Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

- 19 *■

на

ней

две точки

и Э( в. .* ,.j .Любая точка

прямой

может быть задана

координатами

,выракающими

ся

через

л,.»-,, и

а; ^следующим

образом

прямой. Эти точки

Возьмем еще

две точки

на

будут

соответствовать значениям

параметра

t :

Легко

проверить ,что

двойное

отношение четырех

точек

2 Т

*ВЭЯІЫХ^

в-этома п порядкет )

будет

равно

р—

( г л

Для двойственных образов (пучков прямых &J , с. Л) я пучков плоскостей те же соображения проводят к аналогичному результату:

	t-	= ( л I с 1)	,	(з,Ю
Мы	р	= О p i t ) .		(М )
Мы	позже покажем (§		) , что	двойное отношение четырех
точек на	прямой,	двойное отношение		четырех прямых пучка и

двойное отношение четырех плоскостей пучка являются инвариан тами группы проективных преобразований на прямой, плоскости и в пространстве и не зависит от выбора проективной системы координат. Отметим еще, что проективные координаты могут быть определены с. помощью двойных отношений.*)

§ 5 . Линии и поверхности второго порядка .

Линия второго порядка (коническое сечение) определя ется как геометрическое место точек, однородные координаты которых удовлетворяіст уравнению второй степени________'

0-/( *,

7*3 %.

-J—O■ (Д,5)

- 20

°~ ІІ

Л * *

.-*

'Г

J X z

X л - 2

<?J/XJX//-

C'N

*■

* £

' ♦ ' Л у у

Х у

а поверхность-

второго

порядка

в тех

хе координатах -уравнению

- f

2 А / д

Х д

Л / у К /

X y

X *

Х у

-г-5<7ууХл>^— 0 ,

Коэффициенты

a.cj

в (1 ,5 ) и (2 ,5 )

могут

принимать любые

зна

чения} они не долины равняться

нулю одновременно.

§ б . Полярные преобразования относительно линий

Решая

и поверхностей

второго порядка

(2 ,5 )

уравнения линии

(1 ,5 )

или поверхности

уравнениемпрямой линии

проходящей

через

f *;

t *})■

у , ,

получим

(1*6)

точки

х; ,

у(

урав

нение

или

так как

или,

5L^u^'y',

7 -

7л + д?47

а «Т

(2 ,6 )

+ ^

ах/і ^ 7> = 0 .

dT,f>

°У’

Из этого уравнения мы найдем

два

значения

-л, и Х 2 .

.Подставляя

"X,

">-2 в ( 1 ,6 ) , получим

координаты

точки

пе

ресечения прямой (1 ,6 )

с линией (1,5 )

или поверхностью ^):

точками

(3 ,6 )

Предположим, что эти точки вместе с

образуют гармоническую группу,, т .е .

•*, j.- x r = - /

или л /= -->.s •

Тогда

в (2 ,6 )

коэффициент при

будет

равен

нулю:

.< » .

<4-б>

Таково условие, которому должны удовлетворять точки

- 21 -

*,• и у/ , чтобы они вместе с точками (3,6 ) образовали гармоническую группу.

Будем

в (4 ,6 )

рассматривать как неподвижную точку

и строить

на каждой

прямой, у'проходящей через

четвертую

гармоническую точку

относительно

точек

пересече

ния прямой

с линией ( 1 ,5 ) -или

поверхностью ( 2 ,5 ) . Тогда со

вокупность

четвертых гармонических

точек

определиться

уравнением

мы

опустили

штрихи,

(5>б)

В уравнении (5 ,6 )

тэк что теперь

X ': -

текущие координаты,

уг

- координаты

данной

точки.

Это уравнение в случае пространства может быть написано в

следующем

виде

X СЧ(і

х -

а *-/> )Л

*1 а 'Г>1р

уз

о .( 6 , б )

Оно линейно относительно текущих координат точки X .

Эти точки

случае

линии (1 ,5 )

образуют

прямую,

в случае

поверхности

(2 ,5 ) -

плоскость. Эта прямая называется поляреЯ

точки

по

отношению к линии

( 1 ,5 ) ,

соответствующая

плоскость

полярной плоскостью (или

полярой)

ТОЧКИ У

по

отношению к поверхности (2 ,5 ) ;

точка

называется полю

сом. (1,6 ) есть

уравнение поляры (полярной плоскости).

Отметим, что мы будем иметь определенную полярную плос

кость,

если

не

все коэффициенты в ( 6 ,6 ) ,

т .е . все координаты

Чі

полярной плоскости, равны нулю одновременно. Случай

Эр *

о ,

Эр= 0 >I

а *г Э г °>

h = °

(7 ,б )

может

иметь

(

в силу теории линейных однородных уравнений)

лишь

в том случае,

когда

Счі

“»3

Jhtla.j

aJ(

«И «ду

(8,6)

ull

«зз о-зу

о.

