книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

ij -Сз к С

~ !~Kj é іо, =

4ij

Здесь вместо

/^поставим его значение из (29,16):

к. 4iJ -Gtci

-L & KJ

+ ^ Kj ) ß L» -

или

^

k' &tj

~ ** CJ 4c#

= 03 <4cj

•>

откуда

sv b*= v * *£j ~

ScJ■

Свернем это c

<?ь4

,т .е . приведенными

минорами

4ц

•

*

С з ° ,іб >

Надо

найти

, тогда однозначно определится и

С

е

.

~>к.

Поднимем

для

этого в (30,16)

индекс

к

и

свернем

c j

^ :

откуда

соt

=

у * '

(3 1 ,іб)

Пусть имеется два

сопряженных перенесения. Тогда можно

составить две производные вектора

: .

(32.16)

ѵ.2г‘= ~е>:Ѵ-G)# ѵы,

J

т?' =

г ‘ -

П+

V .-

J

â-

г

.■

<*

(33.16)

Образуемl

і

'

è

é

■

тензорJ

. '

J

.-іг‘

l (

V-

іг с+

гг^0 )

H GJ

) Ѵ

-

K J

Очевидно,

что коэффициенты ,

У

+ Г

(34,16)

-

Т О -

Выясним характер связности (34,16),, Запишем для этого

основное тождество (28,16) в развернутом виде:

(35,16)

*сф = ^

~

- U i

= 03Ф у

Перепишем это так:

^

***■%*

(36,16)

f a y

=

@ij

что возможно сделать в силу симметричности

.Возьмем

полусумму

(35,16)

и (36,16):

"Z

=

■ХГс ëij —

éij -

Lfi i

-

KJ é id

Итак,

(37,16)

Это условие характеризует геометрию Вейля,

Таким образом, среднее перенесение определяет геомет­

рию Бейля,

в которой изотропная

сеть

совпадает

с базисом

пары сопряженных перенесений.

Получим, наконец, некоторые положения, на которые мы

сошлемся в

гл .И.

симметричное

перенесение и пусть

Возьмем произвольное

-

71

-

i u j )

= о,

-

о ;

следовательно, средняя метрика будет риыановой.

Принимая во внимание

(37,16) и (31,16), легко приіти

нению Петерсона-Кодацци, необходимо

и достаточно,чтобы

средняя

метрика

была

римановой.

эквиаффинныѳ связности

Gij Предположим,

что

сопряжены

две

г

.Для

геометрии І-го

и 2-го рода, согласно (3 ,1 4 ),

и

Гук

будем иметь

G.1

= Л- U i„ .

»

Q :

„

й , а ,

а для средней геометрии получим

W 8.16)

I '

- Ъ

и ' Ш

;

следовательно, средняя геометрия является эквиаффинной.

Но, кроме того,

она

всегда Вейлева

, следовательно,

она - ри-

манова.

сказанного легко прийти к заключению,что для

того,

Из

согласно

(1 ,1 4 ),

определяются равенствами

б~, -

о і

c l^ 'd u 1 ,

(39,16)

Так как

= I \

ctu -d u -1.

в средней

геометрии роль л

и А , согласно

(38,16),

играет)П м\то для площади

в ней инеем

S'

•■= 'T â Ä

cU‘cU ^.

Сравнивая это

с (39 ,1 6), получим

-

73 -

Ш

Г л а в а

ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С РАСПА­

ДАЮЩИМСЯ

АБСОЛЮТОМ

о непротиво­

Как было сказано

в г л .I

(§ I I ) , вопрос

речивости геометрий Лобачевского и Римана

был решен'

служивает внимания

ю т класс геометрий

аффинной связности,

которые рассматриваются как внутренние

геометрии поверхностей

этого пространства.

этот материал появился в печатихххх\ в о з ­

С тех пор,

как

никли работы, в

которых рассмотрены различные другие случаи

§ 17. Поляритет

Пару комплексно-сопряженных плоскостей, составляющих

абсолют

, обозначим через

и ю*

.Действительную прямую

пересечения

этих плоскостей

назовем

осью абсолюта.Б^нару-

t

2 .£ e « .t W

d i аипЖ са.

t k f â ’t&h.i.iaA,

ѵ .П ,р .П ,

X) ѣ іа лл к і

хх)

C

e é u S i ä b

Y

M tt- e t r c â c L Ö t f o J V V *

где(

л*

- однородные координаты

(1,17)

точек этих плоскостей

§

I ) .

