книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

- 49

-

Выбереы среди них один

и назовем альтернатором (А .П ,

га ,

альтернатор

имеет только

одну

независимую компо­

ненту:

£„ - *Чх - с

) -4-1X = “

s ■

вто­

рого

Назовем

антисимметричный

контра вариантный тензор

ранга

£'і взаимным альтернатору

,если

Так как

тензор

cJ

.

J

аль­

(взаимный или контравариэнтшй

этого тензора

будет

два:

t

.1

XX

.1

іО

Ч - -*• -

С другой стороны

имеем

-.1

X г*, -

откуда

t it-

( Д і ) .

.

то альтернатору

0> будет

соответствовать матрица

С

|

' Г ) .

;

.

Альтернаторами

tg- и

{V

будем пользоваться для"подня-

образом

А

/}<*

М,

—& іі

>

'

V 4

^‘ /3 4 ■

^о4.‘

=

сіѴ.

Очевидно, что если сначала поднимем (опустим), а затем

опустим (поднимем) индекс, то, согласно

(1 ,1 2 ), придем к

первоначальному тензору:

в«/

у

■

"У

£

Q-л'і

-О -і •

, i

' w - Л

* ‘Л г

I

тензор.Свернеи

Пусть

-антисимметричный по

его по * и

с

произвольным

вектором^ -гг , получим анти-

Свернем

это

с

г"* -

£„•;

i yj

:

'.I

'r:J ' по индексам

откуда

С'

г-

= СГ

± <

і с >

* 2.S-.

—

=

I

л

-V

,

следовательно,

ь

—

а • ■ >«

>■

•

гг і

■■

ас •%-и

=

—лI

J

*

V

или, освобождаясь

отпроизвольного

•

A i

,

(1,13)

Не делая

V *

=

і

£

■* *

никаких предположений

о симметричности тензора

a t--tn o

*

и

, имеем

„z1-

Л/іл

- ^ P ■< J

L

1

“

i-

k

=

f1

}

J

f f i

Л.р ^

так что

iT-cxfc

— ■

(2,1 3 )

a t

о*

Если

Д • і* К

~

и

тензор

ac.-к.

симметричен по

L

j

,то

^

«7

^

. к

й * к - ^ ■ к = —

(3,13)

Следовательно,

-

я

/ *

= 0

о * - * *

(4,13)

t

j

необходимое условие

симметричности tf^ n o индексам

Это

и

,

Оно

есть и достаточное условие, так как в противном

случае

мы

не

имели бы (3,13)

, следовательно, не имели бы и

(4 ,1 3 ).

что тождества (1 ,1 3 ), (2,13) и (4,13) могут

Отметим,

-

51

-

(5,13)

Пусть

векторы

<f.

Ct = 0 .

C’"

и

" i l коллинеарны,

т .е . отличаются ска­

лярным множителем: £ (’ ~

А 'П. L

Свертывание

этого

.

, согласно (5,13) ,

дает

равенства с

,7

ё:

или

і е,

=

hi е

-о

(6,13)

rVL

=: О

ров

Мы получили необходимое условие коллинеарности векто­

é.L

и

w 1

.Если

векторы

г'

и

^

не

коллинеарны, то

£

m *

=

<?

"Ѵ5 Ä

( е

-

г

щ. )= і -т ‘ ^ 1 ^ °

•

Таким образом.(6,13)

есть

необходимое и достаточное

условие

коллинеарности

векторов

£' и

.

Пусть

тензор кривизны3^

геометрии аффинной связ­

ности, определяемой коэффициентами Г[у. s

Тогда

п

е

, ~)й*

.

г *

[~ ,е)

. .

по t}j

,

К-у * ' * ( 5 ^

+

Uj

)cLß

вследствие

антисимметричности

этого тензора

согласно

(1 ,1 3 ),

имеем

или,

вводя

обозначения

-

о (

>

R .«

è

I

к.