&v,

Пчі йуЗ Йуу

Такое же полгжение имеет место и для случая поляры отно сительно линии второго порлдка. В этом случа мы не будем

- 22 -

иметь определенную поляру,		если		(9 ,6 )
LXU	Л,і		0.
Q-iX		(LJL	0.
Ilj, 4 -»i		Л g
Ilj, 4 -»i		и

Линии и поверхности второго порядка, для которых 2)е^/а;,40,называются вырождающимися. Для невырождающихся линий и поверхностей второго порядка имеет место следующее положе ние: относительно любой невыроядающейся линии и поверхности второго порядка каждой точке плоскости (соответственно про странства) соответствует определенная поляра (соответственно полярная плоскость).

Предположим, что точка	находится не линии (1 ,5 ) или '
поверхности ( 2 ,5 ) } тогда

Уравнение

«,р

(ю,б)

(5 ,6 )

поляры,

согласно (7 ,6 ), удовлетворяется, .

если

вместо х і

подставим у*. Это

значит,

что поляра

точки ли

нии (1 ,5 )

или поверхности (2 ,5 )

проходит

через

эту

точку.

Очевидно,

эта

поляра

не пересекает линию (1 ,5 )

или

поверх

ность

( 2 ,5 ) ,

следовательно,

касается е е . Таким

образом,

по

лярой

точки линии (1 ,5 )

или поверхности

(2 ,5 )

является

каса

тельная к

(1 ,5 )

или касательная

плоскость к ( 2 ,5 ) .

Отметим следующее свойство поляры: Бели точка *• лежит

на. поляре

точки

,то .точка у

также

лежит

на

поляре точ

ки

.Действительно,

согласно

( 5 ,6 ) , имеем

?./» S *	= ° ‘
Так как полярой точки Я	является= 0 »

то, согласно ( I I , ь ), имеем

Z . o - c i V “0'

что и требовалось Доказать.

Доказанная теорема позволяет получить следующий способ построения поляры р по данному полюсу 9 : проводим из

- 23 -

обе касательные линии второго порядка ; соединяя точки при

косновения, получим поляру

Разумеется,

это

р.

построение

предполагает,

что

точка

на

ходится вне линии второго по

рядка. Если точка

находится

внутри^линии,

то

поступаем

так:

через

(Р

проводим

две прямые

точках пересечения

последних с

линией проводим касательные

линии второго порядка до их пе

точки

У*

ресечения ; соединяя

последние,

получим поляру,

Свойство поляр линии (конического сечения) для случая, когда данная, точка находится вне линии, были известны Апполѳнию. Теория полюсов и поляр была разработана Дезаргом(15931661), Хиром (1640-1718) и Ионием (1248-1818).

§ 7 . Классификация' линий и поверхностей второго порядка

До	сих пор мы	исключали из рассмотрения случаи (8 ,6 )	и
(9 ,6 )	вырождения	линий и поверхностей второго порядка.	Те

перь мы будем рассматривать и случаи вырождения этих геомет-. р.ических объектов. При этом мы начнем со случая пространствен-?

ных образов.		что полярная	плоскость	точки	у	имеет урав
нение	Мы видели,	что полярная	плоскость	точки		имеет урав
нение	( 6 ,6 ) :
где	+	ь +	f t +	* ѵ/з		0 ■ с If 7)
где	текущие	координаты.	Из (7 ,6 )	мы найдем		точки у ,

для которых полярная плоскость неопределенна. Решая систену

( 7 ,6 ) ,	мы долгны	различать		пять	случаев	в зависимости от
ранга	матрицы	° - U	Я - и .	° - і і	V	(2 ,7 )
		ач	а-г.1		I	(2 ,7 )

сцу I

Сц/ (Яѵд О-чу

- 24 -

I»

Определитель Q e tlct^jl

матрицы (2 ,7 ) не равен

нулю.

В этом

случае

система (7 ,6 )

не имеет решений

относительно

2 ,

Определитель 3)ét/Hyj равен нулю,

но

среди миноров

матрицы (2 ,7 )

существует по

крайней мере

один

отличный от

нуля минор третьего порядка. В этом случае существует лишь

одна точка

»координаты которой удовлетворяют

системе

( 7 ,6 ) .

3 ) è t/A y /

равен нулю,

равны

нулю и все

3 .Определитель

миноры

третьего порядка матрицы ( 2 ,7 ) ,

но

существует

по

.крайней мере один минор второго порядка,

отличный от

нуля.

