книги из ГПНТБ / Арутюнян А.Г. Применение математических методов и ЭВМ в народном хозяйстве

себя сводную таблицу расходов (фактический и оптималь­ ный) жестких кожтоваров.

Результаты решения показывают, что расходы жест­ ких кожтоваров (в стоимостном выражении) в среднем можно сократить на 9,86%, что дает годовую экономию на 337242,92 рубля.

1Ноябрь 1969 г. 2133437 248928,39 1853319 220557,90 28370,49 11,40 Декабрь 1969 г. 2417926 287423,51 1824324 255108,71 32314,8( 11,24

Для отдельных месяцев расхождение еще больше. Так, например, в декабре 1969 года расходы жестких кожтова­ ров можно было бы сократить на 32314,8 рубля, что со ­ ставляет 11,24% фактических расходов.

Обобщая и анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:

1.С применением современной вычислительной техн

иматематических методов можно достичь значительных успехов в области использования жестких кожевенных то-, варов. Внедрение предлагаемой методики на производстве

даст возможность значительным образом улучшить произ­ водственную деятельность обувной фирмы „Масис“ .

218

Р А З Д Е Л III

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Математическое программирование является одним из наиболее молодых разделов прикладной математики. Одна­ ко, несмотря на свою сравнительно короткую историю, современный этап развития математического программи­ рования характеризуется достаточно высокимуровнем. В нем уже решен целый ряд проблемных вопросов. Такое достижение обусловлено в первую очередь бурным разви­ тием социалистической экономики, различными направле­ ниями передовой мировой науки и техники и ежедневным возникновением все новых и новых, продиктованных самой жизнью, задач. Математическое программирование приз­ вано для решения самых разнообразных задач на оптимум, причем оптимизации подлежит определенный показатель (не обязательно заданный в аналитической форме), назы­ ваемый целевой функцией задачи; на неизвестные величины накладываются некоторые ограничения, которые могут быть заданы как в виде равенств, так и в виде нера­ венств.

В зависимости от аналитического выражения целевой функции, ограничений на неизвестные, а также исходных данных математическое программирование делится на не­ сколько разделов, каждый из которых в настоящее время уже представляет собой самостоятельную дисциплину (до ­ статочно полный перечень и объяснение содержаний этих дисциплин приведены в параграфе 1 первой главы книги

[92]).

Одной из основных предпосылок и стимулов для раз­ вития математического программирования является точная словесная постановка исходной задачи (выбор показателя качества, существенных ограничений и факторов, связи между факторами и т. п.).

«Важным этапом в постановке задачи является выбор

220

переменных, которые следует принять в качестве парамет­ ров управления. При выборе переменных желательно обес­ печить возможно более простой вид условий и показателя качества. От удачного выбора параметров управления су­ щественно зависит трудоемкость решения задачи” (см. (92],

стр. 18).

После выбора переменных проводится формализация— математическое моделирование словесно поставленной за­ дачи. Процесс формализации представляет собой запись функциональных соотношений между переменными и ма­ тематическое выражение показателя качества. При этом каждое ограничение должно точно отражать соответст­ вующее условие, сформулированное при словесной поста­ новке задачи.

При построении математических моделей исследуемых явлений, особенно в тех случаях, когда эти явления изу­ чаются впервые, не всегда удается сразу сформулировать и записать все условия, которые должны ограничивать область изменений переменных задач.

Следовательно, успех решения реальных задач во мно­ гом зависит от результатов совместных усилий практиковпоставщиков задач и специалистов по математическому моделированию.

Взависимости от конкретной формы и сложности ма­ тематической задачи для ее решения либо выбирается один из известных методов, либо разрабатывается новый метод. Оказывается, что не для каждой модели можно разрабо­ тать конечный или сходящийся метод.

Поэтому при моделировании практических задач не­ обходимо учесть возможности практической реализуемости разрабатываемой методики решения этих задач. Принимая это положение за основу, в настоящем разделе изучаются задачи математического программирования специальных видов.

