Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5329 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
4.62 Mб
Скачать
☆

- 59 -

Уравнение (4 ,1 6 ), согласно (5 ,1 6 ), определяет в каждой точке пространства некоторую инволюцию направлений. Таким образом, задание сети равносильно заданию непрерывного по­ ля инволюций направлений.

Поля инволюций, определяемых (4 ,1 6 ), могут быть двух ро­ дов: поле эллиптических инволюций (когда«.?о в каждой точке пространства) и поле гиперболических инволюций (когдабЧ о в каждой точке пространства).

Поле гиперболических инволюций в каждой точке простран­ ства (или области пространства) определяет два действительных двойных направления. Линии сети касаются этих направлений.

Сеть,

следовательно, будет действительной, когда определяется

полем

гипеболических инволюций.

 

 

Вернемся к геометрии аффинной связности и рассмотрим фор­

м улу.*'

.

.

.

„

•I I

приращения вектора £ после обвода параллельно по бесконечно малому контуру. Так как

то

 

^

 

с*

=•

J

R--

 

 

 

«э

с '

-

і ->і*

I

i

 

 

или

 

 

 

L

 

 

 

где

есть бесконечно ывлый скадярный инвариант. Эта фор­

мула

равносильна следующей

 

 

 

 

 

/L . 2>«Ѵ=о.

 

Св,хб)

 

 

 

"

 

 

.

 

.

£>£.

Из этой формулы следует, что направления

и

нахо­

дятся

в проективном соответствии, определяемом

тензором .

Риччи

fi_ij

( § 1 5 ) .

 

вопрос

о двойных элементах этого про-

 

Можно поставить

х) См.А.Э.-А.Хатипов.Курс дифференциальной геомет іии зо СаиГУі Самарканд, 1971, стр.52, § 21, формула і в ,21

- 60 -

ѳктиввого соответствия. Они определяются иэ уравнения

Двойных направлений будет два. Они характерны тем, что век­ тор, полученный после полного обвода вдоль бесконечно ма­ лого замкнутого контура, будет коллинеарен первоначальному. Таким образом, среди всех векторов, обводимых парал­ лельно вдоль бесконечно малого замкнутого контура, только

две не меняют своего направления после полного обвода. Будем называть эти два направления абсолютными неправле-

'ниями перенесения или двойными направлениями тензора Риччи. В каждой точке нашего пространства твких направлений 0удеі два.

Если эти направления построить в каждой точке, то полу­

чим два поля абсолютных направлений. Можно получить в про­ странстве также сеть линий, касающихся соответствующих абсолютных направлений.

Будем называть эту сеть сетью абсолютных линий. Посмотрим, в каком отношении находится поле абсолютно

параллельных направлений к геометрии аффинной связности. Пусть имеется некоторое поле абсолютно параллельных

направлений. Возьмем в нашем пространстве некоторый замкну­ тый контур. Вдоль этого контура определится последовательно­

сть параллельных направлений« Можно сказать и так: обойдя по замкнутому контуру вектор поля вернется к пероначальному поло­ жению с тем же направлением.Это обстоятельство будет иметь место

и в том случае, когда контур будет бесконечно малым. Но мы видели, что только двойные направления тензора Риччи сохра­ няются после полного обвода вокруг замкнутого бесконечно малого контура. Таким образом, поле абсолютно параллльных направлений совпадает с полем двойныех направлений тензора

Риччи' .

Всякому вектору е1двумерного пространства можно отнести козектор, свертывая его с альтернатором;

с

и.

с

--

£■

-

(5,16)

*

 

 

 

с <-

 

 

 

 

 

- 61

-

переносится параллельно:

 

Пусть направление вектора е “"

 

 

 

 

 

 

 

 

(8,16)

6."

Посмотрим, какое условие накладывается при этом на вектор

 

Дифференцируя

(5 ,1 6 ), получим

 

 

 

 

или,

согласно

(8 ,1 6 ),

 

 

£

•

 

Так

как

г

с

<*

 

°<

 

о

 

•+* ^ ^ і а

 

 

 

и

S£t\‘ , будучи антисимметричными, отличаются толь­

ко множителем:

 

 

 

 

 

то

Итак,

 

—у і і <* £

^

=

 

У ^і ■

 

 

 

 

 

 

 

(9,16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, условие параллельного перенесения направ­ лений вектора в* и ковѳктора одинаковы, но множители различны. В случае абсолютного параллелизма направлений, определяемых ковекторами, вместо условия (3,16) будем иметь условие

(10,16)

Посмотрим, когда возможно, чтобы геометрия аффинной связности допускала существование двух полей абсолютно параллельных направлений.