Тогда существует целая прямая

точек

-у

координаты

кото

рых удовлетворяют уравнениям

( 7 ,6 ) .

4 . Определитель 3jd.IQ .ijj равен нулю, равны нулю и все миноры второго порядка, но существует по крайней мере один минор первого порядка матрицы ( 2 ,7 ) , т .е . один из коэффи циентов Ciij уравнения (2 ,5 ) поверхности, отличной от ну

ля. Тогда существует целая плоскость точек у , координаты которых удовлетворяют уравнениям ( 7 ,6 ) .

5 . Все миноры первого порядка матрицы (2 ,7 ) равны нулю, т .е . все коэффициенты уравнения (2 ,5 ) поверхности равны нулю. Но этот случай мы исключили с самого начала как не имеющий никакого геометрического смысла.

Как известно, наибольший порядок отличного от нуля опре делителя матрицы называется рангом матрицы. Таким образом, в рассмотренных четырех случаях ранг матрицы (2 ,7 ) коэффи циентов уравнения ( 2 ,5 ) ,поверхности имеет ранг, соответст венно равный 4 , 3 и / . Ранг матрицы (2 ,7 ) будем называть рангом поверхности.

При проективных преобразованиях ранг поверхности вто рого порядка не изменяется, так как характеризуемые рангом

.различные вырождения полярного преобразования не переходят друг в друга при проективных преобразованиях.

' Нам остается определить вид различных типов поверхно стей с рангами 4 }3 , і и 1 .С этой целью мы отнесем поверх-

- 25 -

кость к координатному тетраэдру. Пусть одна из верш и н ^, этого тетраэдра не находится на поверхности, а противоле жащая координатная плоскость Ef , является полярной плос костью точки 9\ . В этой системе координат точка 5^ , с координата ми /,0,0'им еет полярную плоскость •*,=0 . Подставляя в (1,7 ) координаты точки 0] , получим

°-и * / +

х г +0-ц*-з гО-мХ-ч-О

имеем

и так как это

уравнение

должно иметь вид х ,= 0 ,т о

°-/1 - Q-іЗ

Q-ty

о ■

Предположим, что поверхность в выбранной системе коор

динат имеет уравнение

(3,7 )

~ 0>

Л//*•,

где C t ^ c .Тогда

она

является

дважды взятой

плоскостью

Теперь предполодим,

что

в уравнении поверхности

имеются

другие члены,

кроме

аѵ

х /

, тогда

оно имеет

вид « „х

Выберем новый9(координатный тетраэдр

с вершинами

,где ^

не

при

надлежит поверхности,

и противолежащи

ми им координатными плоскостями

х ,= о

иОтметим, что по доказанной ра-

нее	теореме полярная			плоскость	Е/		содержит точку ^ ,а поляр-
ная	плоскость	Et	содержит точку				^ .
	Предположим, чт!о поверхность в выбранной системе координат
имеет уравнение			о-« *	+а-і х*=	О л		(4 ,7 )
г д е а ^ о ,		а ц ? о
				ітогда она		является парой плоскостей,

проходящих через линию пересечения координатных плоскостей^ и £2 . Если в уравнееии поверхности тлеются и другие члены,то


оно имеет	вид	л„ ** + &1S			f l С^з/у^Возъиен		на	координат
ном ребре х ,= 0		,	х2=0 ( т .е . на			линии пересечения		координатных
плоскостей		)	точку	%	,	не находящуюся на		поверхности.
В качестве	Е„Е%					тетраэдра выберем тетраэдр,
	нового		координатного

имевший вершины			- 26		-		,а соот
			9 \,		fj>b
ветствующие им полярные плоскости £
у£3		-противоположными координат
ными	ПЛОСКОСТЯМИ		X, =0		, х а		=	0 , * 3 =0 .
Из доказанной ранее теоремы следует,
что четвертая вершина				%		координат

ного тетраэдра является полюсом противолежащей координатной плоскости Еч .

Этот тетраэдр называется полярным тетраэдром.

