книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

- 39 -

параллелей с центром в центре гомологии сохраняет свое управ­ ление. Последнее есть направление гшраллельного перенесения.

Две фигуры, соответственные в параллельном перенесении должны считаться аффинно-конгруэнтными (равными). Из сказанного следует, что

параллелограммом на аффинной плоскости должен считаться такой полный четыреугольник АВСД, у которого две диагональные точки находятся на прямой оо , причем про­ тивоположные сторснн AB и СД, АСи Вд должны считаться аффинно-равными (конгруэнтными).

Векторы AB и СД также равны друг другу.

тическую инволюцию (назовем ее абсолютной или ортогональной инволюцией) с двумя мнимыми двойными точками Of иС^(назовем их бесконечно удаленными циклическими точками). Группа проек­ тивных преобразований, оставляющих неизменной инволюцию, на­ зывается евклидовой метрической группой, а геометрия, связан­ ная с этой группой, называется евклидовой (метрической) гео­ метрией. Прямая оо с циклическими точками ^ и ^ на ней на­ зывается абсолютом евклидовой плоскости.

Преобразования евклидовой (метрической) группы называются преобразованиями подобия. Две фигуры, соответствующие друг другу в преобразованиях этой группы, называются подобными.

Остается решить вопрос о существовании проективных преоб­ разований, оставляющих неизменной абсолютную инволюцию. Исхо­

- 40 -

прямых, которое представляет собой инволюцию, так как она совпадает с инволюцией сопрякешшх диаметров любой округности с центром в 5 Эта инволюция - эллиптическая, так как действительная прямая не может быть перпендикулярной са­ мой себе. Пучок S , пересекаясь с со , определит на ней эллиптическую инволюцию с мнимыми двойными точками У,- и \ , которые мы назвали циклическими. Любое проективное преобра­

проективное преобразование, оставляющее неизменными цикли­ ческие точки У, и ' У} ,или заменяющее их друг другом, остав­ ляет абсолютную инволюцию неизменной.

Кз изложенных соображений следует, что для построения евклидовой геометрии с точки зрения проективной мы должны принять некоторую прямую за о о ,на ней некоторую эллиптиче­ скую инволюцию ( мы назвали ее абсолютной пли ортогональной). Эта будет геометрия аффинной подгруппы. Определяя перпенди­ кулярные прямые как прямые, которые проходят через соответ­ ственные точки инволюции У , получим следующие предложения:

Теорема. Пары перпендикулярных прямых в пучке прямых суть пары эллиптической инволюции. Через каждую точку плоско­ сти проходит только одна прямая , перпендикулярная данной прямой. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных пря­ мых, перпендикулярна и другой. Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны друг другу.

Б заключение отметим, что в евклидовой геометрии сущест­ вуют два ряда точек: собственные и бесконечно удаленные (не­ собственные) точки.

П ° .3 . Геометрия Лобачевского. Возьмем на проективной плоскости некоторое действительное коническое сечение (оваль­ ную линию второго порядка). Назовем ее абсолютом (или фунда­ ментальным коническим сечением). Группу всех проективных преобразований, оставляющих абсолют неизменным , назовем ги-

х) А .З.-А .Хэтипсв, Курс проективной геометрииj издатель­ ство СамГУ, Самарканд, 1971, стр .146, § 41.

перболической (метрической) группой плоскости. Связанную с этой группой геометрию назовем гиперболической (метри­

ческой) геометрией на плоскости, или геометрией Лобачевско­ го на плоскости. Точки, внутренние по отношению к абсолюту, называются обыкновенными точками. Идеальными называются точки, внешние по отношению к абсолюту. Ниже увидим,что точки на самом абсолюте ■ играют роль бесконечно удаленных точек плоскости. Прямая, которая содержит только обыкновен­ ные точки, называется обыкновенной прямой , а прямая, содѳр* яащая только идеальные точки, - идеальной. Совокупность все;, обыкновенных течек называется гипеболической плоскостью.

Она содержит обыкновенные точки и обыкновенные прямые.

Две обыкновенные прямые называются параллельными, если имеют общую точку на абсолюте. Две обыкновенные прямые называются перпендикулярными, если они сопряжены относительно абсолюта,х - Две фигуры гиперболической плоскости называются конгруэнтными (равными),

если они соответствуют друг другу относительно некоторого проективного преобразования гиперболической (метрической) группы.

На гиперболической плоскости имеют место следующие теоремы:

Теоремы: Через две обыкновенные точки проходит обыкно­ венная прямая. Две различные обыкновенные прямые могут иметь только одну общую обыкновенную точку. Через данную обыкновенную точку проходит только одна обыкновенная пря­ мая, перпендикулярная данной обыкновенной прямой.