К ■к

(7 »П )

\ . . J

-

tcj R, -*

*

или,

свертывая

у

по

</

это

£„•

«*■

-

=

•

откуда

I L j S

.

p

Ä ; -

-

-

Ч / *"

Здесь

7

тензором Риччи

двумерной

геомет-

»у*- называется

ѵ .ѵ

.

.

J

ек=

,j

< j

Поднимем здесь

с

и свернем с

і :

* “

-X

>

к

^ О7'

V V

•>

£ “' + V У . (? = — ty •

£' ,

^

^

£

г — / ? ■ ■ * £ •

(8 ,1 3 )

’Л

Аналогично для

ковектора

получим

* е *

•

(9 ,1 3 )

Для произвольного

можно легко

получить тож­

тензора

J

дество

dr.

У

=

' (10,13)

Ѵ

а

1

а °у'

гг ‘ =

(11,13)

иди, опуская <-,

( і а .і з )

"ГС =

j

Свертывая это равенство с

V , получим третью форму

проективного соответствия:

(13,13)

V ? - Лры іГ Т Г^О . '

Свертывая

V ;

Vѵ

*

-

(15,13)

(15,13)

с

, получим

Ар-*

«.

^ ь~J -

ö ,

так что при инволюции

должно быть одновременно

Л

UuV 'ß

=

о

,,

Л^оі

0

откуда

Л

тГ'w / -

Др,< (

и ѵ Р . ѵ \ Г )ш 0

или

¥

а

£ -

0 .

раняется при параллельном перенесении вдоль

^любой •линии

векторов, представляющих его стороны.

и

w

.Пло­

Возьмем два контра вариантных вектора

щадью параллелограмма построенного на этих

векторах назы­

вается инвариант

-

54 -

( I , И )

где

ff

=

j ä ^

антисимметричный

тензор второго рагна.

Найдем аналитический признак того, что данная геомет­

рия аффинной связности

есть

эквиаффинная. Другиш словами,

определяемая

тензором

,

сохраняется

при параллельном

’

перенесении.

"

Так как

по предположению

то из

(1,1 4 )

&ѵ" r=8 v r'-

с ?

имеем

v T ^ j. Ныр

5

V

•

Ä-/3 Т"

$Ъг

_

о

d

(Г = ( о $■*!>,) -V

откуда

8

ІІСул

іг' Ѵ

Л=

о .

Так, как это

для

любых ^

и

равенство

должно

иметь место

ы '

,

то

О

или

$

; j d u

-

О

,

откуда

в силу произвольности

сіи

,

(2,14)

^

= Ö

Формула (2,14) выразиет аналогичное

положение для

геомет­

рии аффинной связности.

тензор 5^у

задан,

Условие (2,14) предполагает, что

Норден называет поверхность

нормализованной ,

если

в каждой ее точке задана пря­

в каждой

ее касательной

мая, проходящая через эту точ­

плоскости

задана

прямая,не

ку , но не лежащая

в касатель­

проходящая через

точку

при­

ной плоскости.Эта

прямая назы­

косновения. Эта

прямая

на­

вается нормалью І-го рода.

зывается

нормалью 2-го'

рода.

4

сопряженность параллельных перенесений

Пусть

вектор' V *

переносится параллельно вдоль неко­

торой кривой;

.

Но при параллельном перенесении

вектора ѵ

направление

век­

тора

«■ 1 остается

одинаковым

с направлением

вектора

ѵг

пе­

Будем поэтому

говорить,

что

направление

реносится параллельно вдоль некоторой линии,

если в е к т о р а ',

коллинеарный

ъ.-1

,

переносится

параллельно

вдоль этой линии.

Выразим это аналитически.

.

Из (1,16)

имеем

‘ +

-л

1 =

S ur *•’ -

сЬ- V

I іг

сЬ. ъ~1

или,

согласно

( І ,І б ) ,

~ fb.

•

ы

переносится

$ 'ur^ —

vf

Таким образом, если направление вектора

параллельно вдоль линии ,

то

(2,16)

І ѵ г = . £ * г 1-

ѵ ,*

« г ‘

* А

:

‘гг.

Свернем это с вектором

Іі

„

( ( *

V*)

= C

Отсюда следует,

что