По предположению

Y * ? й ' r ’■

. -47- >'-l'= у . TlT1,

ОО

Составим тензор второго рвнга

а-у = пгWj + ^ ж : - ѵіС u p .

так что

ао - = Ѵ -

- 62 -

Найдем ковариантную производную от

а

: ':

= ( ( 1' ^ +

>

 

*

 

J

У*)

 

 

o ^ a4. j<. ; у а л .=

 

 

irc-Vj + i t * *

 

=

L t * + * * ) 4 c U j j

=

С

(П ,1 6 )

Итак

ѵ к * i j *

« j/

 

 

Мы получили

необходиое условие

существования двух полей

абсолютно параллельных направлений. Покажем, что оно есть и

'достаточное условие.

( I I , Іб) выполняется

,

рассмотрим двой­

 

Предполагая,

что

ные направления

тензора О-О-^’ .Они определяются из уравнения

или

 

 

 

 

 

ß

 

 

 

(12,16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О-Со. 'Vfi= 7V .

согласно

( І3 »16)

Дифференцируя

коввриантно

(1 2 ,Іб ) ,

( I I , Іб ), получим

или,

согласно

 

^ ѴР+ Ä

Ѵк Ѵ ЫѴГ Р= о

 

(1 2 ,Іб ),

 

ѵ ' » о

 

 

 

 

или,

согласно

(1 3 ,Іб ),

 

 

*

 

 

п

 

 

( ^

О

z

= 0 •

£

:

 

^вернем эіо с

произвольным

вектором

 

 

откуда

( z P v / i 'ir°l ) ' i r = O p

 

 

 

 

 

ѵ„

■ У'і'=

б- 'ZT*'

 

 

 

 

или,

в силу произвольности

е. }

 

 

 

 

Таким образом, при выполнении условия ( I I , Іб) сущест­ вуют два поля абсолютно параллельных направлений, совпа­ дающих с полями двойных направлений симметричного тензора

- 63 -

Геометрия аффинной связности, в которой выполняется усло­ вие ( II,З Б ) , называется геометрией Вейля. Она есть непосред­ ственное обобщение двумерной римановой геометрик.Роль симмет­ ричного тензора o-ij в римановой геометрии играет тензор ^ г.-, ковариантная производная которого равна нулю; так что в случае

римановой геометрии

и>к = о -

Условие ( І І ,і б )

можно заменить эквивалентным условием.Мы

видели, что поля абсолютно параллельных направлений совпадают с двумя полями двойных направлений тензора Риччи ^cj или сим­ метричного тензора / ((.y j. В таком случае

a c j.K c C j)

и условие ( I I , 16) принимает вид

С » , К )

Перейдем теперь к вопросу о сопряженности параллельных перенесений.

Понятие сопряженности параллельных перенесений было введено впервые Норденом. В своем развитии оно оказалось весьма пло­ дотворным.

Пусть в некотором двумерном пространстве заданы две геомет­

рии аффинной связности

самого

общего вида: одна при помощи

г>К

Г- К

/“*

Г” <

не предполагав

b y , другая при помощи /у ,

причем try и

n j

 

 

 

 

ются симметричными. Они определяют два различных перенесения векторов.

Спросим себя, возможно ли, чтобы две геометрии аффинной связности, определяющие два различных перенесения векторов,

определяли одинаковое параллельное перенесение направлений.

Как в этом случае они связаны?

параллельно в перенесении I :

Пусть вектор

t L

переносится

 

 

 

(15,16)

По предположению вектор 6 е можно'умножить на 5\ так,что

вектор ^переносится

параллельно

в перенесении П:

или

(16,16)

- 64 -

Вычитая (16,16) из (15,16) , получим

< 6 4 - r . ‘ ) г“ < £ Л

или

i ü 4 - r A ) t J J =

откуда, в силу произвольности t ,

Ъ г Ч г ^ -

T sj>

следовательно,

Г

â J -

2

^

>

(б Г д

- С д )

 

 

откуда

і>

г 1

Р

 

 

 

1

 

 

 

 

-= в/» а* ,

где б- есть функция точки .