Эти теоремы имеют место и в евклидовой (метрической) геометрии. Общими для двух геометрий являются и основные предложения конгрунтности (равенства),порядка (располо­ жения) и непрерывности точек. Но евклидова аксиома парал­ лельности на гиперболической плоскости не имеет места. Вместо нее имеет место аксиома Лобачевского: через любую

- чг -

устанавливается одно из свойств расстояния (свойство адди­

тивности):

( Л Ѣ ) = а л ) + ( - М ) .

На основании C l* II) устанавливается другое свойство рас­ стояния (свойство дизъюнктивности):

( А А ) = £■* ( л Л с£) ■=Іпі ~ о .

Очевидно и свойство симметрии:

Будем В стремить к С или А к Д. Тогда

Таким образом, точки С и Д играют роль бесконечно уда­ ленных точек прямой <* : прямая геометрии Лобачевского имеет дье бесконечно удаленные точки. В этом - еще одно отличие геометрии Любачевского от евклидовой геометрии.

Мера угла определяется по малому принципу двойственно-

- 43 -

сти (напомним ,что абсолют двойственен Самому себе). Проведем через обыкновенную точку А две обыкновенные прямые «• и é и две мнимые сопряжен­

п ° .4 . Геометрия Римана. Существует группа действительных проективных преобразований, оставляющих неизменным некоторое мнимое коническое сечение. Эллиптической (метрической) гео­ метрией, или римановой геометрией, называется геометрия,свя­ занная с этой группой. Б этой геометрии не существует парал­ лельных прямых, люббя прямая имеет конечную длину (рас­ стояние и мера угла определяется аналогично случаю гиперболи­ ческой геометрии). Дальнейшие подробности о геометрии Римана читатель может найти в книге # . Клейна„Неевклидова геометрия"

(гл.УП, §§ 2 -5; гл . УШ §§ 1 -5), а также в книге В.Ф.Кагана "Основания геометрии",х

Свои далеко идущие идеи Риман развил в своей диссертацион­ ной лекцшГОгипотезах , лежащих в основании геометрии" (1854). "Эта работа, имеющая исключительное значение для современного развития математики, не предназначалась Риманом для опублико­ вания и потому была напечатана впервые лишь после его смерти в 1868г. Из всех присутствовавших на диссертационной лекции Римана, вероятно,Г^гсс был единственным, кто вполне понял зна­

чение изложенных в ней новых мыслей. Говорят, что хотя он и не высказался по поводу этой лекции, но в глубоком раздумьи от­ правился домой" (Ф.Клейн*Неевклидова геометрия", ст р .314).

п2 5 . Отношение тпех основных мероопределений (геометрий) к внешнему миру. Возникает вопрос; какое из трех геометрий (мероопределений) имеет место во внешнем мире.

На этот вопрос Ф.Клейн дает следующий ответ: "Измерения во внешнем мире так хе хбр-ошо совместимы с неевклидовыми мероопределениями, как и с евклидовой геометрией. В силу этого мы можем назвать неевклидовы мероопределения также веевклидо-

х)В.Ф,Каган, Основания геометрии; часть П, гл . ІУ .І,ст р . 157-209, (Основы эллиптической геометрии)*

выми геометриями" (стр.210).

И далее* "Это утверждение энергично оспаривалось многи­ ми и продолжает оспариваться и сейчас. Большей частью ему противопоставляются различные философские рассуждения, как, например, такое, что из числа априорного воззрения, известно, что в мире опыте для данной прямой должна существовать одна и только одна параллельная прямая , проходящая через данную точку, так что во внешнем мире должна иметь место евклидова геометрия.Эти возражения мы с самого начала в корне уничто­ жаем тем, что исходим при применениях геометрии ко внешнему миру из физических представлений. Вследствие этого наш вопрос не может быть разрешен с помощью чистого воззрения, но только с помощью надлежащих физических опытов".

"Так как три рассматриваемые геометрии имеют совершенно различное строение, то на первый взгляд кажется возможным искомую разницу получить на основе измерений в мире опыта. Так, например, в евклидовой,гиперболической и эллиптической геометриях сумма углов треугольника соответственно равна мень­ ше и больше 180°, но вследствие несовершенства наших измери­ тельных приборов мы никогда не можем установить, что сумма уг­ лов треуголбника в точности равняется 180°; можем лишь уста­

новить, что она, например, заключена между 179° 59* и І80°0І/ - результат, который оставляет совершенно открытым вопрос о том, какая из трех геометрий имеет место во внешнем мире. Правда, посредством продолжающегося улучшения наших измерительных приборов мы можем все более и более уменьшить интервал оши­ бок наших измерений, однако мы никогда не получим точной величины, хотя бы интервал ошибок и был очень м а л ... "Е с т бы во внешнем мире имела место евклидова геометрия, то мы никогда бы не могли этого доказать, потому что неизбежный интервал ошибок нашего измерения в этом случае оставляет еще

возможность наличия как гиперболического, так и эллиптическо­ го мероопределений. Напротив, если во внешнем мире имеет ме­ сто гиперболическое и эллиптическое мероопределение, то ято обязательно обнаружится с помощью достаточно точных средств наблюдения, потому что если бы мы сделали интервал ошибок достаточно малым, то возможность двух других мероопределений

- 45 -

была бы исключена."

"Подобные соображения были известны уже основоположникам неевклидовой геометрии. Так, говорят, что Гаусс во время про­ изведенного им измерения королевства Ганновер с наивозможной точностью измерил сумму углов наибольшего имевшегося в его рас­ поряжении треугольника, образованного горами Большой Гаген, Брокен и Инзельсберг. Однако ему не удалось найти интеріующее нас отклонение от 180°. Лобачевский привлекает уже астро­ номические соображения для разрешения этого вопроса.*)

Наконец, Бойяи анализирует эти соображения Лобачевского".

"Подробное изложение этих обстоятельств с учетом более

го измерения угла, под которым видна с этой звезды земная ор­ бита. Эту величину, называемую параллаксом рассматриваемой звезды, мы находим в предположении, что имеет место евклидова геометрия. Зная параллакс, мы можем при наличии того же пред­ положения легко вычислить искомое расстояние от звезды до Зем­ ли. Но в этом способе содержится произвольное допущение, так как мы совершенно не знаем, справедлива ли гипотеза Евклида; некоторые отклонения от нее, которые еще полностью ускользают от ваших наблюдений при измерениях в солнечной системе, в слу­ чае расстояний до неподвижных звезд могут оказаться весьма значительными. Поэтому мы должны в порядке проверки .произвести вычисления расстояния до зведы, положив в основу произвольную геометрию, и только тогда мы сможем выяснить с помощью надлвт' жащих рассуждений, какая из геометрий имеет место и вместе с там , каково истинное расположение звезд" (Ф.Клейн, стр.228)*

хх) Имеется русский перевод:К.іварцшильд. О допустимой мере кри­ визны пространства, "Новые идеи в математике " , сб»и, хзд»

"Образование", СПБ, 1913.

- 46 -

"Когда данные, определяющие расположение столь далеких объектов, станут доступными измерению, потребуются новые наблюдения и не исключена возможность, что они позволят обна­ ружить неевклидову природу пространства. На такую в'озможность Лобачевский указывает в "Пангеометрии". Он предполагает,что каким-либо способом, по-видимому, отличным от метода измере­ ния параллаксов, установлено, что наблюдаемый нами объект столь удален, что может быть практически принят за бесконечно удаленный. Если при этом обнаружится, что его наблюдаемый па­ раллакс все же отличен от нуля, то это будет служить доказа­ тельством неевклидовой природы пространства."*'

§ 12. Заключительные замечания к г л .І

Резюмируя все изложенное в этой главе, можно сказать,что групповая точка зрения на геометрию, по которой геометрия явля­ ется теорией инвариантов некоторой группы преобразований, поз­ воляет свести в единую систему три основные геометрии -евкли­ дову и две неевклидовы геометрии Лобачевского и Римана, кото­ рые до последней четверти прошлого века казались противореча­ щими друг другу. Цы рассмотрели и общую проективную группу с ее аффинной и евклидовой подгруппами, которым соответствуют проективная, аффинная и евклидова геометрии. Самой богатой из них является евклидова, так как в ней можно рассматривать как проективные, так и аффинные свойства фигур, в то время как в проективной геометрии не рассматриваются аффинпые свой­

к какой группе относится та или иная теорема евклидовой гео­ метрии.

"Открытие неевклидовой геометрии положило начало разработ­ ке теории обобщенных пространств. Если до Лобачевского наука знала единственное евклидово пространство, а сам Лобачевский указал на возможность второго - неевклидова, то в настоящее время множество различных пространств с трудом поддается обоз-

ж) А.П.ііогден.Геометоические идеи Лобачевского.Опубликовано в сбооннке "К.11.Лобачевский,Три сочинения по геометрии",ГТТИ, Москве, 1956.

- 48 -

Г л а в а П

ЭЛЖЕНТЦ ГЕОМЕТРИИ АФФЖЛЮ" СВЯЗНОСТИ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯ

В настоящей главе ны будем пользоваться основными сведе­ ниями из римановой геометрии.*) Но прежде мы изложим неко­ торые сведения из геометрии аффинной связности двух измере­ ний, на которые мы сошлемся в г л . 111.

Геометрия аффинной связности определяется как геометрия двумерного пространства, в котором параллельное перенесение векторов задается непрерывными и непрерывно дифференцируемы­

Пусть а ; / и будут два антисимметричных тензора вто­ рого ранга. Из сравнения матриц этих тензоров:

следует, что

а é;j = іа . Lj

или

так что в двумерном пространстве два любых антисимметричных тензора второго ранга отличаются только скалярным множителем.

х) А .Э .- А . Хатипов, Основы тензорного исчисления и пиненовой геометрин.под оед.А.П.Корденэ$ издательство СамГУ, Самар­

канд, 1957.Основы римановой геометрии изложены также в книге автора "Курс дифференциальной геометри; издательство