книги из ГПНТБ / Арутюнян А.Г. Применение математических методов и ЭВМ в народном хозяйстве

Тогда задача (33.1)—(33.3) принимает следующий вид. Найти максимальное значение линейной функции

к общей задаче линейного программирования будет не­ эффективным, так как размеры матрицы условий будут зна­ чительно увеличиваться, а при машинном решении задач линейного программирования увеличение размеров матрицы сильно влияет не только на необходимое время для реше­ ния задачи, но и на точность результатов. Во многих же случаях такое увеличение размеров матрицы условий прак­ тически может привести к неразрешимости поставленной за­ дачи. Во избежание увеличения размеров матрицы условий можно поставленную основную задачу решать специаль­ ным методом, являющимся несущественным видоизмене­ нием (в смысле усложнения) общеизвестного симплексного метода. В книге [92] изложен метод решения основной задачи при следующих предположениях:

121

Ясно, что эти предположения значительно сужают круг решаемых задач, так как не для каждой практической за­ дачи они будут выполнены. В частности, предположение

б) является принципиально сужающим, так как при п3<^п

взадаче существуют переменные, на которые нет ограни­ чения ни снизу и ни сверху (такие переменные будем на­ зывать свободными). Следовательно, для применения изло­ женного в [92] алгоритма необходимо в матрице условий добавить еще п — п3 столбцов. Однако, как указывалось ранее, увеличение размеров матрицы условий не жела­

тельно с точки зрения практической реализации решения задачи.

Оказывается, что путем незначительного усложнения вычислительной схемы алгоритма можно основную задачу решить и при п3< п без увеличения размеров матрицы условий. Для этого достаточно воспользоваться идеями, предложенными Зойтендейком (см. [34]).

и применить изложенный в [92] алгоритм с учетом пред­ лагаемой корректировки.

Определим величины:

Для удобства записи предполагается, что строки усло­ вий пронумерованы так, что подмножество индексов г, при которых величины -v, принимают одинаковые значения, чет­

122

совершенно аналогична связи между общей задачей линей­ ного программирования и соответствующей расширенной задачей. Так, например, если в оптимальном решении зада­ чи (33.6)—(33.8) с ненулевым значением участвует хотя бы одна искусственная переменная х п+\, то основная задача (33.1)—(33.3) неразрешима; если же в оптимальном решении задачи (33.6)—(33.8) значения всех искусственных перемен­ ных нули, то первые я компонентов этого решения обра­ зуют оптимальное решение основной задачи. Исходя из это­ го, естественно задачу (33.6) — (33.8) назвать расширенной относительно основной задачи (33.1)—(33.3). Таким обра­ зом, в результате решения расширенной задачи либо по­ лучим решение (оптимальное) основной задачи, либо обна­ ружим ее неразрешимость (несовместность условий или неограниченность сверху целевой функции на множестве допустимых решений).

Приведем теперь краткое описание алгоритма реше­ ния расширенной задачи, направив особое внимание на возможность машинной реализации вычислительной схемы,

атакже на отклонения от алгоритма, предложенного в

[92].Теоретическое обоснование и доказательство сходи­ мости алгоритма здесь не приводятся, так как они почти

123

первые п компоненты которого определяются соотноше­ нием (33.4), а остальные — формулой

x°„+l= bi — г = 1 , 2,..., т. (33.9)