Б выбранной системе координат уравнение поверхности бу дет содержать также координаты и Ху .Получится или урав нение

			-t- at			X	“ 0		(5,7 )
где					ч- о.V х з
	°-цФо , л 1гФ0>				или уравнение				(6 ,7 )
где	о-, ро ,		+ Л,£ Х-х				о '
			,	«зз іьо , о.чіФ- 0 .
	В случае		(5 ,7 )	мы имеем конус с вершиной в точке (в с ,с ,/ ) ,
а в случав (6 ,7 ) -невырождающуюся							поверхность	второго	по
рядка	с определителем, отличным					от	нуля: а ,« * « , йу / о •
	Отметим	,	что	определители		поверхностей		( 3 ,7 ) ,	( 4 ,7 ) ,
( 5 ,7 ) , (6 ,7 )		имеют ранги			1 ,2 ,3	и 4 соответственно, И так
как ранг определителя при проективном преобразовании оста
ется неизменным и уравнение всякой поверхности второго
порядка может быть приведено к одному их расссмотренных вы-
■ ѳ видов, то мы			приходим к		следующему результату: Уравнение

любой поверхности второго порядка при помощи надлежаще вве денной системы координат можно привести к одному из сле дующих четырех канонических видов ( в зависимости от ранга соответствующего определителя):

** +й33*3 +

О./,,■ + « i t * £ • + Q j j * J — О ,	(7 ,7 )

*/■ Яц ><1-0, ак*,L=o.

-27 -

Впервом случае имеем невырождающуюся поверхность вто рого порядка, во втором - конус второго порядка, в третьемпару плоскостей, в четвертом - дважды взятую плоскость.

Четыре канонические формы (7 ,7 ) при помощи проективного (вообще говоря, комплексного) преобразования

^	X I “ * I >.			,{л и X *•	} 9 ^^ чу -Ху =5X у
могут быть приведеныt		к ви^дам			»
X,	+	I	6	а. О »	»
"" і	•—	I
А ,	+ A t + X ,ä - .

;Д +

— 0 •

Так™ образом, относительно комплексных проективных преобразований существует только четыре различных типа по верхностей второго порядка.

Рассмотренная классификация поверхностей второго поряд ка должна быть уточнена. Можно показать*), что при помощи действительных проективных преобразований рассмотренные че тыре вида поверхностей (7 ,7 ) можно свести к следующим вось ми случаям:

	(І+ г		+			+ *ѵ= о, (нулевые		поверхности),
	'і +	* 4	_4			- х *0= о ,	(овальные	поверхности),
8 7	х ,1+	х г					(кольцеобразные поверхности),
( , )	+			-Aj		= ,	(нулевые	конусы),
	* I.i +,ЦІ		-		**	= 0 ,
							(обычные	конусы),
	s .			^			(комплексно-сопвяжекныеМілос- -
	+				о
	•t ”	**-		-		*		костёр,
				~			(действительные пары плоскостей)
причем	*/ = с .>						(дважды	вЭяхтбя плоскость J

	оказывается,					что уравнение данной действительной

поверхности второго порядка может быть преобразовано при помощи действительных линейных подстановок в одно из вось ми уравнений ( 8 ,7 ) .

Аналогичным образом классифицируются образы второго порядка на плоскости и прямой:х)

х) Ф.Клейн,	Неевклидова геометрия, Москва, 1936,
с т р .79,	ст р .82.

- 28 -

	/+**-			*■}- 0 ,
(9 ,7 )	* / +			X y	- o ,
			= О		>
		*i -

Для пряной имеем

1і.

х/ + xL-o,

(10,7) * / - **=<Ъ

(нулевые конические сечения), (овальные конические сечения), (пары комплексно-сопряженных прямых),

(пары действительных прямых),

(дважды взятые прямые).

(пары компдексно-соряженных точек),

(пары действительных точек),

(дважды взятая точка)

§ 8 . Прямолинейные образующие невырождающеЯся поверхности второго порядка

Как известно из аналитической геометрии х \ н а кольцеоб разных поверхностях (однополостных гиперболоидах, гиперболи ческих параболоидах) имеются два семейства действительных пря ных. Этот вопрос может быть рассмотрен и в проективном про странстве.3“ '

Дадим здесь сводку основных относящихся сюда результатов: на кольцеобразных поверхностях имеются два семейства прямых. Любые две прямые одного семейства не пересекаются, а любые две прямые разных семейств пересекаются,через каждую точку поверхности проходит по одной прямой из каждого семейства, Эю две прямые, по которым касательная плоскость в рассмат риваемой точке пересекается с самой поверхностью. Это факты доказываются так же,как в аналитической геометрии в простран ст в е .

На овальных и нулевых поверхностях имеются два семейства мнимых прямых, обладающих теми же свойствами, что и семейство)х

х) А .Э .- А . Хатипов, Курс аналитической геометрии, ч.ІИ иэд.■ Учитель",Ташкент, 1967, § 122. * ’

X~)X Ф Д іейн, Неевклидова геометрия, Носква, 1936, гл .П , § 5 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202314.52 Mб41Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб6Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб17Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб36Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб14Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб14Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб28Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб96Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf
#
24.10.20239.81 Mб29Хвойка И. Цветные металлы и их сплавы.pdf