книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

-

79

-

линии пространства!

= * (

и)

л

х*

и

возьмем две бесконечно близкие точки

полояим

в (6 ,1 8 ).

cL*

\

А

- .

Тогда,

согласно

(3,18) и (4 ,1 8 ),

получим

откуда,

согласно

(5,18) и (8,18)

(1,19)

cLs* =

cU , l +

Модно легко получить условие ортогональности двух ли­

нейных

элементов,

исходящих из

точки

к

двум

точкам

х*+ U

х.ы и

х“ *

£tx“

. Точки

дк“

и с/х“

находятся

на по-

/

плоскости

І

X

/

1

согласно

(4 ,1 8 ),

лярной

точки

,так

как,

£

я0'*/** = £ * * < / * * = о .

Условие,

'

1

I

'

и

*-І

*

образуют

гармоническую груп­

что

точки

&*г

а х

пу с

точками пересечения

прямой,

проходящей через

оіх*

и

с/х“

,

с

плоскостями

ш.

и

(J. есть

і

І

№

=

'

.

(2,19)

t

ö .

f

t

■

Ыо это равенство может выполняться только в том случае,

когда

одна

из

точек,

например

U

находитсяd на

оси абсо­

люта. Тогда

оно

будет

выполняться

дляфлюбого

х * •

Таким

образом, два

направления

£*

и

dx

, исходящие

из точки

X*

,

будут

ортогональными, если одно из них

проходит

через

ось абсолюта.

х*к

На этом основании модно говорить о нормали в точке

плоскости

б"

.Если

последняя

не проходит

через ось

§ 2 0 .

Нормаль к поверхности

Возьмем

в пространстве

поверхность

а

, 20)

где

и!, i t

-

* * =

х - < <

/ ь

криволинейные координаты точки

поверхности.

Для

нормированных однородных координат

хы

точки поверхно­

сти

имеем

*

+ * ^

1 •

(2,20)

Обозначим через

тангенциальные

координаты (§ 3)

касательной плоскости к поверхности в точке

х

.Тогда,

пользуясь

сокращенными обозначениями

получим

1-

tx *

"bk*

~ - і и ‘

'

4 ' ■ ■ J i t 1’ ’

(3>20)

x * ^ - о ,

х* « . „ - о .

верхности не проходит через ось абсолюта.

в X .

Определим нормаль первого рода к поверхности

Потребуем, с одно® жтороны^чтобы нормаль первого рода

была ортогоналъив згаоа тельно^Р-тсК поверхности в

x t

усле-

довательно, она дозшва .пересекать ось абсолюта. О другом;

стороны, потребует,, штабы конгруэнция нормалей пехрвовпе

рода была сопряжен® таяерасности , х '

х) J f c it L t K

Л

&*. -* & Ѣ л

tyzon't'iU

cU Ф & 4**. ^

р t c je .* tiи-th.

'flfbujruz “

«сем. по

векг . ш тпиілі,

анализу,

вып.2, 1935-

-

81 -

Обозначим через

/у»<>

однородные координаты точки пе­

ресечения

нормали

первого

рода

в

с

осью абсолюта ;

очевидно,

что

оси

абсолюта

первые

(ѴО) '

так как

для точек

две координаты

равны нулю.

что

если конгруэнция

нормалей

Можно показатьх \

сопряжена

поверхности,

то

координаты

,

X й

могут быть

пронормированы так, что

о ,

5 20

й С \ = і ,Х \ л і - о

( , )

где

I

Это нормирование будем считать выполненным.

Из второго равенства

группы

(5 ,2 0 ),

согласно (4 ,2 0 ),

имеем

ОС игс

+■%- и-чс — 0?

(6 ,2 0 )

откуда

|й „

ult

<Pi uJ t U t ) = 0.

(7,20)

Это есть необходимое и достаточное условие того,что

плоскости

и„,

, ü * * » « ,,

пересекаются

в одной

точке.