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выбранный вектор Х° удовлетворяет всем ограничениям расширенной задачи. Очевидно, что векторы-столбцы, со ­ ответствующие искусственным переменным х п+ь образуют линейно-независимую систему (эти столбцы образуют еди­ ничную подматрицу т -го порядка). При построении вектора Х° в качестве исходных значений свободных переменных задачи выбраны нули. Согласно определению базисного решения задачи линейного программирования с двухсто­ ронними ограничениями на переменные векторы условий, соответствующие переменным, текущее значение которых не совпадает с граничными значениями их изменения, долж­ ны образовать линейно-независимую систему. С первого взгляда может показаться, что построенный вектор Х ° не удовлетворяет условию базисности, так как искусственные векторы уже образуют базис m-мерного векторного прост­ ранства, а добавление к ним любого вектора (соответст­ вующего свободной переменной) уже нарушает условие линейной независимости. С другой стороны, векторы, соот­ ветствующие свободным переменным, должны быть вклю­ чены в базис (напомним, что исходное значение каждой свободной переменной равно нулю, т. е. строго больше левой границы ( — оо) и строго меньше правой границы (-|-оо) интервала своего изменения). Этот кажущийся па­ радокс сразу выяснится, если точно представить специфику изменения свободных переменных. Каждую свободную пе­ ременную можно представить в виде суммы двух перемен­ ных, ограниченных с одной стороны:

Xj = Xj+ -J- х ~ ,

124

то знак этих величин (Aj) определяется знаком коэффи­ циента 8/ , а при 8/ = 0 — знаком величины 8j. Текущее значение линейной функции (33.6) представится в следую­

Отсюда ясно, что признак оптимальности текущего базиса определяется при помощи величин А/ и Д;".

Пусть A' — min А/.

1<j<n

Если Д' = 0, определим

Д" — min А-.", jet

где через 1 обозначено множество индексов у, для ко­ торых Aj' = 0. Значит, текущее базисное решение расши-

126

расширеннной задачи, в котором хотя бы одна искусст­

базиса, строится дополнительный вектор — столбец А* (см., например, [92]). Поскольку вектор А* строится в соответст­ вии со знаком 8/ (или 8к), то при е= * 0 (т. е. когда вводу в базис подлежит вектор, соответствующий свободной пе­

/-ую позицию столбца ? заполняется либо верхний предел, либо нижний предел соответствующей переменной, или же неограниченно большую величину. Рассмотрим более под­ робно этот процесс. Пусть *ik]>0. С помощью iV-шкалы определяется номер вектора, занимающего /-ую позицию базиса. Если основной вектор занимает /-ую позицию, то при наличии ограничения на соответствующую переменную снизу нижняя граница ctj заполняется на месте элемента -ft, а при отсутствии ограничения снизу принимается -fi*=М . Если же /-ую позицию базиса занимает искусственный век­ тор, то принимается

Вслучае .Xjk< 0 поступаем следующим образом. Если /-ую позицию базиса занимает основной вектор, то при на-

.личии ограничения на соответствующую переменную сверху принимается fj — Рн» а ПРИотсутствии ограничения сверху—

127

-r,= Af. Если же г'-ую позицию базиса занимает искусствен­ ный вектор, то принимается

чаях:

а) бк = 0 ; б) ек= 1, и на соответствующую переменную нет огра­

ничения снизу;

в) gk= —1, и на соответствующую переменную нет ограничения сверху. В остальных случаях принимается:

Отметим, что при ti = M принимается %{ = М. Остальная часть вычислений полностью совпадаете про­

цедурой, изложенной в [92].

Отметим теперь некоторые особенности машинной реа­ лизации вычислительной схемы приведенного алгоритма. В алгоритме, предложенном в [92], для определения ге­ неральной строки используется дополнительная {т-\- 1)-ая строка, в которой заполняются всего два элемента. Оче­ видно, при больших значениях п (а в практических зада­ чах п достигает до нескольких сотен) для дополнительной строки теряется большой объем памяти машины. Поэтому целесообразно в отдельности запоминать указанные два элемента, исключив из текущей симплексной таблицы до­ полнительную строку. Текущая симплексная таблица пред­ ставлена на стр. 129.

необходимо выполнить следующее:

128

1.2°. Анализ знака Д:

а) если Д < 0 , то вектор Ак подлежит вводу в'базис; переход к выполнению пункта 2 ;

б) если Д5»0, то переход к подпункту 1.3°. 1.3°. Анализ значения элемента хга+2, о :

—x m+it i , если gj = 1,

—I^m+l, ] ,| если gj = 0 .