-\-т, |
|
строится исходный опорный план расширенной задачи. Зна чит основа, состоящая из единичных векторов, образует базис этой задачи.
Для нахождения точки допустимости задачи (14.1)— (14.3) решается расширенная задача. Для решения расши ренной задачи с помощью видоизмененной схемы метода последовательного улучшения плана исходная симплексная таблица заполняется следующим образом. В первых К
столбцах |
первых т строк помещаются величины 8ilt, в |
(К ~|-1 )-ом |
столбце — величины Ь{. В остальных столбцах |
первых т строк помещаются величины aVy В первых (/(+ 1 ) столбцах (/й -|-1)-ой строки помещаются нули, а в осталь
ных столбцах — коэффициенты |
с, из выражения (14.1) с |
||
обратным |
знаком. В первых К столбцах (/га+2)-ой строки |
||
помещаются величины — £ |
g.b |
в (/С —}-1)-0м столбце — ве- |
|
|
i - 1 |
|
|
личина V |
Ь„ а в остальных |
столбцах — величины V а,.. |
|
U 1 |
|
|
1= 1 |
С целью единообразия элементы симплексной таблицы |
|||
обозначим |
через х и. |
|
|
Ясно, что значения базисных переменных в каждой точке определяются формулой
257
17—644
,Xji = ^i0(A ) = V |
)'i ~f“ x \,к-t i. i = l , 2,..., m. |
(14.4) |
К исходной симплексной таблице применяется проце дура, незначительно отличающаяся от вычислительной процедуры метода последовательного улучшения плана.
В основной части симплексной таблицы отыскивается
|
. |
|
*Хт+2, Ь ” |
min |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
K+2<j<K+-n +l |
|
|
|
||
и |
определяется |
знак этой |
величины. Если |
х т+.2, |
|
то |
|||
вектор с |
номером |
у — ( /( + 1 ) подлежит вводу в базис. |
В |
||||||
этом случае нужно |
перейти |
к определению вектора, под |
|||||||
лежащего |
исключению из |
базиса. |
Если лт+2. j„ ^ 0 , то |
в |
|||||
столбцах, |
для которых Лт-нм — 0, отыскивается |
|
|
||||||
|
|
|
-го-1-1 j, — |
min |
Х т -н , |
|
|
|
|
|
|
|
|
K+-2-ii <;K+4i+ |
|
|
|
|
|
и |
определяется |
знак |
Если |
Лщ+м, <^0, то |
вектор |
||||
с |
номером |
у., — {К -J-1) подлежит вводу в базис. |
Если же |
||||||
-Xm+i.j,^0 |
или |
*т+ 2.}0 > 0 , |
то уже |
получен |
оптимальный |
||||
опорный план расширенной |
задачи |
на некоторой |
области |
||||||
изменения параметра А. К детальному изучению этого слу чая мы вернемся позже.
Рассмотрим случай, когда признак оптимальности пока не обеспечен, т. е. когда определен номер вводимого в ба зис вектора. Выделяются положительные элементы в пер вых т строках выбранного столбца (столбца у0 или j\). Если в этом столбце нет ни одного положительного эле мента, то вычисления прекращаем, так как в этом случае ЛР= 0 .
Предположим, что в выбранном столбце имеется по крайней мере один положительный элемент. Выбор строки производится точно так, как в методе последовательного улучшения плана (с дополнительным требованием, что в случае вырожденности хотя бы для первых (/(+ 1 ) столбцов обязательно нужно применить способ устранения возмож ных зацикливаний, основанный на принципе е— прираще ния). После определения единственной строки реализуется преобразование симплексной таблицы по обычным форму лам метода последовательного улучшения плана и снова
258
рассматриваются элементы {т-\-2)-ой и (/и -Ц )‘ ой строк основной части таблицы.