Впервой главе рассматриваются задачи параметриче­ ского линейного программирования, предлагаются алго­ ритмы решения поставленных задач и приводятся численные примеры. Во второй главе рассматриваются две задачи не­ линейного программирования (предназначенные для управ­ ления непрерывным технологическим процессом), не вхо-

221

дящие в класс задач выпуклого программирования, но обладающие свойством выпуклости множества оптималь­ ных точек. Предлагается также способ применения мето­ дов параметрического линейного программирования для управления технологическим процессом.

Г Л А В А I

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Формирование целого ряда практических задач по оптимальному проектированию различных систем и их даль­ нейшему управлению, по планированию отдельных звеньев народного хозяйства и т. п., приводит к линейным мате­ матическим моделям, где исходные данные не являются абсолютно точными, а в некоторой степени приближенными. Кроме того, если разработанную линейную модель, соот­ ветствующую определенному физическому или экономи­ ческому явлению, рассматривать в динамике, то со временем исходные данные могут подвергаться*изменению вследст­ вие самых разнообразных факторов. Если изменение исход­ ных данных носит случайный характер, то разработанная линейная модель входит в класс задач стохастического линейного программирования. Если же заранее известна закономерность изменения исходных данных (например, исходные данные являются функциями, зависящими от не­ которого параметра), то разработанная модель входит в класс задач параметрического линейного программирова­ ния (ПЛП). Задачи ПЛП в своих простейших постановках впервые изучались С. Гассом и Т. Саати (см. [20]). Ком­ пактное .описание алгоритмов некоторых специальных за­ дач ПЛП приведено в книге [22].

В настоящей главе рассматриваются несколько частных задач, которые расширяют круг задач ПЛП и отличаются от уже изученных тем, что в них участвуют векторные параметры. Необходимость изучения подобных задач обу-

222

вать исходные данные и уточнить модель.

Наконец практика показывает, что область приме­ нения ПЛП ежедневно расширяется, и ПЛП, с первого взгляда кажущееся уже завершенным, является одним из самых перспективных направлений линейного программи­ рования.

§ 1. Постановка некоторых задач параметрического линейного программирования

Решение задачи ПЛП в своей самой общей постановке требует чрезмерю сложной схемы вычислительной проце­ дуры. Следовательно, с практической точки зрения общая задача ПЛП вряд ли найдет применение. Даже в случае численного параметра общая задача ПЛП при определен­ ных ограничениях решается нелегко. Например, в случае аналитических функций одного (численного) параметра изучение задачи ПЛП на конечном отрезке изменения пара­ метра требует громоздкого объема вычислений (см. [84]). Это в первую очередь объясняется тем, что отрезки изме­

к большим трудностям в изучении свойств поставленной задачи.

Здесь рассматриваются специальные виды задач ПЛП характер которых позволяет разработать сравнительно простые алгоритмы их решения.

При изучении основных свойств решений и поведения целевой функции задача ПЛП рассматривается в сравни­ тельно общей форме записи. В общей задаче ПЛП ком­ поненты векторов условий предполагаются постоянными. Задача ПЛП, в которой один (и только один) из векторов условий зависит от параметра, исследуется отдельно.

1°. Постановка общей задача и определения. Рас­ смотрим следующую задачу ПЛП. Для каждой пары векто-

224

ности данного опорного плана), и в рассматриваемой точ­ ке (Л, M) = (/.j, >-к, tM.) могут существовать несколько опорных планов (вследствие вырожденности опорного плана двойственной задачи), то ясно, что в дан­ ной точке функция F { Л, М), вообще говоря, может по­ рождаться несколькими базисами.

2п. Изучение свойств целевой функции. При опре­ деленных ограничениях, накладываемых на функции ^ (Л) и

(М) можно четко определить характер области N. Утверждение 1. Если функции ФДЛ) (/=*!, 2,..., т) во­

гнуты, то множество О (если оно не пусто) выпукло1.

226