Подставим (18,16) в (17,16):

( G j р ~ljfi ) cLt <зIj Щ

J

откуда

 

(17,16)

(18,16)

( И , К )

Таким образом, задав какое-нибудь параллельное перенесе­ ние направлений (Задав Ѳ Д ) и выбирая <гк произвольно, а затем определяя lj* из (19,16) , можно получить бесчисленное множество пар геометрий аффинной связности, определяющих одно и то же.параллельное перенесение направлений.

Поставим следующую задачу: среди всех геометрий аффинной

связности,

определяющих в бинарной области одно и то же па­

раллельное

перенесение направлений, найти .ту,

в которой круче­

ние равно

нулю:

 

 

к

 

(20,16)

 

 

 

 

 

 

&І1

 

&j L

Из (19,16) и (20,16) имеем

 

 

G ' -

=

&

Хі' > *

 

 

6 ,I-.*

 

 

 

с■;* - G 1

>

 

 

'It

-

^xi

 

 

 

 

 

 

- 65 -

G : = / ^ A ' V

Gч-,,}-- l'ntj *■SC|<r‘J откуда, согласно (2 1 ,Іб ), имеет

г'

=- ' f/ij

 

Аналогично

_ .

Г /« .}

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

<гь-

г.

 

однозначно. Из

этого

 

 

/определяется

 

следует,что среди

геометрий эффинной связности,

определяющих

одно и го же параллельное перенесение направлений,

существует

одна и только одна с нулевым кручением. Будем говорить,что

эта геометрия определяет перенесение симметрично.

 

 

 

 

Сделаем небольшое отступление в область аналитикиЛусть

в /г -мерном пространстве

заданы две геометрии аффинной связ­

ности, одна коэффициентами связности

,другвя -

Гу

р а с ­

сматривая эти геометрии одновременно, можно получить два

 

различных ковариантннх

дифференцирования.

 

величину

 

 

Назовем ковариантной производной 2-го рода

 

 

 

- 1 ) к сц - G Ki в*

■>

 

 

 

 

 

а

ковариантной производной 2-го рода

- величину

 

 

 

 

 

 

 

 

f— ot

 

Я у к

 

 

 

 

a t £j = “ö / c - /

к і

cu

* вариант­

( в случае многозначного тензора, например,

 

ѵе

ную производную 2-го рода

будем обозначать так:.

 

>с

<) ) .

 

Возьмем какой-нибудь

тензор 2-го

ранга.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем его на идеальные множители и введем в рассмотрение такую производную (смешанную производную):

 

(aѵка

1

{'7*&ij))=

0 ^ ;

 

 

+

) а - -- ft:

=

ay ~GZ

-

(22,I6)

-i О к aJ - r*j

 

 

- r ty

' C L и =

•

 

 

 

Эта смешанная производная обладает свойствами:

 

I)

ѵ к ( a UJ >+

 

+

</) »

 

2)

-

6 6 .

 

V t (?'■ Лі<^'У) —

Л^ +7\Ѵ^ (X{(Jj

,

3)

V ft( C l ^

+ а-;'*к

fyz-

Получим еще одну формулу. Пусть дана производная 1-го рода:

Введем сюда ковариантное дифференцирование 2-го рода сле­ дующим образом ( У разбивается на идеальные множители):

 

V * ( а * l è) »

 

< а * U lj = С ^

*

„ I

Но

 

 

1

 

 

)

*

С

7 *

л ^ ) ^

+

в * ^ к

і* 1!

 

следовательно,

 

 

 

 

ѵ

к С а ^ / * )

=

С

с ѵ

^ й ^ з ) ^

+

««S T -*

 

Так как

подчеркнутые члены суть

 

 

 

 

то

 

 

о<С

a *

7 «

-

 

 

 

 

-

J a - :

=

. _

+

 

i .

