книги из ГПНТБ / Арутюнян А.Г. Применение математических методов и ЭВМ в народном хозяйстве

бец симплексной таблицы. Так, на любом шаге вектор Aj занимает /-ый столбец таблицы (напомним, что вектор ограничений занимает нулевой столбец). При измененной вычислительной схеме алгоритма для запоминания коэффи­ циентов представления исключенного из базиса вектора по векторам нового базиса используется генеральный столбец, элементы которого преобразуются не по общей схеме, а специальным образом. Для вывода формул преобразования предположим, что генеральный (ft-ый) столбец занимают коэффициенты представления внебазисного вектора Аык, а r -ую позицию базиса занимает вектор Aj f (r — номер гене­ ральной строки). Ясно, что относительно текущего базиса указанные векторы будут иметь следующие представления:

* т (= 0 ) .

Применим ко второму столбцу формулы преобразова­ ния элементов текущей симплексной таблицы (здесь j = r):

х к ------ - jcik при i ф г,

х гк

при i г.

*fk

Учитывая значения элементов x ir, получим: / — при I•ф, Г,

- При I— г.

162

Так как элементы x h' должны занимать места соот­ ветствующих элементов * |к, то полученные формулы мож­ но переписать в следующем виде:

—при i Ф г,

При этом подразумевается, что в й-ом столбце новой симплексной таблицы записываются коэффициенты пред­

но формуле (2 2 .1 ).

Итак, ценой незначительного усложнения вычислитель­ ной схемы преобразования элементов текущей симплексной таблицы можно сэкономить достаточное количество мест. Последнее обстоятельство имеет важное значение при ре­ шении задач больших размеров.

§ 3. Алгоритм решения вспомогательной канонической задачи

Приведем краткое описание вычислительной схемы алгоритма решения задачи Б'. На каждом шаге ориенти­ руемся основной симплексной таблицей размера (m -f-l)x X (ra -fl), четырьмя вспомогательными столбцами и двумя вспомогательными строками. Значит, текущая симплексная таблица будет иметь следующий вид (см. таблицу 1 ).

В первых т строках нулевого столбца заполняются значения базисных переменных, а в (ffi-f-l)-oft строке — те­ кущее значение целевой функции. В первых т строках о с ­ тальных п столбцов основной симплексной таблицы запол­ няются коэффициенты представлений внебазисных векторов по текущему базису. В (m -f-l)-oft строке этих же столбцов заполняются соответствующие выражения ZNk — £NkВспо-

163

могательные столбцы /4'цк, f, В н N' имеют то же самое назначение, что и в общей задаче.

В вспомогательной строке S заполняются верхние пре­ делы (Sj) изменения переменных задачи. В вспомогательной строке N заполняются номера внебазисных векторов и уров­ ни е-шкалы. Так, в позиции iVk заполняется номер внебазисного вектора, занимающего £-ый столбец основной симп­ лексной таблицы, и характеристика eN(i, показывающая с какой границей изменения совпадает текущее значение соответствующей внебазисной переменной. Здесь восполь­

менным jCn+i* образуют единичную подматрицу. В силу не­ отрицательности величин эти векторы образуют базис. Соответствующее базисное решение выражается вектором

исходной симплексной таблицы заполняются соответствую­ щими величинами x l0= b it a (m -t 1)-ая строка этого же столб­ ц а — исходным значением целевой функции JtVfj, о“ 0 . Так как векторы исходного базиса совпадают с единичными векторами «-мерного пространства, то представление каж­

165

(обозначим, как и прежде, этот индекс через г), то соот­ ветствующая строка является генеральной. В противном случае имеется ситуация вырожденности. Как указывалось при описании общего алгоритма, в случае вырожденности рассматривается задача, в которой вектору ограничений придается определенное приращение, зависящее от доста­ точно малой величины е. Аналогично общему случаю, в

Так как столбцы базисных векторов не фигурируют в текущей симплексной таблице, то для определения единст­ венного минимума используются /V'-шкала и значения соот­

167

вместо верхней границы любой переменной отклонения использовать произвольно большую величину М. Это обстоятельство было учтено при построении симплексной таблицы. Нетрудно заметить, что при этом можно сэконо­ мить т мест хранения элементов текущей симплексной таблицы.

Изучение алгоритмов (как общего, так и приведен­ ного) показывает, что на каждом шагу столбец И исполь­ зуется только для хранения отношений

ЛЪ7 -^ -, / = 1, 2 ,..., т

и для выбора минимального из них. А если указанные отно­ шения уже определены, то столбец у не используется. Зна­ чит, для хранения этих отношений вместо столбца В мож­ но использовать столбец у. Этим сокращается один вспо­ могательный столбец в текущей симплексной таблице.

Детализированная блок-схема предложенного рацио­ нального алгоритма приведена на стр. 171—176.

Блок-схема разработана по следующему принципу. Блоки арифметических операций и засылки чисел описаны прямоугольниками, внутри которых указаны соответствую­ щие операции. Каждый прямоугольный блок имеет единст­ венный выход. Блоки сравнения и анализов описаны овало­ образными фигурами, содержащими операцию сравнения и сравниваемые величины с отметкой вопросительного знака. Каждый блок сравнения имеет два выхода: „да“ и „нет” . Выход „да“ соответствует случаю выполнения указанного

вблоке условия, а выход „нет“ —нарушению этого условия.

Улевого верхнего угла каждого блока указывается его номер. Каждый блок может иметь несколько входов. Если

вход идет непосредственно из другого блока непрерывной стрелкой, то на стрелке не указывается номер блока, от­ куда выходит эта стрелка. Если же вход данного блока идет из других блоков, то в начале стрелки изображается кружок, внутри которого указывается блок, откуда выходит данная стрелка. Если выход данного блока непосредственно не входит в другой блок, то к концу стрелки этого выхода изображается кружок с указанием номера блока, куда дол­ жна входить данная стрелка.

170