Б дальнейшем будем предполагать, что латинские ин­

дексы пробегают значения

1 ,2 ,

а

греческие

(если не огово­

рено

особо) -

1 ,2 ,3 ,4 .

точки

х

Оі

плоскостей

о), ,iotПолярная

плоскость

относительно

где

определяется

урз внением

‘

(2,17)

У -

текущие однородные координаты полярной плоскости

(§ 6) ; так что полярная плоскость точки

х“ определяется

однозначно и проходит через ось абсолюта,

так

как

для то­

чек

оси абсолюта

у '= і/1 = о.

Если

точка

х“

находится

на

оси абсолюта,

то

ее поляр­

как для

точек

оси абсолюте х ^ х ^ о .

х“

и

ось .

Пусть плоскость

<»-,

проходит через точку

абсолюта. Если полярная

плоскость

точки х“

есть

плоскость

ff-

,то

пара

si

и

гармонически

разделяется

парой

и «о*

сти <5^ есть

плоскость 5) ,и

наоборот.

Из сказанного следует, что полярные преобразования

относительно

плоскостей

сэ,

и ос, не обладают свойством вза­

имной однозначности.

Полюсом плоскости, проходящей через ось абсолюта, явля­

ется любая точка

плоскости, гармонически сопряженной дан- .

ной

относительно

і

; полюсом

плоскости,

не проходя­

щей

через ребро абсолюта,

является

любея точка

оси абсолюта.

і

І

(3,18)

тогда

X.' ■+** =. L '

£ x c l f = 0 ,

- ( d-х' + cb*- ) .

('t ,18)

Т. Х*с/Ѵ * =

(5,18)

Новые координаты будем называть координатами Вейер-

штрасса.

(2,18) примет

вид

Теперь

‘

(6,18)

M S ( I )

=

1

Нѳзоем постоянную величину —t

кривизной простран­

ства. Отметим следующие особенности для расстояний,

На всякой прямой,

не

пересекающей оси

абсолюта, уста­

кает

плоскости

и “-'і в двух комплексно-сопряженных

точках. Если прямая пересекает

ось абсолюта,

то

так ка$ в этом

— ft-** Л

s3 -

0 ,

что

случае

х ,

между

: так

ю

прямой

следовательно,

расстояние

точками

х

равняется нулю, если ни одна из них не находится на оси

абсолюта. Если

одна из

точек

х ^ и У

находится

на оси

абсолюта, го

обрашается в нуль и расстояние стано­

вится

неопределенным:

Пусть полярными плоскостями

точек

х

et

<*■

будут .пло­

я

D

скости <г( и б).

; тогда сложное отношение четырех плоско­

стей

<г, , <Г* , ui, »lOj, будет

равно

сложному

отношения четырех

точек

х°%

и точек

пересечения прямой ху

с

плоскостями

со, и

-

двумя

плоскостями

и

, проходя-

Назовем углом между

щими

через

ось

-

78 -

число

абсолюта,

где

имеет

=

’/ L

С > * і

tHj. cJ,

,

(7 > 1 8 )

L

значение

( I . 18).

Отсюда

сле.’у е т ,

что угол между двумя плоскостями, про­

ходящими через ось абсолюта, равен

расстоянию между

их по­

люсами. Поэтому, для

угла между этими плоскостями имеем

эллиптическую метрику.

х и ! )

и ось

абсолюта

плоско­

Проведем

через

точки

сти

6“,

и CTt

.Они

будут

гармонически сопряжены

соответственно

плоскостям

<Г,

И <Г4

(полярным плоскостям

точек X.“

и

f

) ,

относительно

w,

и

; следовательно, <г(

и

с /

,

и

б/

являются соответственными в эллиптической инволюции, опре­

деляемой двойными элементами

w,

и ю2 .

Так

как

при этом

о

^

г ) ,

( с, (Г* о), ы 2)

то имеем следующее предложение:

Расстояние между двумя точками пространства равно углу

между плоскостмй, проходящими через эти точки и ось абсо­

люта.

(1,18)

постоянное

І

было неопределенным. Выберем

В

Я. так,чтобы

две

плоскости

fl;

и г ,

доставляющие

с

^

и

гармоническую группу,

образовали угол

~

.Так

как

при этом

>

6*

«*>/ ^ l )

=

-

.

то,

согласно

( Ч

1 ’

(7,17)

, имеем

откуда

I ~

Rau

5 t

Я = і -

(8,18)