Через конечное число преобразований симплексной таб лицы либо обнаруживается, что множество Л" пусто, либо обеспечивается признак оптимальности для некоторой осно вы. Если выполняется признак оптимальности, то находим точку базисности этой основы. Для определения точки до
пустимости |
осуществляется следующая последовательность |
|||||
действий. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Принимается |
^К = лг!-К.и . |
|
|
||
2. |
Выбираются |
строки, |
для |
которых |
( / = 1 , |
|
2,..., К —1) |
и XiK Ф 0 (^> 0). |
Здесь |
возможны два |
случая: |
||
а) |
есть |
хотя бы |
одна такая строка; |
|
||
б) нет строки с этим свойством.
Вслучае б) в качестве значения параметра /.* выби
рается произвольное число (например, |
можно брать >.°к = 0) |
и совершается переход к выполнению |
пункта 4. В случае |
а) — переход к пункту 3.
3.Из условий ?ikS*0 определяется:
где |
max берется по всем г, для которых .* ^ = 0 ( /= 1 , |
2,..., |
£ - 1 ) . |
4.Вычисляется ft, k--i по формуле
|
Pi, k—1= |
Pik-h-^ik |
/ = 1 , 2,..., т . |
5. |
Анализ |
значения к. Если А=р1, то k уменьшает |
|
на единицу {к —1-»£) и совершается переход к выполне |
|||
нию пункта 2. Если |
же £ — 1, |
то уже определена точка |
|
Л°=з(л°1, |
).°к), |
в которой данная основа является оп |
|
тимальным опорным |
планом задачи (14.1')—(14.3'). Значе |
||
ния базисных компонент опорного плана в точке Л° опре |
|||
деляются |
равенством |
|
|
|
x i0 (Л°) = ft0, i = |
1, 2..... т. |
|
Ясно, что на неограниченном параллелепипеде базисность данной основы не нарушается. Если в оптималь ном базисе нет ни одного искусственного вектора, то в ука занной области уже имеется функция / ’ (Л). Может ока-
259
заться, что некоторые искусственные векторы входят в оп тимальный базис, но значения соответствующих базисных неизвестных В точке А0 равны нулю. В этом случае можно в точке Л'' продолжать процедуру преобразования таблицы так, чтобы избавиться от искусственных векторов. Если в точке Л9 хотя бы одна искусственная переменная входит в оптимальный опорный план с положительным значением, то выбирается такое направление, по которому имеется возможность достичь области допустимости задачи (14.1)— (14.3).
С целью выбора вектора направления, приводящего к более быстрому нахождению допустимой точки, рассмат ривается коэффициент при А\ в выражении целевой функ ции. Этот коэффициент представляет собой функцию
к ( Л ) = |
.£m+2, к '-к -f-^m-t-2, К-Н t |
(1 ^ -5 ) |
|
к-: |
|
которая в точке Л = Л принимает строго |
положительное |
|
значение. |
|
|
Отсюда ясно, что для достижения цели необходимо по пасть на гиперплоскость а (Л )= 0 .
В качестве направления выбирается вектор S с компо нентами sk = — -*m+2.k, и на луче Л +IJ.5 (^5*0) решается однопараметрическая задача с численным параметром |i. Для решения однопараметрической задачи к имеющейся симплексной таблице добавляются два дополнительных столбца (столбцы 2 и я + К + З ). В столбце (лг.-{-Х—f-2) заполняются значения базисных неизвестных и целевой
функции (коэффициенты при ц в точке Л — Л°). В столбце
к
(л-)—/С—f-З) заполняются величины V x iksk (/= 1 ,2 ,..., т-\-2).
Теперь на полуоси 0 ^ [ К ^ о о алгоритмом С. Гасса (см. (20])
решается |
однопараметрическая |
задача. |
Через |
конечное число шагов либо получится отрезок |
|
[(j-t, nt+i] |
изменения параметра |
у., на которой оптимален |
базис, состоящий из векторов условий задачи (14.1)—(14.3),
либо |
луч (|it, |
+ ° ° )* |
на котором оптимальный базис содер |
|
жит |
хотя |
бы |
один |
искусственный вектор, либо же луч |
(|j.t, -f-oo), |
на котором рассматриваемая задача неразрешима. |
|||
260
В первом случае в точке -‘W A 0 + ut5 уже имеется решение исходной задачи. Во втором и в третьем случаях, используя выражение (14.5), выбирается новое направление и реша ется однопараметрическая задача, так как на указанном луче исходная задача заведомо неразрешима.
Указанным способом каждый раз в текущей точке К- мерного пространства выбирается подходящее направление
и вдоль этого направления |
через конечное число перехо |
|
дов либо обнаруживаем, что |
множество N пусто, либо опре |
|
деляем точку допустимости |
исходной задачи (14.1)— (14.3). |
|
Множество N пусто при следующих случаях: |
||
а) текущая точка Л £ R K является точкой допустимости, |
||
но ф ункция/[А (Л )| не |
ограничена сверху на множест |
|
ве Ж д! |
|
|
б) в текущей точке |
нет ни одного направления S, по |
|
которому линейная функция (14.5) уменьшается, и при ре
шении соответствующей однопараметрической задачи |
мож |
но получить положительное допустимое значение ji. |
|
Случай б) означает, что система ограничений |
(14.2), |
(14.3) и |
|
■ Й « 0 |
(Н .6) |
несовместна. |
|
Следует отметить, что вышеприведенный прием выбора |
|
направления не является единственным. Можно предло жить целый ряд приемов выбора направления» позволяющих попасть в полупространство (14.6), содержащее множество допустимых точек (если такие вообще существуют).
Недостатком выбора направления внутренней нормали
к граничной |
гиперплоскости |
полупространства а (Л) в ка |
||
честве направления является то, что по |
этому направле |
|||
нию максимально возможное |
значение |
численного пара |
||
метра |а может быть равным нулю. |
В этом случае н еобхо |
|||
димо другое |
направление S, |
для |
которого выполняется |
|
условие |
|
|
|
|
|
л - 5 > 0 , |
|
|
(14.7) |
где п — внутренняя нормаль к граничной гиперплоскости полупространства (14.6). А таких направлений бесконечное количество. Конечно, конус таких направлений можно по261
степенно сужать добавлением к условию (14.7) дополни тельных условий вида
V х л ( A + ^ O + ^i. к+1 ^ 0 , |
(14.8) |
где
Но количество ограничений вида (14.8) не может пре восходить т. Значит максимальное количество перебирае мых направлений может быть т-\-1.
Приведем другой способ выбора направлений, который, по сравнению с описанным во многих случаях, будет более эффективным. Если /-ой строке симплексной таблицы со ответствует искусственная базисная переменная, то в ка честве направления выбирается внутренняя нормаль к гра ничной гиперплоскости полупространства
к |
(14.9) |
V * ik >,k + Х\, к+1 0. |
Если при движении по этому направлению попадаем в полупространство (14.9), то тем самым из базиса исклю чается i-ая искусственная переменная. Тогда выбирается одна из оставшихся строк, содержащая искусственную пе ременную. Если же при движении !вдоль данного направ ления попадаем на граничную точку области разрешимости однопараметрической задачи, не пересекая граничную ги перплоскость полупространства (14.9), то заключаем, что многопараметрическая задача неразрешима. Действительно, если вдоль указанного направления данная искусственная переменная не исключается из базиса, то она не будет исключена и при движении вдоль любого направления.
Как видно, второй способ выбора направления в не которых случаях может быть неэффективным по сравнению с первым, однако он гарантирует выявление случаев не разрешимости задачи за конечное число выборов направ лений.
262
Предположим, теперь, что при движении но выбран ному направлению можно попасть вточку A £ jV. Очевидно, функция F (Л) порождается данным базисом на некотором выпуклом многогранном множестве Nv содержащем эту точку, причем эта точка находится на грани множества JV„ которое определяется системой линейных неравенств
_ |
к |
•*io(A) = |
X •*«'-1+-Чк+|5*0, 1— 1, 2..... т. (14.10) |
|
k—1 |
Используя метод М. Л. Балинского (см. [931), можно найти все вершины множества Nv Однако этот метод до вольно трудоемкий и, как будет показано в дальнейшем, нет необходимости в определении всех вершин этого множества.
Так как каждое множество А , связано с определен ным базисом Б-, то запоминанием базисов Б-, выражений базисных компонент соответствующих опорных планов н выражений функции Р(Л ), можно последовательно перейти от одной области к другой и в конечном итоге найти все множества Nx.
Приведем краткое описание алгоритма переходов от граничных гиперплоскостей к соседним множествам Nx.
В симплексной таблице, соответствующей базису Б0£М, выбираем первую строку (/= *1) и из имеющейся точки Л® двигаемся по направлению нормали к граничной гипер плоскости
Л ^ А ) — 0 |
(14.11) |
при г = 1 .
По этому направлению решается однопараметрическая задача, в результате чего определяются отрезки [nt, im+i|. изменения численного параметра ц, на каждом из которых функция
?1 М = F (Л’ + 4 S,)
порождается определенным базисом S t. Ясно, что критиче ским точкам [г, соответствуют /(-мерные точки Л '= Л °+(1,5, находящиеся на критических (граничных) гиперплоскостях соответствующих множеств Nt.
Через конечное число переходов получается критиче ская точка (л-т,» правее которой либо задача (однопарамет-
263
рическая) |
неразрешима, |
либо функция |
<fj(y-) порождается |
|||||||
одним |
и |
тем |
же базисом. |
Переходя |
к /(-мерной точке |
|||||
Лт‘ = Л п+ |
И тД обнаруживаем, |
что этому лучу соответст-. |
||||||||
вует некоторое полупространство пространства /?к. |
||||||||||
Отметим, что при каждом переходе по направлению |
||||||||||
соответствующие |
базисы |
/>t |
включаются |
в множест |
||||||
во Л1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке Лт‘ |
выбирается |
новое направление S2, совпа |
||||||||
дающее |
с |
нормалью |
к |
граничной |
гиперплоскости (14.11) |
|||||
при 1 = |
2, |
и повторяется |
описанный |
выше процесс только |
||||||
с той лишь разницей, |
что при переходе к новому отрезку |
|||||||||
в однопараметрической |
задаче |
получаемый |
базис сравни |
|||||||
вается с базисами множества М. При появлении базиса, имеющегося в множестве М, процесс перехода но данному направлению прекращается и реализуется переход к рас смотрению следующей строки.
Таким образом, путем рассмотрения всех строк сим плексной таблицы, последовательно выбираются направ
ления |
Sj и базисы |
Бт | т = V Ti-\- t |
строятся все области |
/V, и |
даются выражения функции F (Л) |
на этих множествах. |
|
В случае К = |
2 описанный алгоритм чрезмерно упро |
||
щается. Оказывается, что этим алгоритмом пользоваться легче, чем алгоритмом, предложенным Иренеушом Ныков-
ским (см. [59]).
Блок-схема изложенного алгоритма решения задачи
(14.1)— (14.3) |
приведена на стр. 265 и 266. |
||
Приведем пример параметрической задачи для случая |
|||
двухмерного |
векторного параметра Л = (Х ,, ).2), |
||
Пример. |
Для каждого A = |
().j, >.„) построить функцию |
|
|
F (А ) = т ах/ = |
max {2х, — Злс2), |
|
% |
G\ |
°А |
|
где множество Оц определяется |
условиями: |
||
|
Зхг— 2лг2 ^ |
+ 2>.2, |
|
|
—х г— * 2s£3X2 — 1, |
||
|
х ,^ 0 ; |
х 2^ 0 . |
|
Задача решается первым алгоритмом метода последо264
Блок-Схема решения задачи параметрического линейного программирования с линейно зависящим от параметра вектором ограничений
Начало
Все ли (позволяющие исклю 0 . чить искусственные векторы)
направления рассмотрены?
265
Продолжение блок-схемы решения задачи параметрического линейного программирования с линейно зависящим от параметра
вектором ограничений
266