(23,16)

 

ѵ

< а * *

;

(

 

ß < .o ) /

 

 

Пусть теперь в двумерном пространстве заданы две геомет­ рии аффинной связности, следовательно, два параллельных перенесения направлений. Пусть, кроме того, в этом про­ странстве задана некоторая сеть.

В каждой точке пространства задана , следовательно, инволюция с двумя двойными направлениями. Возьмем в каждой

точке пространства два направления

и

гл

.Будем

говорить,

что

направления

£1

и

в

данной точке

сопряжены

друг

дру­

гу

относительно

сети

21

»если они соответствуют

друг

другу

в инволюции, определяемой сетью. Это, следовательно, такие направления, которые гармонически разделяются направления­

ми сети. В таком случае направления

и

>*-L

ортогональны

 

 

 

относительно

сети;

 

-

67

 

-

 

 

 

 

 

 

 

e L± m L.

 

 

 

 

 

 

 

Будем

говорить, что

перенесения

 

 

 

 

I и П сопряжены друг

другу, если каж­

 

 

дый раз, как только некоторое направ­

 

 

ление

переносится

параллельно

в

 

 

 

перенесении

I ,

сопряженное

 

ему

направ­

 

 

ление

^

переносится

параллельно

в перенесении П. Сеть £

будем называть базисом сопряженных перенесений.

 

Пусть

сеть L

, которая

 

принята

 

за

базис, определяется

тензором

icj

.Если

направления

г

‘ и

mL

сопряжены

относительно

сети,

то

 

 

я

*

Р

= о .

 

 

 

 

 

^

(24,16)

Пусть

направление

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переносится

параллельно в геомет­

рии

І-го

рода:

S е

= ^ г

 

■

 

 

 

 

 

 

(25,16)

Найдем условие

того,

что

направление

т переносится парал­

лельно в геометрии 2-го рода, т .е . условие сопряженности

перенесений I и П .

 

переносится

параллельно

в геометрии

Если

направление

 

2-го рода, то

if m

£ frt- •

 

 

 

 

во

 

(26,16)

С другой

стороны,

согласно

 

(24 ,1 6 ),

 

все время перенвсв-

иия

 

 

 

.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J i(L p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведем здесь дифференцирование смешанным образом:

 

 

{ S t ) Hrf+■

£ $tnf'-i- S <p)

e e^= 0 '

или, согласно (25,16)

и (26,16)

^

 

9

.

L p

t*”*1** $

e

M

 

 

 

откуда, согласно (24,16),

с я

ß

(27,16)

с g<*(p) £* m

-О .

Итак,

 

-

68 -

 

 

 

 

 

 

имея инволюцию (24,16), мы получили инволюцию

(2 7 ,1 6 ).

 

Но эти инволюции совпадают, так как сопряженность

в (24,16)

совпадает с сопряженностью в (27,16) ; следова­

тельно,

два тензора «у

и

S f cyj

отличаются

скалярным мно­

жителем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S duj) - 05

= é ij f

 

 

или

 

(V j

 

 

сЬл.

а ”

 

откуда

свертыванием с каким-нибудь тензором

получим

Поэтому

 

ц5

 

d

сіи-

.

 

i i j J S ,

 

 

 

С^

rz

 

= Чі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(28,16)

откуда

 

Vt di (J •>=

 

dLj .

 

 

Кы получили искомое необходимое и достаточное условие сопряженности двух перенесенийгеометрий аффинной связности)

относительно сети £•

*

к

Из (28,16) следует, что если коэффициенты

 

я Іу'

совпадают, то мы имеем одну геометрию, сопряженную самой себе. Так как в геометрии Вейля

= озк О у -,

то геометрия Вейля сопряжена самой себе относительно своей

изотропной сети, определяемой тензором

Oij

•

Докажем ^ведущую теорему: Вели дана какая-нибудь

связность

Qj (какое-нибудь перенесение) и какая-нибудь

сеть

Gtj

 

 

 

. , то всегда существует одно и только одно пе­

ренесение

,коіорое сопряжено данному

относительно се­

ти Т --

 

 

 

 

Г - G*-

 

Введем обозначение

 

'У

■

V '

У

ж вместо того,

 

(29,16)

чтобы искать

будем искать С * ’
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности