книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

29 -

прямых на кольцеобразных поверхностях.

§ 9. Проективные преобразования,переводящие линии и поверхности второго поряд­

ка в себя

Мы видели (§ 2 ), что совокупность проективных преобразо­ ваний в пространстве, совокупность проективных преобразований на плоскости, совокупность проективных преобразований на пря­ мой, в пучках прямых и пучках плоскостей - каждая в отдельно­ сти образует группу.

Остановимся подробно на группе проективных преобразований на плоскости. Она называется общей группой проективных преоб­ разований на плоскости. Софус Ли разыскал все подгруппы этой группы.х^Ваішой подгруппой общей группы является так называе­ мая аффинная группа. Она оставляет неподвижной (инвариантной) некотрую прямую. Другой подгруппой является группа, которая оставляет неизменной пару точек, следовательно , и прямую соединяющую эти точки; так что она является подгруппой аффин­ ной группы. Совокупность всех особенных гомологий,хх^ имеющих заданную ось, также образует группу (последовательность двух

особенных гомологий из данной совокупности есть особенная гомология).

К общей гр.'-уппе проективных преобразований на плоскости относится еще одна подгруппа, которая имеет весьма важное

значение, именно проективные преобразования, оставляющие неизменными (инвариантными) некоторое коническое сечение.

ном преобразовании линия второго порядка переходит в линию

х) См.Н .Г.Чебэтарев, Теория групп Ли; ГТТИ, М-Л, 1940. ■ хх) А.Э.-А .Хѳтипов, Курс проективной геометрии*, издательство

СамГУ, Самарканд, 1971, § 3 .

ххх) Там же, § 34.

в ту же линию, то мы приходим к заключениюгсовокупность всех проективных пребразований, оставляющих инвариантным данное

§ 10. Проективные мероопределения

Соображения, которые изложены в предыдущем параграфе, приводят к важному заключению о том, что проективная геомет­ рия в пространстве является системой, определяемой группой всех проективных преобразований в пространстве. В частности, проективная геометрия на плоскости и проективная геометрия на прямой представляют собой системы, определенные группой всех проективных преобразований на плоскости и группой всех проективных преобразований на прямой.

В своей основе такой взгляд на проективные понятия и свойства имеет установленную Софусом Ли и Ф.Клейиом точку

зрения на геометрию как теорию инвариантов некоторой группы преобразований. Она была высказана Ф.Клейном в 1872г. в лекции "Сравнительное рассмотрение новейших геометрических исследований " (известной также под названием "Эрлангѳнской программы" ) . *хххх^

Ниже будут рассмотрены геометрии, связанные с каждой из подгрупп общей проективной группы на плоскости. Ш увидим,

что геометриями подгрупп общей проективной группы на плоско-

- 31 -

сти являются не только аффинная и евклидова двумерные геомет­ рии, но и неевклидовы геометрия Лобачевского и Римана. При­ водимые ниже соображения легко распространяются па случай трех измерений. По прежде мы рассмотрим различного рода мероприя­ тия, которые называются вырождающимися или яевырождающимиея в зависимости от вида положенного в основу квадратичного об­ раза ("фундаментального образа"). Мы увидим, что все эти мероопределения (геометрии) с логической точки зрения явля­ ются равноправными с евклидовой геометрией.

п ° .І . Невырождающиеся мероопределения . Согласно (10,7) , на прямой линии невырождающимся квадратичным образом является

фундаментального образа в основу мероопределения на прямой.

деления вытекают известные свойства расстояния. Действитель­ но из .

имеем

т .е . расстояние точки от самой себя равняется нулю . Кроме того, обозначая через М-3 третью точку на прямой,имеем

бых проективных преобразованиях на прямой, переводящих основ­ ной образ в себя, то при этих преобразованиях не меняются и все длины. Следовательно, это новое мероопределение в логи­

- 32 -

ческом смысле равноправно с евклидовой геометрией.

Подобным образом могут быть определены угол между прямыми и плоскостями в пучке прямых и пучке плоскостей.

Выразим теперь определения расстояний и углов с помощью координат точек, прямых и плоскостей.

- 33 -

(4,1 0 )

Отметим, что здесь подкоренные выражения могут быть переписаны в следующем виде:

Для пучков прямых и пучков плоскостей применимы хе же рассуждения, что для прямой линии. Пусть уравнения обеих фундаментальных пряшх или плоскостей имеют вид:

W (' іг, иг) - е

Примем на плоскости в качестве фундаментального образа невырождающееся коническое сечение.В этом едучае расстоя­

- 35 -

не в общем виде: 2. < 3 ^ ■ • = о, а в виде суммы квадратов , например как в формулах (9,7) или (1 0 ,7 ), мы можем написать формулу (9,10) и (10,10) еще проще.

В случае прямой линии уравнения пары комплексно-сопряжен­ ных или пары действительных точек можно переписать в виде

1г Л

X.j *Г 2 >чJ —О 1

взятая точка. Этот образ мы положим в основу мероопределения в качестве фундаментального образа. В данном случае определи­

И так как при этом аргумент аркси.ѵуса становится сколь угодно малым и поэтому можно зѳменитьарксинус этим аргументом, то имеем

- 37 -

Таким образом, рассмотренный случай привел нас к пара­ болическому (евклидову) мероопределению.

Мы переходим к .случаю пучка прямых и плоскостей. Этот случай рассматривается так же, как случай прямой линии; так что и в этом случае устанавливается параболическое (евклидо­ во) мероопределение.

Первый и второй случай (нулевые и овальные конические сечения) таблицы (9,7) мы уже рассмотрели. Остальные случаи разобраны в книге. ФЛаеИНа "Неевклидова геометрия", стр.

201-203.

Случай пространства рассматриваете^, как случай плоско­

сти.

В гл.Ш настоящего курса мы подробно рассмотрим случай комплексно-сопряженной пары плоскостей и действительной па­ ры плоскостей.

§ I I . Соотношения между евклидовой, гиперболиче­ ской и эллиптической геометриями

Выше мы изложили ряд проективных мероопределений, ко­ торые оказались логически равноправными с евклидовой гео­ метрией. Но большая часть этих мероопределений непригод­ на к практическим применениям во внешнем мире. Практиче­ ски применимыми к внешнему миру являются лишь три меро­ определения, которые называются параболическим (или евклидовым), гиперболическим и эллиптическим мероопреде­ лениями. Эти три мероопределения играют основную роль, по­ этому обычно ограничиваются изучением только их.

Ниже рассматриваются геометрии, связанные с каждым из этих мероопределений. Приводимые ниже соображения легко распространяются на случай трех измерений. .

П ° .І . АФФииная геометрия. Иы определили (§ 9) аффин­ ную группу как подгруппу всех проективных преобразований, которые оставляют инвариантной (неизменной) заданную пря­ мую. Этой прямой может служить любая прямая илоскости.

- 38 -

Геометрия, связанная с аффинной группой, называется аффин­ ной геометрией на плоскости(двумерной аффинной геометрией).

Прямую, которую оставляют неизменной преобразования афнфинной группы, будем обозначать через с о и называть несобственной.Последнюю необязательно мыслить как бесконечно уда­ ленную прямую . Считая ее находящейся в бесконечности, мы получим обычную элементарную (евклидову) геометрию.

Точки прямой со будем называть несобственными (или бесконечно удаленными), а все остальные точки плоскости - обыкновенными точками (или просто точками). Все прямые пло­ скости, отличные от прямой со будем называть обыкновенными прямыми (или просто прямыми).

К аффинной геометрии относится классификация конических

понятия не имеют места в общей проективной геометрии (на общей проективной плоскости). На аффинной плоскости (в аффин­ ной геометрии) существуют параллельные прямые, в то время

как две любые прямые проективной плоскости пересеквются (§ I ) . Это прямые (1 и ё , которые пересекаются на оо , причем две прямые, параллельные, одной и той же третьей, параллельны друг

другу. Имеет место и евклидов постулат о параллельных: через данную точку вне данной прямой можно провести единствен­ ную параллельную к данной прямой. Парал­

лельное перенесение на аффинной плоскости (аффинной геометрии) определяется к а к ____

особенная гомология с осью с о } ^ причем совокупность всех парэллельных

перенесений образует группу. Так как при параллельном перенесении прямая со

остается инвариантной, то при параллельном перенесении каждэя прямая переходит в параллельную ей прямую, а пучок параллель­ ных прямых переходит в пучок параллельных прямых, причем пучок

х) А .Э .-А , Хэтипов, Курс проективной геометрии: издательство СаѵГУ, Самарканд , 1971, стр .150, § 42, ст р .155, п°3.