Оно

не

определяет однозначным

образом

и*с

.Поэтому

неодно­

значно

определяется из (6,20)

и положение

точки

Х У

на

оси

абсолюта. Вследствие этого неоднозначно определяется и

нормаль первого рода к поверхности в точке

х *

.В

§'26

будет

показано,

что если

дополнить абсолют

двумя мнимо-

х сопоякенныни

точками, лежащими на оси абсолюта,то

нормаль

)

Xoidtn Я

■£ 0 . -uXcdUre.

d ir Sfid-chth

ir*~

i'w U r-bL'ri*

Яйіищ,

; Труды сем.по

вект. и тенз.анелизу,

в ы п . 2 , I ,

1935.

где

ы .

2

следовательно,

у

. «*

^ ~

(2,21)

?Ѵ

~

7,

у

Отсюда следует,что

есть симметричный тензор

второго ранга. Его компоненты -

коэффициенты первой основ­

ной формы (1,21)

поверхности.

то можно поло­

Так

как для

точек

поверхности имеем (2 ,2 0 ),

жить

х .* =

і і п ц

,

(3,21)

Сс s Cf ,

где Я

=

в эллиптической метрике между дву­

можно считать углом

мя плоскостями, проходящими через ребро абсолюта.Поэтому

di* =. (9,ctu!+•

du.*)

следовательно,

c k 4 = cL<3 Z;

-

C 4 .2 I)

J/oiJUh Л-

td a iü et Чи tnfdt и. djtx

'TIO.CJ AK Ltn. jb%0—

вып.2, IS35.

Труды сем. по вект.и

тенз.анализу,

х)jetti-irCK

. */»

J S

J J B O .

(1 ,22)

I

t

$Lj «= -

Ч у

®

(2,22)

Отсюда следует,

что

есть симметричный тензор

второго

ранга. Его компоненты - коэффициенты

второйквадра­

тичной формы поверхности:

(3,22)

/7 = Ср

условие

сопряженности

Согласно (2 ,2 2 ),

(1,22) принимает

вид

4

^ * °

’

С1» ,22)

§

23.

Основные уравнения

Точки

* ,“ » *■! ,С С К образуют тетраэдр, относи­

тельно

которого можно найти координаты любой точки простран­

Pj*.- тензор

-

87 -

*■ ', «• •

c d

многообразия.

Отметим также соотношение (§ 13)

( П ,2 3 )

Ы

Ѵк *

ОЫ.

Получим теперь

Ѵ

/~р к

’

К - < Ѵ^

разложение “ W

:

0 2 ,2 3 )

X i к= S“

с «.<

+ р сх *

Свертыввя это

»согласно

(3,20) и (5 ,2 0 ), получим

так

как, согласно х(4,20),

= О .

(13,23)

[

Свертывая, наконец, (12,23) с *•* , согласно (4,20) и

(2 ,2 1 ), получим

(4,21),

или, согласно

следовательно,

i s / 1 =

0.

Отсюда имеем

(14,23)

следовательно,

s /=

у

" ’

s ; %

- ^ L ^ -

.

откуда,- согласно (б , 13),имеем

вводя обозначение

где

(Г - скалярный множитель. Поэтому

из

ѵ с =

<?Ч-,

(14,23) получим

Теперь

-

88 -

вид

; .

или,

(12,23) примет

(15,23)

вводя

обозначениея ? -

*

*

* *

- в и д

(16,23)

Отсюда, согласно (13,23) , имеем

о

(17,23)

z=

но ,

следователь­

точка

лйсит

на

оси абсолюта. Точка

z K

лежит, кроме

того,

в касательной плоскости

к поверхности

в

точке

я“

,так

как

»свертывая

(16,23)

с

и.к

,

согласно

(3 ,2 0 ),

имеем

так

что

Z*

г

Ч

-

Г

U.a-Ü%

касатель­

есть точке

пересечения

ребра абсолюта с

ной плоскостью к поверхности

в точке

х“ .

вид

или,

Теперь (4 ,2 3 ),

согласно

(Т5,23),

примет

Cij = - іи*. <fj 9P**p =- 7 9 %

с xj,

согласно (2 ,2 2 ),

выражение

(18,23)

C i j ^ C c y g .

В § 26 будет дано окончательное

тен зора^ -.

§ 24. Характер геометрии І-го рода

, согласно

Ковариактная производная

от альтернатора

(8,23)/ (6,23) и (15 ,2 3),

равна

нулю;

(1.24)